7.3　等比數(shù)列考點(diǎn)一　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.(2021全國甲文,9,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6= (　　)A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10答案　A　解題指導(dǎo):思路一:直接利用求和公式解關(guān)于首項(xiàng)和公比兩個(gè)基本量的方程組.思路二:根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(依次每n項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列且Sn≠0)求解.解析　解法一(基本量法):設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠1),則∴S6==7,故選A.解法二(利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)):由題意知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,則(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7,故選A.2.(2021全國甲理,7,5分)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則 (　　)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件　　　　B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件　　　　D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案　B　當(dāng)q=1,a1<0時(shí),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1<0,可知{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列,因此甲不是乙的充分條件;若{Sn}是遞增數(shù)列,則當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1>0,即a1qn-1>0恒成立,而只有當(dāng)a1>0,q>0時(shí),a1qn-1>0恒成立,所以可得q>0,因此甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選B.方法總結(jié):研究數(shù)列{Sn}的單調(diào)性只需考慮Sn>Sn-1或Sn<Sn-1(n≥2)成立,不需討論對(duì)任意n,m∈N*且n<m,有Sn<Sm或Sn>Sm恒成立.3.(2022全國乙,理8,文10,5分)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則a6= (　　)A.14　　　　B.12　　　　C.6　　　　D.3答案　D　解法一:設(shè){an}的公比為q,則=q(1-q)=,4q2-4q+1=0,即(2q-1)2=0,∴q=,代入①得a1=96,故a6=a1q5=96×=3,故選D.解法二:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.由a2-a5=42,得q≠1.由題意得=4,即4q2-4q+1=0,∴(2q-1)2=0,得q=,代入①得a1=96,∴a6=a1q5=96×=3,故選D. 4.(2013課標(biāo)Ⅰ文,6,5分)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則(　　)A.Sn=2an-1　　　　　B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an　　　　　D.Sn=3-2an答案　D　因?yàn)?/span>a1=1,公比q=,所以an=,Sn==31-=3-2=3-2an,故選D.5.(2013課標(biāo)Ⅱ理,3,5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　)A.　　　B.-　　　C.　　　D.-答案　C　由已知條件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q2=9.所以a5=9=a1·q4=81a1,得a1=,故選C.6.(2019課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,S3=,則S4=　　　　. 答案　解析　本題主要考查等比數(shù)列的有關(guān)概念;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.設(shè)公比為q(q≠0),則S3=a1+a2+a3=1+q+q2=,解得q=-,∴a4=a1q3=-,∴S4=S3+a4=-=.7.(2017課標(biāo)Ⅲ理,14,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4 =　　　　. 答案　-8解析　本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng).設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意得解得∴a4=a1q3=-8.8.(2015課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=　　　　. 答案　6解析　由已知得{an}為等比數(shù)列,公比q=2,由首項(xiàng)a1=2,Sn=126得=126,解得2n+1=128,∴n=6.評(píng)析　本題主要考查等比數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式,屬容易題,注意運(yùn)算要準(zhǔn)確哦!9.(2015湖南理,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=　　　　. 答案　3n-1解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),依題意得a2=a1·q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.10.(2013遼寧理,14,5分)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根,則S6=　　　　. 答案　63解析　a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根且{an}是遞增數(shù)列,故a3=4,a1=1,故公比q=2,S6==63.評(píng)析　本題考查了等比數(shù)列的求和公式.數(shù)列{an}遞增是解題的關(guān)鍵,沒考慮到q>0是失分的主因.11.(2012課標(biāo)文,14,5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=　　　　. 答案　-2解析　由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.評(píng)析　　本題考查了等比數(shù)列的運(yùn)算,直接利用定義求解可達(dá)到事半功倍的效果.12.(2020課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.解析　(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q1=1(舍去),q2=-2.故{an}的公比為-2.(2)記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.所以Sn=.13.(2020新高考Ⅰ,18,12分)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.解析　(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=(舍去),q2=2.由題設(shè)得a1=2.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)由題設(shè)及(1)知b1=0,且當(dāng)2n≤m<2n+1時(shí),bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.思路分析　(1)設(shè)出公比q,由題設(shè)條件求得a1和q,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出結(jié)果.(2)由題設(shè)及(1)推導(dǎo)出bm,再計(jì)算數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和,即先給m賦值,推導(dǎo)出規(guī)律,再進(jìn)行運(yùn)算,得到S100的值.14.(2022新高考Ⅱ,17,10分)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1;(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù).解析　(1)證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1,①由a3-b3=b4-a4得a1+2d-4b1=8b1-a1-3d,故2a1+5d=12b1,②由①②得2a1+10b1=12b1,即a1=b1.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,1≤m≤500得b1×2k-1=2a1+(m-1)d,即a1×2k-1=2a1+2(m-1)a1,其中a1≠0,∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,∴2≤k≤10.故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個(gè)數(shù)為9個(gè). 15.(2018課標(biāo)Ⅰ文,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列,并說明理由;(3)求{an}的通項(xiàng)公式.解析　(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.方法規(guī)律　等比數(shù)列的判定方法:證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法或等比中項(xiàng)法,通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法只用于選擇題、填空題中的判定.若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.16.(2014課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明++…+<.解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列.an+=,因此{an}的通項(xiàng)公式為an=.(2)由(1)知=.因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.評(píng)析　本題考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮求和是本題的難點(diǎn).17.(2011課標(biāo)文,17,12分)已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.(1)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=;(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.解析　(1)因?yàn)?/span>an=×=,Sn==,所以Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-.所以{bn}的通項(xiàng)公式為bn=-.評(píng)析　本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),要求考生有較清晰的推理思路和運(yùn)算目標(biāo),但難度并不大.屬中檔題.18.(2016課標(biāo)Ⅲ理,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5=,求λ.解析　(1)由題意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.因此{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=.(6分)(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得λ=-1.(12分)思路分析　(1)先由題設(shè)利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是看an+1與an之比是否為一常數(shù),其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結(jié)論解方程求出λ.考點(diǎn)二　等比數(shù)列的性質(zhì)1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則(　　)A.a1<a3,a2<a4　　　　　B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4　　　　　D.a1>a3,a2>a4答案　B　本題考查等比數(shù)列的概念和性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值,不等式的性質(zhì)和分類討論思想.設(shè)f(x)=ln x-x(x>0),則f '(x)=-1=,令f '(x)>0,得0<x<1,令f '(x)<0,得x>1,∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),∴f(x)≤f(1)=-1,即有ln x≤x-1.從而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,∴a4<0,又a1>1,∴公比q<0.若q=-1,則a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)=ln a1>0,矛盾.若q<-1,則a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)<0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)>0,∴ln(a1+a2+a3)>ln a1>0,也矛盾.∴-1<q<0.從而=q2<1,∵a1>0,∴a1>a3.同理,∵=q2<1,a2<0,∴a4>a2.選B.思路分析　(1)由題中的選項(xiàng)可知要判斷0<q2<1,還是q2>1.(2)由條件可知要利用不等式ln x≤x-1(x>0),得a4<0,進(jìn)而得q<0.(3)直接求q的取值范圍較難,轉(zhuǎn)化為判斷q=-1和q<-1時(shí),等式a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)左、右兩邊的正負(fù),進(jìn)而得出矛盾,從而得-1<q<0.(4)注意a1>0,而a2<0,利用-1<q<0得結(jié)論.2.(2015課標(biāo)Ⅱ文,9,5分)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=(　　)A.2　　　B.1　　　C.　　　D.答案　C　設(shè){an}的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,得a4=2,則q3===8,得q=2,則a2=a1q=×2=,故選C.3.(2014大綱全國文,8,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(　　)A.31　　　B.32　　　C.63　　　D.64答案　C　由等比數(shù)列的性質(zhì)得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故選C.4.(2012課標(biāo)理,5,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(　　)A.7　　　B.5　　　C.-5　　　D.-7答案　D　由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,又a4+a7=2,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,∴q3=-或q3=-2.當(dāng)q3=-時(shí),a1+a10=+a4q6=+4×=-7,當(dāng)q3=-2時(shí),a1+a10=+a4q6=+(-2)·(-2)2=-7,故選D.評(píng)析　本題考查了等比數(shù)列的基本運(yùn)算,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可簡化計(jì)算.5.(2014江蘇理,7,5分)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　. 答案　4解析　由a8=a6+2a4,兩邊都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0?(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2.∵a2=1,∴a6=a2q4=1×22=4.6.(2014廣東文,13,5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　　　　. 答案　5解析　由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a5=a2a4==4?a3=2,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2=5log22=5. 

相關(guān)課件

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)21_專題七74數(shù)列求和、數(shù)列的綜合（專題試卷+講解PPT）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)21_專題七74數(shù)列求和、數(shù)列的綜合（專題試卷+講解PPT），文件包含1_74數(shù)列求和數(shù)列的綜合分層集訓(xùn)pptx、1_74數(shù)列求和數(shù)列的綜合pptx、1_74數(shù)列求和數(shù)列的綜合十年高考docx、1_74數(shù)列求和數(shù)列的綜合docx等4份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共71頁， 歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)19_專題七72等差數(shù)列（專題試卷+講解PPT）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)19_專題七72等差數(shù)列（專題試卷+講解PPT），文件包含1_72等差數(shù)列分層集訓(xùn)pptx、1_72等差數(shù)列pptx、1_72等差數(shù)列十年高考docx、1_72等差數(shù)列docx等4份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共55頁， 歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)18_專題七71數(shù)列的概念及表示（專題試卷+講解PPT）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)18_專題七71數(shù)列的概念及表示（專題試卷+講解PPT），文件包含1_71數(shù)列的概念及表示分層集訓(xùn)pptx、1_71數(shù)列的概念及表示pptx、1_71數(shù)列的概念及表示docx、1_71數(shù)列的概念及表示十年高考docx等4份課件配套教學(xué)資源，其中PPT共30頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯41份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部