專題三　函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)3.1　函數(shù)及其性質(zhì)考點(diǎn)一　函數(shù)的概念及表示1.(2015湖北文,7,5分)設(shè)x∈R,定義符號函數(shù)sgn x=則(　　)A.|x|=x|sgn x|　　　　　B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn x　　　　　D.|x|=xsgn x答案　D　由已知可知xsgn x=而|x|=所以|x|=xsgn x,故選D.2.(2014江西理,3,5分)已知函數(shù)f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,則a=(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.-1答案　A　由已知條件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故選A.評析　本題主要考查函數(shù)的解析式,正確理解函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.3.(2017山東理,1,5分)設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)?/span>A,函數(shù)y=ln(1-x)的定義域?yàn)?/span>B,則A∩B=(　　)A.(1,2)　　　　　B.(1,2]C.(-2,1)　　　　　D.[-2,1)答案　D　由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故選D.4.(2015重慶文,3,5分)函數(shù)f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是(　　)A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案　D　由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故選D.5.(2015湖北文,6,5分)函數(shù)f(x)=+lg的定義域?yàn)?/span>(　　)A.(2,3)　　　　　B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]　　　　　D.(-1,3)∪(3,6]答案　C　要使函數(shù)f(x)有意義,需滿足即解之得2<x<3或3<x≤4,故選C.6.(2014山東理,3,5分)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?/span>(　　)A.　　　　　B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)　　　　　D.∪[2,+∞)答案　C　要使函數(shù)f(x)有意義,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定義域?yàn)?/span>∪(2,+∞).7.(2016課標(biāo)Ⅱ文,10,5分)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是(　　)A.y=x　　　B.y=lg x　　　C.y=2x　　　D.y=答案　D　函數(shù)y=10lg x的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lg x的值域?yàn)?/span>R,排除B,故選D.易錯警示　利用對數(shù)恒等式將函數(shù)y=10lg x變?yōu)?/span>y=x,將其值域認(rèn)為是R是失分的主要原因.評析　本題考查函數(shù)的定義域和值域,熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.(2022北京,4,4分)已知函數(shù)f(x)=,則對任意實(shí)數(shù)x,有 (　　)A. f(-x)+f(x)=0　　　　B. f(-x)-f(x)=0C. f(-x)+f(x)=1　　　　D. f(-x)-f(x)=答案　C　∵f(x)=,∴f(-x)=,∴f(x)+f(-x)==1.故選C.一題多解:若對任意實(shí)數(shù)x,使得選項中式子成立,則可任取x值,代入驗(yàn)證,進(jìn)行排除.當(dāng)x=0時, f(0)+f(0)==1, f(0)-f(0)=0,故A,D選項錯誤.當(dāng)x=1時, f(-1)-f(1)=≠0,故B選項錯誤.根據(jù)排除法可知選C.9.(2022北京,11,5分)函數(shù)f(x)=的定義域是　　　　　　. 答案　(-∞,0)∪(0,1]解析　由題意得解得x≤1且x≠0,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(-∞,0)∪(0,1]. 10.(2015課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖象過點(diǎn)(-1,4),則a=　　　　. 答案　-2解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax3-2x的圖象過點(diǎn)(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.11.(2016江蘇,5,5分)函數(shù)y=的定義域是　　　　. 答案　[-3,1]解析　若函數(shù)有意義,則3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.考點(diǎn)二　分段函數(shù)1.(2015陜西文,4,5分)設(shè)f(x)=則f(f(-2))=(　　)A.-1　　　B.　　　C.　　　D.答案　C　∵f(-2)=2-2=,∴f(f(-2))=f =1-=,選C.2.(2015山東文,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=若f =4,則b=(　　)A.1　　　B.　　　C.　　　D.答案　D　f=3×-b=-b,當(dāng)-b≥1,即b≤時,f=,即=4=22,得到-b=2,即b=;當(dāng)-b<1,即b>時,f=-3b-b=-4b,即-4b=4,得到b=<,舍去.綜上,b=,故選D.3.(2014江西文,4,5分)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若f [f(-1)]=1,則a=(　　)A.　　　B.　　　C.1　　　D.2答案　A　由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=,故選A.4.(2022浙江,14,6分)已知函數(shù)f(x)=則f=　　　　;若當(dāng)x∈[a,b]時,1≤f(x)≤3,則b-a的最大值是　　　　. 答案　 ;3+解析　∵f,∴f.f(x)的大致圖象如圖.∵當(dāng)x∈[a,b]時,1≤f(x)≤3,∴由圖可得b>1且b+-1=3,∴b=2+,∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.一題多解:第二空:∵當(dāng)x≤1時,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3?x+-1=3(x>1),故x=2+,令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,令x+-1=1(x>1),無解,∴amin=-1,b=2+,∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.5.(2014課標(biāo)Ⅰ文,15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是　　　　. 答案　(-∞,8]解析　f(x)≤2?或?或?x<1或1≤x≤8?x≤8,故填(-∞,8].考點(diǎn)三 函數(shù)的單調(diào)性與最值1.(2021全國甲文,4,5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為 (　　)A. f(x)=-x　　　　B. f(x)=C. f(x)=x2　　　　D. f(x)=答案　D　解題指導(dǎo):排除法,利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項.解析　對于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知, f(x)是減函數(shù),故A不符合題意;對于f(x)=,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知, f(x)是減函數(shù),故B不符合題意;對于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知, f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C不符合題意;對于f(x)=,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知, f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,故選D.方法總結(jié):一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)單調(diào)性的判斷:若k>0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若k<0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)單調(diào)性的判斷:若a>1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若0<a<1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.冪函數(shù)y=xα單調(diào)性的判斷:若α>0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;若α<0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.2.(2021全國乙文,8,5分)下列函數(shù)中最小值為4的是 (　　)A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+C.y=2x+22-x　　　　D.y=ln x+答案　C　解題指導(dǎo):對于A,利用配方法或二次函數(shù)的單調(diào)性求最值,對于B,C,D,利用換元法轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)進(jìn)行判斷.解析　對于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值為3,所以A不符合題意;對于B,設(shè)|sin x|=t,則0<t≤1,y=|sin x|+,t∈(0,1],易知y=t+在(0,1]上單調(diào)遞減,故t=1時,ymin=1+=5,所以B不符合題意;對于C,令2x=t(t>0),則y=2x+22-x=t+,t>0,易知y=t+在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=2時,y取最小值,ymin=2+=4,故C符合題意;對于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,則y=ln x+,顯然t<0時,函數(shù)值小于0,不符合題意.故選C.3.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是????????????? (　　)A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3]答案　D　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上也單調(diào)遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:當(dāng)-1≤x≤0時,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當(dāng)1≤x≤3時,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D. 4.(2019北京文,3,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(　　)A.y=　　　　　B.y=2-xC.y=lox　　　　　D.y=答案　A　本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)形結(jié)合的思想.考查的核心素養(yǎng)是直觀想象.A選項,>0,所以冪函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增.B選項,指數(shù)函數(shù)y=2-x=在(0,+∞)上單調(diào)遞減.C選項,因?yàn)?/span>0<<1,所以對數(shù)函數(shù)y=lox在(0,+∞)上單調(diào)遞減.D選項,反比例函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減.解題關(guān)鍵　熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.5.(2016北京文,4,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是(　　)A.y=　　　　　B.y=cos xC.y=ln(x+1)　　　　　D.y=2-x答案　D　選項A中,y==的圖象是將y=-的圖象向右平移1個單位得到的,故y=在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項B中,y=cos x在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合題意;選項C中,y=ln(x+1)的圖象是將y=ln x的圖象向左平移1個單位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項D符合題意.評析　本題考查了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的變換,屬中檔題.6.(2015課標(biāo)Ⅱ文,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是(　　)A.B.∪(1,+∞)C.D.∪答案　A　當(dāng)x>0時,f(x)=ln(1+x)-,∴f '(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∵f(-x)=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得<x<1,故選A.7.(2016浙江,7,5分)已知函數(shù)f(x)滿足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(　　)A.若f(a)≤|b|,則a≤bB.若f(a)≤2b,則a≤bC.若f(a)≥|b|,則a≥bD.若f(a)≥2b,則a≥b答案　B　依題意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,則2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函數(shù),∴a≤b.故選B.8.(2016北京文,10,5分)函數(shù)f(x)=(x≥2)的最大值為　　　　. 答案　2解析　解法一:∵f '(x)=,∴x≥2時, f '(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法二:∵f(x)===1+,∴f(x)的圖象是將y=的圖象向右平移1個單位,再向上平移1個單位得到的.∵y=在[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法三:由題意可得 f(x)=1+.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1,∴1<1+≤2,即1<≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值為2.評析　本題考查函數(shù)的最值,有多種解法,屬中檔題.9.(2015浙江文,12,6分)已知函數(shù)f(x)=則f(f(-2))=　　　　, f(x)的最小值是　　　　. 答案　-;2-6解析　f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+-6=-.當(dāng)x≤1時, f(x)=x2≥0,當(dāng)x>1時,f(x)=x+-6≥2-6,當(dāng)且僅當(dāng)x=時,等號成立,又2-6<0,所以f(x)min=2-6.10.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-),則a的取值范圍是　　　　. 答案　解析　由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)?/span>f(2|a-1|)>f(-), f(-)=f(),所以f(2|a-1|)>f(),所以2|a-1|<,解之得<a<.考點(diǎn)四　函數(shù)的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　)A.y=x2sin x　　　　　B.y=x2cos xC.y=|ln x|　　　　　D.y=2-x答案　B　A中函數(shù)為奇函數(shù),B中函數(shù)為偶函數(shù),C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù),故選B.2.(2014課標(biāo)Ⅰ,理3,文5,5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案　C　由題意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于選項A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù),故A項錯誤;對于選項B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B項錯誤;對于選項C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C項正確;對于選項D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D項錯誤,選C.評析　本題考查函數(shù)奇偶性的定義及其應(yīng)用,考查學(xué)生的知識應(yīng)用能力及邏輯推理論證能力,準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.3.(2011課標(biāo),理2,文3,5分)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　)A.y=x3　　　　　B.y=|x|+1C.y=-x2+1　　　　　D.y=2-|x|答案　B　y=x3是奇函數(shù),y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是減函數(shù),故選B.評析　本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定,屬容易題.4.(2021全國乙理,4,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 (　　)A.f(x-1)-1　　　　B.f(x-1)+1　　　　C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1答案　B　解題指導(dǎo):思路一:將函數(shù)f(x)的解析式分離常數(shù),通過圖象變換可得函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)對稱,此函數(shù)即為奇函數(shù);思路二:由函數(shù)f(x)的解析式,求出選項中的函數(shù)解析式,由函數(shù)奇偶性定義來判斷.解析　解法一:f(x)=-1+,其圖象的對稱中心為(-1,-1),將y=f(x)的圖象沿x軸向右平移1個單位,再沿y軸向上平移1個單位可得函數(shù)f(x-1)+1的圖象,關(guān)于(0,0)對稱,所以函數(shù)f(x-1)+1是奇函數(shù),故選B.解法二:選項A, f(x-1)-1=-2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項B, f(x-1)+1=,此函數(shù)為奇函數(shù);選項C, f(x+1)-1=,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項D, f(x+1)+1=,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故選B.5.(2021全國甲理,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R, f(x+1)為奇函數(shù), f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f=????????????? (　　)A.-答案　D　解題指導(dǎo):利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),將出現(xiàn)的自變量0,3,對應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為[1,2]內(nèi)自變量對應(yīng)的函數(shù)值,進(jìn)而得到a,b以及f的值.解析　由題知從而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由題知f(x+1)為奇函數(shù),x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得從而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以f.故選D.一題多解　因?yàn)?/span>f(x+1)與f(x+2)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)和直線x=2對稱,且f(x)為周期函數(shù),周期T=4,從而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②f,由①②結(jié)合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以f.6.(多選)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的定義域均為R,記g(x)=f '(x).若f,g(2+x)均為偶函數(shù),則????????????? (　　)A. f(0)=0　　　　B.g=0C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2)答案　BC　解法一:若設(shè)f(x)=1,則g(x)=0,易知所設(shè)f(x)符合題意,此時f(0)=1,故選項A錯誤.設(shè)f(x)=sin(πx),則g(x)=f '(x)=πcos(πx),由于f=sinπ=sin=-cos(2πx),g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以f,g(2+x)均為偶函數(shù),則所設(shè)f(x)符合題意.于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故選項D錯誤.由于f是偶函數(shù),所以f '是奇函數(shù),即g是奇函數(shù),則g=0,注意到g(2+x)是偶函數(shù),于是g=-g=g=0,故選項B正確.由f,取x=,則f(-1)=f(4),故選項C正確.故選BC.解法二:由題意知f?f(-x)=f(3+x)①,取x=1,知f(-1)=f(4),C正確.對①兩邊求導(dǎo)知-f '(-x)=f '(3+x)?f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-,知g=0.g(2+x)=g(2-x)?g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).從而g=0,B正確.同解法一可判斷A,D錯誤.故選BC. 7.(2017課標(biāo)Ⅱ文,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時, f(x)=2x3+x2,則f(2)=　　　　. 答案　12解析　本題主要考查運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值.由題意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)時, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.8.(2015課標(biāo)Ⅰ理,13,5分)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=　　　　. 答案　1解析　由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),則ln(x+)+ln(-x)=0,∴ln[()2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.9.(2014課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱, f(3)=3,則f(-1)=　　　　. 答案　3解析　∵函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,∴f(2+x)=f(2-x)對任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.10.(2012課標(biāo)文,16,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=　　　　. 答案　2解析　f(x)==1+,令g(x)=,則g(x)為奇函數(shù),有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.考點(diǎn)五 函數(shù)的周期性1.　(2016山東,9,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R.當(dāng)x<0時, f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時, f(-x)=-f(x);當(dāng)x>時, f=f.則f(6)=(　　)A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2答案　D　當(dāng)x>時,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故選D.2.(2021全國甲文,12,5分)設(shè)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù),且f(1+x)=f(-x).若f,則f= (　　)A.-答案　C　解題指導(dǎo):求出函數(shù)f(x)的周期再進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可求解.解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期為2,則f,故選C.知識延伸:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對稱軸為直線x=,周期為2a;若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對稱軸為直線x=,周期為a.3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,則f(k)= (　　)A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1答案　A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故選A.4.(2022全國乙理,12,5分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,g(2)=4,則f(k)=????????????? (　　)A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24答案　D　由y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,則f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).對于④,分別令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.對于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,則g(1)-f(1)=7⑦,對于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,由⑦⑧,得f(1)=-1.對于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1.對于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3.則=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故選D.5.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=　　　　. 答案　1解題指導(dǎo):利用偶函數(shù)的定義,取定義域內(nèi)的特殊值即可求出a的值.解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),∴2a-,∴a=1.當(dāng)a=1時, f(x)=x3(2x-2-x),定義域?yàn)?/span>R,且滿足f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).一題多解　y=x3和y=2x-2-x為奇函數(shù),利用結(jié)論:奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),可快速判斷出a=1.6.(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=ln+b是奇函數(shù),則a=　　　　,b=　　　　. 答案　 -;ln 2解析　∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當(dāng)x=-1時,=0,∴a+=0,∴a=-,此時f(x)=ln+b,∵f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln+b=0,∴b=-ln=ln 2.綜上可知,a=-,b=ln 2. 7.(2016四川,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時, f(x)=4x,則f + f(1)=　　　　. 答案　-2解析　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期為2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(1)=-2.       

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