專(zhuān)題七 數(shù)列7.1數(shù)列的概念及表示 考點(diǎn)　數(shù)列的概念及表示1.(2013課標(biāo)Ⅰ理,12,5分)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,則(　　)A.{Sn}為遞減數(shù)列B.{Sn}為遞增數(shù)列C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列答案　B　由bn+1=,cn+1=得bn+1+cn+1=an+(bn+cn),(*)bn+1-cn+1=-(bn-cn),由an+1=an得an=a1,代入(*)得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn),∴bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),∵b1+c1-2a1=2a1-2a1=0,∴bn+cn=2a1>|BnCn|=a1,所以點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1的橢圓上(如圖).由b1>c1得b1-c1>0,所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1)·,所以當(dāng)n增大時(shí)|bn-cn|變小,即點(diǎn)An向點(diǎn)A處移動(dòng),即邊BnCn上的高增大,又|BnCn|=an=a1不變,所以{Sn}為遞增數(shù)列.2.(2016浙江,理13,文13,6分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=　　　　,S5=　　　　. 答案　1;121解析　解法一:∵an+1=2Sn+1,∴a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又∵S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.解法二:由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,則Sn+1+=3,又S1+=,∴是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列,∴Sn+=×3n-1,即Sn=,∴S5==121.評(píng)析　　本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系,利用an+1=Sn+1-Sn得出Sn+1=3Sn+1是解題的關(guān)鍵.3.(2015課標(biāo)Ⅱ理,16,5分)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　. 答案　-解析　∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差數(shù)列,且公差為-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.4.(2014課標(biāo)Ⅱ文,16,5分)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=,a8=2,則a1=　　　　. 答案　解析　由an+1=,得an=1-,∵a8=2,∴a7=1-=,a6=1-=-1,a5=1-=2,…,∴{an}是以3為周期的數(shù)列,∴a1=a7=.5.(2013課標(biāo)Ⅰ理,14,5分)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+,則{an}的通項(xiàng)公式是an=　　　　. 答案　(-2)n-1解析　由Sn=an+得:當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1+,∴當(dāng)n≥2時(shí),an=-2an-1,又n=1時(shí),S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1.6.(2022北京,15,5分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an·Sn=9(n=1,2,…).給出下列四個(gè)結(jié)論:①{an}的第2項(xiàng)小于3;②{an}為等比數(shù)列;③{an}為遞減數(shù)列;④{an}中存在小于的項(xiàng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　. 答案　 ①③④解析　當(dāng)n=1時(shí),a1·a1=9,由a1>0,得a1=3,當(dāng)n=2時(shí),a2·S2=a2(a2+3)=9,即+3a2-9=0,解得a2=,又a2>0,所以a2=,所以a2<3,故①正確.an+1-an=,又知各項(xiàng)均為正數(shù),所以Sn+1>Sn,所以Sn-Sn+1<0,即an+1-an<0.所以an+1<an,所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,故③正確.由Sn·an=9得Sn=,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=,兩邊同乘an得,若{an}為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則=q(n≥2)為常數(shù),則也為常數(shù),由③知{an}是遞減數(shù)列,所以{an}不為等比數(shù)列,故②錯(cuò)誤.假設(shè){an}中所有項(xiàng)均大于或等于,即an≥,取n>90 000,則Sn=a1+a2+…+an>×90 000=900,∴an·Sn>×900=9,與已知an·Sn=9相矛盾,所以④正確.故正確結(jié)論的序號(hào)為①③④.  7.(2016課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5=,求λ.解析　(1)由題意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.因此{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=.(6分)(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-1.(12分)思路分析　(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是否為一常數(shù),其中說(shuō)明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)論解方程求出λ.8.(2014大綱全國(guó)文,17,10分)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解析　(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(5分)(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.(8分)于是所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.(10分)評(píng)析　本題著重考查等差數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式及“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算變形的能力.9.(2014課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù),(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.解析　(1)證明:由題設(shè)anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減得,an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列.評(píng)析　　本題主要考查an與Sn的關(guān)系及等差數(shù)列的定義,考查學(xué)生的邏輯思維能力及分析解決問(wèn)題的能力. 

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