2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)17_專題六62平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（專題試卷+講解PPT）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

6.2　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點平面向量的數(shù)量積1.(2022全國乙理,3,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,則a·b=(　　)A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2答案　C　由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1,故選C.2.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則t= (　　)A.-6　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.6答案　C　由題意可得c=(3+t,4),由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,即,解得t=5,故選C.3.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC=1,則的取值范圍是????????????? (　　)A.[-5,3]　　　　B.[-3,5]C.[-6,4]　　　　D.[-4,6]答案　D　解法一:取AB的中點D,=()·()=+()·=1+5×1×cos θ=1+5cos θ(θ為的夾角),因為θ∈[0,π],所以∈[-4,6].解法二:建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,3),B(-4,0),設(shè)P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),則=(-cos θ,3-sin θ)·(-4-cos θ,-sin θ)=cos2θ+4cos θ+sin2θ-3sin θ=1+4cos θ-3sin θ=1+5cos(θ+φ),其中tan φ=,因為θ∈[0,2π),所以∈[-4,6].故選D.4.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點,則的取值范圍是 (　　)A.(-2,6)　　　　B.(-6,2)　　　　C.(-2,4)　　　　D.(-4,6)答案　A　解法一:如圖,過點P作PP1⊥直線AB于P1,過點C作CC1⊥直線AB于C1,過點F作FF1⊥直線AB于F1,|·cos∠PAB,當∠PAB為銳角時,||,當∠PAB為鈍角時,||,所以當點P與C重合時,最大,此時|=6,當點P與F重合時,最小,此時|=-2,又因為點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點,所以-2<<6.故選A.解法二:連接AE,以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,建立平面直角坐標系(圖略),則A(0,0),B(2,0),設(shè)P(x0,y0),則-1<x0<3.=(2,0),=(x0,y0),則=2x0∈(-2,6),故選A.解后反思　解決以平面多邊形為載體,有關(guān)平面向量數(shù)量積的復(fù)雜計算問題時,可以建立恰當?shù)淖鴺讼?/span>,將復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為簡單的坐標運算,會大大降低難度.5.(多選)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O為坐標原點,點P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則????????????? (　　)A.||C.答案　AC　A項,∵|=1,|=1,∴||,A選項正確.B項,易知|,|,由于α,β的大小關(guān)系不確定,從而不能確定||是否成立,B選項不正確.C選項,∵=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),∴,C選項正確.D選項,∵=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos β·cos(α+β)-sin β·sin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(α+2β),∴不一定成立.D選項不正確.故選AC.6.(2019課標Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=(　　)A.　　　B.2　　　C.5　　　D.50答案　A　本題主要考查平面向量的坐標運算以及向量模的計算;考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|==,故選A.一題多解　∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,則|a-b|===.故選A.7.(2017課標Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是(　　)A.-2　　　B.-　　　C.-　　　D.-1答案　B　設(shè)BC的中點為D,AD的中點為E,則有+=2,則·(+)=2·=2(+)·(-)=2(-).而==,當P與E重合時,有最小值0,故此時·(+)取最小值,最小值為-2=-2×=-.方法總結(jié)　在求向量數(shù)量積的最值時,常用取中點的方法,如本題中利用·=-可快速求出最值.一題多解　以AB所在直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標系,如圖,則A(-1,0),B(1,0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點D,則D.·(+)=2·=2(-1-x,-y)·=2=2.因此,當x=-,y=時,·(+)取得最小值,為2×=-,故選B.8.(2016課標Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=(　　)A.-8　　　B.-6　　　C.6　　　D.8答案　D　由題可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故選D.9.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的邊長為2,平面ABC內(nèi)的動點P,M滿足||=1,=,則||2的最大值是(　　)A.　　　　　B.C.　　　　　D.答案　B　以A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),C(2,0),B(,3).設(shè)P(x,y),∵||=1,∴x2+y2=1,∵=,∴M為PC的中點,∴M,∴||2=+=+-3y+9=-3y+9=-3y,又∵-1≤y≤1,∴當y=-1時,||2取得最大值,且最大值為.思路分析　由△ABC為正三角形,||=1,考慮到用建立平面直角坐標系的方法來解決向量問題.評析　本題考查了向量的坐標運算,運用了轉(zhuǎn)化與化歸思想.10.(2015福建文,7,5分)設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數(shù)k的值等于(　　)A.-　　　B.-　　　C.　　　D.答案　A　c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-.故選A.11.(2015重慶理,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.π答案　A　∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0?3|a|2-a·b-2|b|2=0?3|a|2-|a|·|b|·cos <a,b>-2|b|2=0.又∵|a|=|b|,∴|b|2-|b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>=.∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=.選A.12.(2015重慶文,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　C　因為a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為θ,則cos θ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,故選C.13.(2014大綱全國理,4,5分)若向量a、b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|=(　　)A.2　　　B.　　　C.1　　　D.答案　B　由題意得?-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=.故選B.14.(2016課標Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,則∠ABC=(　　)A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°答案　A　cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故選A.思路分析　由向量的夾角公式可求得cos∠ABC的值,進而得∠ABC的大小.15.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量.則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　D　當|a|=|b|=0時,|a|=|b|?|a+b|=|a-b|.當|a|=|b|≠0時,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0?a⊥b,推不出|a|=|b|.同樣,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故選D.解后反思　由向量加法、減法的幾何意義知:當a、b不共線,且|a|=|b|時,a+b與a-b垂直;當a⊥b時,|a+b|=|a-b|.16.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為(　　)A.4　　　B.-4　　　C.　　　D.-答案　B　因為n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-,又4|m|=3|n|,所以cos<m,n>===-=,所以t=-4.故選B. 17.(2015山東理,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則·=(　　)A.-a2　　　B.-a2　　　C.a2　　　D.a2答案　D　·=(+)·=·+=a2+a2=a2.18.(2015課標Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=(　　)A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2答案　C　因為2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)· a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故選C.19.(2015四川理,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,||=6,||=4.若點M,N滿足=3,=2,則·=(　　)A.20　　　B.15　　　C.9　　　D.6答案　C　依題意有=+=+,=+=-=-,所以·=·=-=9.故選C.20.(2015廣東文,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=(1,-2),=(2,1),則·=(　　)A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2答案　A　∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴=+=(3,-1),∴·=2×3+1×(-1)=5.選A.21.(2014課標Ⅱ,理3,文4,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.5答案　A　∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=10.①又|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=6.②①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故選A.22.(2014大綱全國文,6,5分)已知a、b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=(　　)A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2答案　B　(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故選B.23.(2021全國甲文,13,5分)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=　　　　. 答案　3解析　依題意可得|a-b|==5,解得|b|=3.24.(2022全國甲文,13,5分)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=　　　　. 答案　 -解析　因為a⊥b,所以a·b=0,即m×1+3(m+1)=0,解得m=-.25.(2021全國乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=　　　　. 答案　解題指導(dǎo):根據(jù)(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,再轉(zhuǎn)化為坐標運算,得到關(guān)于λ的方程求解即可.解析　解法一:由a=(1,3),b=(3,4),得a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,故3(1-3λ)+4(3-4λ)=0?15-25λ=0?λ=.解法二:由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,a·b=1×3+3×4=15,b2=3×3+4×4=25,則15-25λ=0,∴λ=.26.(2021全國甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=　　　　. 答案　-解題指導(dǎo):首先確定c的坐標表示,然后依據(jù)向量垂直的條件建立等式,進而確定k的值.解析　由題意知c=a+kb=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1),結(jié)合a⊥c得3(3+k)+1×1=0,解得k=-.易錯警示　在利用a,b的坐標表示c時,易出現(xiàn)運算錯誤.27.(2022全國甲理,13,5分)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=　　　　. 答案　11解析　根據(jù)題意,得(2a+b)·b=2a·b+b2=2×1×3×+9=11.28.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標系中,已知點A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個動點,且||=2,則·的最小值為　　　　. 答案　-3解析　本題主要考查數(shù)量積的運算以及二次函數(shù)的最值問題.設(shè)E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),∴=(1,m),=(-2,n).∴·=-2+mn,又知||=2,∴|m-n|=2.①當m=n+2時,·=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.∴當n=-1,即E(0,1),F(0,-1)時,·取得最小值-3.②當m=n-2時,·=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.∴當n=1,即E(0,-1),F(0,1)時,·取得最小值-3.綜上可知,·的最小值為-3.29.(2014重慶文,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=,則a·b=　　　　. 答案　10解析　由a=(-2,-6),得|a|==2,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2××cos 60°=10.30.(2016課標Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=　　　　. 答案　-2解析　由|a+b|2=|a|2+|b|2可得a·b=0,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.思路分析　由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,然后利用數(shù)量積的坐標表示得到關(guān)于m的方程,解方程求得m.31.(2018北京文,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=　　　　. 答案　-1解析　本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.32.(2017課標Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=　　　　. 答案　2解析　本題考查向量數(shù)量積的計算.由題意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.33.(2017課標Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=　　　　. 答案　7解析　本題考查向量數(shù)量積的坐標運算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.34.(2016課標Ⅰ文,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=　　　　. 答案　-解析　因為a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-.易錯警示　混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.35.(2016山東文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實數(shù)t的值為　　　　. 答案　-5解析　因為a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因為a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.評析　本題主要考查向量的數(shù)量積運算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的運算求解能力以及方程思想的應(yīng)用.36.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大小為　　　　. 答案　解析　∵cos<a,b>===,∴a與b夾角的大小為.37.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=.若平面向量b滿足b·e1=b·e2=1,則|b|=　　　　. 答案　解析　令e1與e2的夾角為θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因為b·(e1-e2)=0,所以b與e1、e2的夾角均為30°,從而|b|==.38.(2014課標Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點,若=(+),則與的夾角為　　　　. 答案　90°解析　由=(+)可知O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,又因為直徑所對的圓周角為直角,所以∠BAC=90°,所以與的夾角為90°.39.(2014湖北文,12,5分)若向量=(1,-3),||=||,·=0,則||=　　　　. 答案　2解析　||=|-|=,∵||=||==,·=0,∴||==2,故答案為2.40.(2014湖北理,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實數(shù)λ=　　　　. 答案　±3解析　|a|=3,|b|=,a·b=3×1+3×(-1)=0.因為(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.41.(2013課標Ⅰ,理13,文13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=　　　　. 答案　2解析　解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴t+1-t=0,t=2.解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的終點A、B、C共線,在平面直角坐標系中設(shè)a=(1,0),b=,則c=.把a、b、c的坐標代入c=ta+(1-t)b,得t=2.評析　本題考查了向量的運算,利用三點共線的條件得到c的坐標是解題關(guān)鍵.42.(2012課標,理13,文13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=　　　　. 答案　3解析　|2a-b|=兩邊平方得4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).評析　本題考查了向量的基本運算,考查了方程的思想.通過“平方”把向量轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積是求解的關(guān)鍵.43.(2012安徽文,11,5分)設(shè)向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,則|a|=　　　　. 答案　解析　a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b,∴(a+c)·b=0,∴3m+3+3m=0,∴m=-,∴a=(1,-1),∴|a|==.評析　本題主要考查向量的基本運算,考查了向量垂直的充要條件.44.(2011課標,文13,5分)已知a與b為兩個不共線的單位向量,k為實數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=　　　. 答案　1解析　由題意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π.由a+b與向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0,(k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0,∴k-1=0,k=1.評析　本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關(guān)知識,考查學(xué)生的運算求解能力,屬中等難度試題.45.(2015福建理,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且=+,則·的最大值等于(　　)A.13　　　B.15　　　C.19　　　D.21答案　A　以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13,故·的最大值為13,故選A.46.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. 答案　0;2解析　本題考查平面向量的坐標表示及坐標運算,在向量的坐標運算中涉及多個未知數(shù)據(jù)以此來考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).如圖,建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),∴=(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1),故|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|=.(*)顯然(*)式中第一個括號中的λ1,λ3與第二個括號中的λ2,λ4的取值互不影響,∴只需討論λ5與λ6的取值情況即可,當λ5與λ6同號時,不妨取λ5=1,λ6=1,則(*)式即為,∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)時,(*)式取最小值0,當|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)時,(*)式取最大值2,當λ5與λ6異號時,不妨取λ5=1,λ6=-1,則(*)式即為.同理可得最小值仍為0,最大值仍為2,綜上,最小值為0,最大值為2.解題關(guān)鍵　本題未知量比較多,所以給學(xué)生的第一感覺是難,而實際上注意到圖形為規(guī)則的正方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有兩種可能(1或-1),這就給建系及討論λi的值創(chuàng)造了條件,也是求解本題的突破口.47.(2019課標Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=　　　　. 答案　-解析　本題考查平面向量夾角的計算,通過向量的坐標運算考查學(xué)生的運算求解能力,體現(xiàn)運算法則與運算方法的素養(yǎng)要素.由題意知cos<a,b>===-.48.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=　　　　. 答案　8解析　本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標運算,考查了方程的思想方法.∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.易錯警示　容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.49.(2017北京文,12,5分)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則·的最大值為　　　　. 答案　6解析　解法一:·表示在方向上的投影與||的乘積,當P在B點時,·有最大值,此時·=2×3=6.解法二:設(shè)P(x,y),則·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由題意知-1≤x≤1,∴x=1時,·取最大值6,∴·的最大值為6.

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