2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)30_專題九94拋物線及其性質(zhì)（專題試卷+講解PPT）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

9.4　拋物線及其性質(zhì)考點(diǎn)一　拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2022全國(guó)乙,理5,文6,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|= (　　)A.2　　　　B.2答案　B　由題意可知,F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A,由拋物線定義可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,所以由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),則|AB|=,故選B.一題多解:由題意可知F(1,0),所以|BF|=2,又|AF|=|BF|,所以|AF|=2,所以A的橫坐標(biāo)為1,此時(shí)A的縱坐標(biāo)為2或-2,所以AF⊥x軸,所以△AFB為等腰直角三角形,所以|AB|=2,故選B. 2.(2015浙江理,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) A.　　　　　B.C.　　　　　D.答案　A　過(guò)A,B點(diǎn)分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N,則|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知====,故選A.3.(2014課標(biāo)Ⅰ理,10,5分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若=4,則|QF|=(　　)A.　　　B.3　　　C.　　　D.2答案　B　∵=4,∴點(diǎn)Q在線段PF上,且在兩端點(diǎn)之間,過(guò)Q作QM⊥l,垂足為M,由拋物線定義知|QF|=|QM|,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為N,則|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,則=,即=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故選B.4.(2014課標(biāo)Ⅰ文,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=(　　)A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8答案　A　由y2=x得2p=1,即p=,因此焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為l:x=-,設(shè)A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d,由拋物線的定義可知d=|AF|,從而x0+=x0,解得x0=1,故選A.評(píng)析　本題考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,將|AF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離是解題的關(guān)鍵.5.(2013課標(biāo)Ⅱ理,11,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為(　　)A.y2=4x或y2=8x　　　　　B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x　　　　　D.y2=2x或y2=16x答案　C　∵以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),∴點(diǎn)M在第一象限.由|MF|=xM+=5得M.從而以MF為直徑的圓的圓心N的坐標(biāo)為,∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)恰好等于圓的半徑,∴圓與y軸切于點(diǎn)(0,2),從而2=,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴拋物線方程為y2=4x或y2=16x.故選C.6.(2013課標(biāo)Ⅱ文,10,5分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為(　　)A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案　C　設(shè)直線AB與拋物線的準(zhǔn)線x=-1交于點(diǎn)C.分別過(guò)A,B作AA1,BB1垂直于準(zhǔn)線于A1,B1.由拋物線的定義可設(shè)|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得==,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直線l的傾斜角α=或π.又F(1,0),∴直線AB的方程為y=(x-1)或y=-(x-1).故選C.7.(2012四川理,8,5分)已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,y0).若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|=(　　)A.2　　　B.2　　　C.4　　　D.2答案　B　由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).由|MF|=+2=3得p=2,∴拋物線方程為y2=4x.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,±2),∴|OM|==2,故選B.8.(2011課標(biāo)文,9,5分)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為(　　)A.18　　　B.24　　　C.36　　　D.48答案　C　設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0).∵當(dāng)x=時(shí),|y|=p,∴p===6.又P到AB的距離始終為p,∴S△ABP=×12×6=36.評(píng)析　本題主要考查拋物線的定義、拋物線方程等相關(guān)知識(shí),明確準(zhǔn)線上任一點(diǎn)到直線l的距離為p.9.(2017山東,理14,文15,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　. 答案　y=±x解析　本題考查雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和方程的思想方法.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)?/span>4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×=y1++y2+,即y1+y2=p①.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=②.由①②可得=,故雙曲線的漸近線方程為y=±x.思路分析　由拋物線的定義和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再聯(lián)立雙曲線和拋物線的方程,消去x得關(guān)于y的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2.從而得的值,近而得漸近線方程.解題關(guān)鍵　求漸近線方程的關(guān)鍵是求的值,利用題中條件建立等量關(guān)系是突破口,注意到|AF|、|BF|為焦半徑,因此應(yīng)利用焦半徑公式求解.又A、B為兩曲線的交點(diǎn),因此應(yīng)聯(lián)立它們的方程求解.這樣利用y1+y2這個(gè)整體來(lái)建立等量關(guān)系便可求解.10.(2012陜西理,13,5分)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬　　　　米. 答案　2解析　建立坐標(biāo)系如圖所示.則拋物線方程為x2=-2py.∵點(diǎn)A(2,-2)在拋物線上,∴p=1,即拋物線方程為x2=-2y.當(dāng)y=-3時(shí),x=±.∴水位下降1米后,水面寬為2米.評(píng)析　本題考查了解析法在實(shí)際問題中的運(yùn)用.坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.11.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y軸的距離是　　　　. 答案　9解析　設(shè)M(x0,y0),由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0).根據(jù)拋物線的定義得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即點(diǎn)M到y軸的距離為9.考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì)1.(2016課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=(　　)A.　　　B.1　　　C.　　　D.2答案　D　由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=(k>0)得k=1×2=2,故選D.評(píng)析　利用垂直得到點(diǎn)P的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵.2.(2015課標(biāo)Ⅰ文,5,5分)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=(　　)A.3　　　B.6　　　C.9　　　D.12答案　B　拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2.從而橢圓E的半焦距c=2.可設(shè)橢圓E的方程為+=1(a>b>0),因?yàn)殡x心率e==,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由題意知|AB|==2×=6.故選B.評(píng)析　本題考查了橢圓、拋物線的方程和性質(zhì),運(yùn)算失誤容易造成失分.3.(2015陜西文,3,5分)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A.(-1,0)　　　B.(1,0)　　　C.(0,-1)　　　D.(0,1)答案　B　拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-,由題設(shè)知-=-1,即=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).故選B.4.(2014安徽文,3,5分)拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是(　　)A.y=-1　　　　　B.y=-2C.x=-1　　　　　D.x=-2答案　A　由y=x2得x2=4y,焦點(diǎn)在y軸正半軸上,且2p=4,即p=2,因此準(zhǔn)線方程為y=-=-1.故選A.5.(2013四川文,5,5分)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到直線x-y=0的距離是(　　)A.2　　　B.2　　　C.　　　D.1答案　D　由拋物線方程知2p=8?p=4,故焦點(diǎn)F(2,0),由點(diǎn)到直線的距離公式知,F到直線x-y=0的距離d==1.故選D.評(píng)析　考查拋物線的方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式,考查運(yùn)算求解能力.6.(2012課標(biāo)理,8,5分)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為(　　)A.　　　B.2　　　C.4　　　D.8答案　C　如圖,AB為拋物線y2=16x的準(zhǔn)線,由題意可得A(-4,2).設(shè)雙曲線C的方程為x2-y2=a2(a>0),則有16-12=a2,故a=2,∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4.故選C.評(píng)析　本題考查了雙曲線和拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),考查了方程的數(shù)學(xué)思想,要注意雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a.7.(2016課標(biāo)Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　)A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8答案　B　不妨設(shè)C:y2=2px(p>0),A(x1,2),則x1==,由題意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故選B.思路分析　設(shè)出拋物線C的方程,根據(jù)已知條件得出點(diǎn)A的坐標(biāo),利用|OA|=|OD|建立關(guān)于p的方程,解方程得出結(jié)論.8.(2017課標(biāo)Ⅰ理,10,5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為(　　)A.16　　　B.14　　　C.12　　　D.10答案　A　如圖所示,設(shè)直線AB的傾斜角為θ,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,B1,則|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,過(guò)點(diǎn)F向AA1引垂線FG,得==cos θ,則|AF|=,同理,|BF|=,則|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,因l1與l2垂直,故直線DE的傾斜角為θ+或θ-,則|DE|=,則|AB|+|DE|=+===,則易知|AB|+|DE|的最小值為16.故選A.方法總結(jié)　利用幾何方法求拋物線的焦半徑.如圖,在拋物線y2=2px(p>0)中,AB為焦點(diǎn)弦,若AF與拋物線對(duì)稱軸的夾角為θ,則在△FEA中,cos θ=cos∠EAF==,則可得到焦半徑|AF|=,同理,|BF|=,熟悉這種求拋物線焦半徑的方法,對(duì)于求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng),焦點(diǎn)弦中的定值,如:+=等的幫助很大.9.(2015四川理,10,5分)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是(　　)A.(1,3)　　　B.(1,4)　　　C.(2,3)　　　D.(2,4)答案　D　當(dāng)直線AB的斜率不存在,且0<r<5時(shí),有兩條滿足題意的直線l.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),由拋物線與圓的對(duì)稱性知,kAB>0和kAB<0時(shí)各有一條滿足題意的直線l.設(shè)圓的圓心為C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則x0=,y0=,∴kAB===.∵kCM=,且kABkCM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+>4(∵y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中點(diǎn)為M知B(6-x1,2y0-y1),∵點(diǎn)B,A在拋物線上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①=4x1,②由①,②得-2y0y1+2-12=0,∵Δ=4-4(2-12)>0,∴<12.∴r2=(3-5)2+=4+<16,∴r<4.綜上,r∈(2,4),故選D.10.(2014課標(biāo)Ⅱ文,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(　　)A.　　　B.6　　　C.12　　　D.7答案　C　焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,直線AB的斜率為,所以直線AB的方程為y=,即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,故選C.11.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為　　　　. 答案　x=-解析　∵點(diǎn)P在拋物線上且PF⊥x軸,不妨設(shè)點(diǎn)P位于x軸上方,∴P,∵OP⊥PQ,∴由平面幾何知識(shí)可得|PF|2=|OF|·|FQ|,又∵|FQ|=6,∴p2=×6,∴p=3或p=0(舍),∴C的準(zhǔn)線方程為x=-.名師點(diǎn)睛　解析幾何小題,側(cè)重于幾何關(guān)系,要充分利用平面幾何知識(shí),建立等式,從而快速解決問題. 12.(2018課標(biāo)Ⅲ理,16,5分)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=　　　　. 答案　2解析　本題考查拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用.解法一:由題意可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以過(guò)焦點(diǎn)(1,0),斜率為k的直線方程為x=+1,設(shè)A,B,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得整理得y2-y-4=0,從而得y1+y2=,y1·y2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴·=0,即·+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則②-①得-=4(x2-x1),從而k==.設(shè)AB的中點(diǎn)為M',連接MM'.∵直線AB過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),∴以線段AB為直徑的☉M'與準(zhǔn)線l:x=-1相切.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴點(diǎn)M在準(zhǔn)線l:x=-1上,同時(shí)在☉M'上,∴準(zhǔn)線l是☉M'的切線,切點(diǎn)為M,且M'M⊥l,即MM'與x軸平行,∴點(diǎn)M'的縱坐標(biāo)為1,即=1?y1+y2=2,故k===2.疑難突破　運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,采用“設(shè)而不求”的方法來(lái)解決直線與拋物線的相交問題.13.(2013浙江理,15,4分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若|FQ|=2,則直線l的斜率等于　　　　. 答案　±1解析　設(shè)直線AB方程為x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線和拋物線方程,整理得,y2-4my+4=0,由根與系數(shù)關(guān)系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直線l的斜率等于±1(此時(shí)直線AB與拋物線相切,為滿足題意的極限情況).14.(2018北京文,10,5分)已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2=4ax截得的線段長(zhǎng)為4,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　. 答案　(1,0)解析　本題主要考查拋物線的性質(zhì),弦長(zhǎng)的計(jì)算.由題意得a>0,設(shè)直線l與拋物線的兩交點(diǎn)分別為A,B,不妨令A在B的上方,則A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故拋物線方程為y2=4x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).15.(2017天津文,12,5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC=120°,則圓的方程為　　　　　　　　. 答案　(x+1)2+(y-)2=1解析　本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì),圓的方程.由拋物線的方程可知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)點(diǎn)C(-1,t),t>0,則圓C的方程為(x+1)2+(y-t)2=1,因?yàn)?/span>∠FAC=120°,CA⊥y軸,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA=,即t=,故圓C的方程為(x+1)2+(y-)2=1.方法總結(jié)　求圓的方程常用的方法為待定系數(shù)法,根據(jù)題意列出關(guān)于三個(gè)獨(dú)立參數(shù)a,b,r(或D,E,F)的方程組,從而得到參數(shù)的值,寫出圓的方程.若題中涉及直線與圓的位置關(guān)系或弦長(zhǎng),常把圓的方程設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)形式,同時(shí)應(yīng)考慮數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.16.(2014陜西文,11,5分)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為　　　　. 答案　x=-1解析　由拋物線方程知p=2,故該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-=-1.故填x=-1.17.(2018課標(biāo)Ⅰ文,20,12分)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線BM的方程;(2)證明:∠ABM=∠ABN.解析　(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),l的方程為x=2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).所以直線BM的方程為y=x+1或y=-x-1.(2)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=+=.①將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以∠ABM=∠ABN.綜上,∠ABM=∠ABN.方法總結(jié)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見題型及解題策略:(1)求直線方程.先尋找確定直線的兩個(gè)條件.若缺少一個(gè)可設(shè)出此量,利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程,解方程即可.(2)求線段長(zhǎng)度或線段之積(和)的最值.可依據(jù)直線與圓錐曲線相交,利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)或弦長(zhǎng)關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),然后利用基本不等式或函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求其最值;也可利用圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離.(3)證明題.圓錐曲線中的證明問題多涉及定點(diǎn)、定值、角相等、線段相等、點(diǎn)在定直線上等,有時(shí)也涉及一些否定性命題,常采用直接法或反證法給予證明.借助于已知條件,將直線與圓錐曲線聯(lián)立,尋找待證明式子的表達(dá)式,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及整體代換思想化簡(jiǎn)即可得證.失分警示　(1)由于忽略點(diǎn)M,N位置的轉(zhuǎn)換性,使直線BM方程缺失,從而導(dǎo)致失分;(2)由于不能將“∠ABM=∠ABN”正確轉(zhuǎn)化為“kBM+kBN=0”進(jìn)行證明,從而思路受阻,無(wú)法完成后續(xù)內(nèi)容.18.(2017課標(biāo)Ⅰ文,20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.解析　本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直線AB的斜率k===1.(2)由y=,得y'=,設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.當(dāng)Δ=16(m+1)>0,即m>-1時(shí),x1,2=2±2.從而|AB|=|x1-x2|=4.由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.方法總結(jié)　(1)直線與拋物線的位置關(guān)系點(diǎn)差法:在已知“x1+x2”或“y1+y2”的值,求直線l的斜率時(shí),利用點(diǎn)差法計(jì)算,在很大程度上減少運(yùn)算過(guò)程中的計(jì)算量.(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系已知直線與圓錐曲線相交,求參數(shù)時(shí),一般聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,消元后利用韋達(dá)定理,結(jié)合已知列方程求解參數(shù).求弦長(zhǎng)時(shí),可通過(guò)弦長(zhǎng)公式|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=·|y1-y2|=·(k≠0)求解.19.(2016課標(biāo)Ⅰ文,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.解析　(1)由已知得M(0,t),P.(1分)又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N為OH的中點(diǎn),即=2.(6分)(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).(7分)理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).(12分)方法總結(jié)　將直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)問題歸結(jié)為直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的問題.評(píng)析　本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了運(yùn)算求解能力.得到交點(diǎn)的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵.20.(2012課標(biāo)理,20,12分)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn).(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.解析　(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形,|BD|=2p,圓F的半徑|FA|=p.由拋物線定義可知A到l的距離d=|FA|=p.因?yàn)?/span>△ABD的面積為4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8.(2)因?yàn)?/span>A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,∠ADB=90°.由拋物線定義知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率為或-.當(dāng)m的斜率為時(shí),由已知可設(shè)n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故Δ=p2+8pb=0,解得b=-.因?yàn)?/span>m的截距b1=,=3,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值也為3.評(píng)析　本題考查了直線、圓、拋物線的位置關(guān)系,考查了分類討論的方法和數(shù)形結(jié)合的思想. 考點(diǎn)三　直線與拋物線的位置關(guān)系1.(多選)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則????????????? (　　)A.C的準(zhǔn)線為y=-1　　　　B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2　　　　D.|BP|·|BQ|>|BA|2答案　BCD　由點(diǎn)A(1,1)在拋物線C上,知1=2p,所以拋物線C:x2=y,其準(zhǔn)線方程為y=-,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.易知AB:y-(-1)=(x-0),即y=2x-1,聯(lián)立消去y得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,即直線AB與C相切,故選項(xiàng)B正確.設(shè)PQ:y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立消去y得x2-kx+1=0,則且Δ=k2-4>0,即k2>4.由于=2=|OA|2,|不共線,所以|,即|OP|·|OQ|>|OA|2,故選項(xiàng)C正確.因?yàn)?/span>=x1x2+(y1+1)(y2+1)=y1+y2+3=k(x1+x2)+1=k2+1,因?yàn)?/span>k2>4,并注意到|=1+4=5,所以||>|BA|2,故選項(xiàng)D正確.故選BCD.2.(多選)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn)M(p,0).若|AF|=|AM|,則　????????????? (　　)A.直線AB的斜率為2　　　　B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|　　　　D.∠OAM+∠OBM<180°答案　ACD　由題意得F,如圖,設(shè)FM的中點(diǎn)為N,連接AN,則AN與x軸垂直,且N,將x=代入y2=2px,解得y=p(舍負(fù)),故A,故直線AB的斜率為,選項(xiàng)A正確.對(duì)于B,直線AB的方程為y=2,與拋物線方程聯(lián)立并整理得12x2-13px+3p2=0,設(shè)B(x1,y1),則x1+,解得x1=,則B,所以|OB|=≠|(zhì)OF|,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,因?yàn)?/span>|AB|=p,|OF|=,所以|AB|>4|OF|成立,故C正確.對(duì)于D,因?yàn)?/span>,所以p2<0,p2<0,所以∠AOB與∠AMB均為鈍角,即∠AOB+∠AMB>180°.所以在四邊形OAMB中,∠OAM+∠OBM<180°,故D正確,故選ACD.3.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率為的直線過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=　　　　. 答案　解析解法一:在拋物線y2=4x中,2p=4,斜率為的直線傾斜角θ=,∴過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|=(難點(diǎn):這里是二級(jí)結(jié)論的直接應(yīng)用,要熟記一些常用的二級(jí)結(jié)論).解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),過(guò)點(diǎn)F且斜率k=的直線方程為y=(x-1),聯(lián)立消去y得3x2-10x+3=0,∴∴|AB|=(難點(diǎn):最后一步用到了弦長(zhǎng)公式,也可以利用兩點(diǎn)間的距離公式求|AB|).4.(2021全國(guó)乙文,20,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求C的方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足,求直線OQ斜率的最大值.解析　(1)∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,∴p=2.∴拋物線C的方程為y2=4x.(2)由已知不妨設(shè)點(diǎn)P(4,4x0),Q(x1,y1),則=(x1-4,y1-4x0),∵F(1,0),∴=(1-x1,-y1),∵,∴∴kOQ=,當(dāng)kOQ最大時(shí),x0>0,∴kOQ=,當(dāng)且僅當(dāng)4x0=時(shí)取“=”,此時(shí)x0=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,6),因此kOQ的最大值為.解后反思　針對(duì)拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A,常設(shè)A(2px2,2px)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.5.(2022全國(guó)甲,理20,文21,12分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.解析　(1)由題意知F,所以|DF|=,當(dāng)MD⊥x軸時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(p,±p),|MD|=p.在Rt△MDF中,|MF|2=|MD|2+|DF|2,即32=(p)2+,得p2=4,又p>0,所以p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直線MN的方程為x=my+1,由得y2-4my-4=0,Δ1=16m2+16>0恒成立,且y1y2=-4.由斜率公式可得kMN=,同理kAB=.直線MD的方程為x=y+2,代入y2=4x中可得y2-y-8=0.Δ2>0且y1y3=-8,所以y3=2y2,同理y4=2y1,所以kAB=,又因?yàn)橹本€MN,AB的傾斜角分別為α,β,所以kAB=tan β=, 若要使α-β最大,則β∈.設(shè)kMN=2kAB=2k,k>0,則tan(α-β)=,當(dāng)且僅當(dāng)=2k,即k=時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)α-β最大時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=y+n,由得y2-4y-4n=0,則y3y4=-4n=4y1y2=-16.所以n=4,所以直線AB的方程為x-y-4=0.6.(2021全國(guó)乙理,21,12分)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.解析　(1)由拋物線方程知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,又因?yàn)辄c(diǎn)F到圓x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4,所以+4-1=4,即=1,解得p=2.(2)由(1)知拋物線C:x2=4y,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=.由y=得y'=,所以在點(diǎn)A處的切線斜率為,切線方程為y-(x-x1),即y=,同理,在點(diǎn)B處的切線方程為y=.易知兩切線交于點(diǎn)P,設(shè)P(x0,y0),所以有由此可知(x1,y1),(x2,y2)是直線x0x-2y-2y0=0上的兩個(gè)點(diǎn),即直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0,由得x2-2x0x+4y0=0,則x1+x2=2x0,x1x2=4y0,Δ=4-16y0,易知Δ>0,即-4y0>0,所以|AB|=,而點(diǎn)P(x0,y0)到直線AB的距離d=.所以S△PAB=,因?yàn)辄c(diǎn)P在M上,所以+(y0+4)2=1,所以-8y0-15.所以S△PAB=(-[-(y0+6)2+21,由題易知y0∈[-5,-3],所以當(dāng)y0=-5時(shí),S△PAB取得最大值,最大值為20.即△PAB面積的最大值為20.

相關(guān)課件

相關(guān)課件更多

相關(guān)課件

相關(guān)課件 更多

相關(guān)課件更多