考點(diǎn)一　用向量法證明空間中的平行和垂直
1.(2021廣東佛山月考,3)直線l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向 量為?,則m=?(　????)A.-4　????B.-6　????C.-8　????D.8答案????C????
2.(2022福州一中質(zhì)檢,4)以下四組向量在同一平面的是?(　????)A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)答案????B????
3.(多選)(2022廣東中山一中階段測試,10)如圖,兩個(gè)正方形ABCD和ADEF 所在平面互相垂直,設(shè)M,N分別是AC和AE的中點(diǎn),那么下列結(jié)論正確的是 ?(　????)A.AD⊥MN　????B.MN∥平面CDEC.MN∥CE　????D.MN,CE異面答案????ABC????
4.(多選)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P 滿足?=λ?+μ?,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則?(　????)A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=?時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥BPD.當(dāng)μ=?時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1P答案????BD????
5.(2023屆南京、鎮(zhèn)江學(xué)情調(diào)查,19)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD 是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD= 1,M是棱SB的中點(diǎn).(1)求證:AM∥平面SCD;(2)求平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值.?
解析　因?yàn)镾A⊥底面ABCD,AB垂直于AD,所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以向量 ?,?,?的方向分別為x
軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,0,0),C(2,2,0),D (1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以?=(0,1,1),?=(1,0,-2),?=(-1,-2,0).(1)證明:設(shè)平面SCD的法向量為n=(x,y,z),則?即?令z=1,則x=2,y=-1,則n=(2,-1,1). 因此?·n=-1+1=0,從而?⊥n,又AM?平面SCD,所以AM∥平面SCD.(2)易知平面SAB的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0),由(1)知平面SCD的一個(gè)法向量為n=(2,-1,1),則cos=?=?=?,所以平面SCD與平面SAB所成銳二面角
的余弦值為?.
6.(2022南京一中期初測試,20)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PA⊥ 底面ABCD,PA=AB,點(diǎn)E在棱PD上,且2PE=ED,點(diǎn)F是棱PC上的動點(diǎn)(不含 端點(diǎn)).(1)若F是棱PC的中點(diǎn),求證:PB∥平面AEF;(2)求PA與平面AEF所成角的正弦值的最大值.?
解析　因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面為正方形,PA⊥底面ABCD,
所以AB,AD,AP兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以?,?,?的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,如圖所示.不妨設(shè)PA=AB=6,則B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).(1)證明:?=(0,2,4),因?yàn)镕是棱PC的中點(diǎn),所以F(3,3,3),所以?=(3,3,3).設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z),則由?得?不妨令y=2,則x=-1,z=-1,所以m=(-1,2,-1),又?=(6,0,-6),所以m·?=-6+0+6=0,即m⊥?,又PB?平面AEF,所以PB∥平面AEF.(2)?=(6,6,-6),設(shè)PA與平面AEF所成的角為θ,?=λ?=(6λ,6λ,-6λ),0

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