9.3　雙曲線及其性質(zhì)考點(diǎn)一　雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2021北京,5,4分)若雙曲線=1的離心率為2,且過點(diǎn)(),則雙曲線的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.2x2-y2=1　　　　B.x2-=1C.5x2-3y2=1　　　　D.=1答案　B　設(shè)雙曲線的半焦距為c,由題意可知則雙曲線的方程為x2-=1. 2.(2017課標(biāo)Ⅲ理,5,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為　(　　)A.-=1　　　　　B.-=1C.-=1　　　　　D.-=1答案　B　本題考查雙曲線的方程.由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為-=k(k>0),即-=1,∵雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),∴4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.一題多解　∵橢圓+=1的焦點(diǎn)為(±3,0),雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),∴a2+b2=(±3)2=9①,∵雙曲線的一條漸近線為y=x,∴=②,聯(lián)立①②可解得a2=4,b2=5.∴雙曲線C的方程為-=1.3.(2017課標(biāo)Ⅰ文,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　D　本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).易知F(2,0),不妨取P點(diǎn)在x軸上方,如圖.∵PF⊥x軸,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=×3×1=.故選D.4.(2015安徽理,4,5分)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是(　　)A.x2-=1　　　　　B.-y2=1C.-x2=1　　　　　D.y2-=1答案　C　由于焦點(diǎn)在y軸上,故排除A、B.由于漸近線方程為y=±2x,故排除D.故選C.5.(2014天津理,5,5分)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上,則雙曲線的方程為(　　)A.-=1　　　B.-=1　　　C.-=1　　　D.-=1答案　A　由題意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為-=1.6.(2014江西文,9,5分)過雙曲線C:-=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A,O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的方程為(　　)A.-=1　　　　　B.-=1C.-=1　　　　　D.-=1答案　A　由雙曲線方程知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y=x,因此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a==2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線的方程為-=1,故選A.評(píng)析　本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的定義,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.7.(2016課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是(　　)A.(-1,3)　　　　　B.(-1,)C.(0,3)　　　　　D.(0,)答案　A　解法一:由題意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程-=1表示雙曲線,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故選A.解法二:∵原方程表示雙曲線,且焦距為4,∴①或②由①得m2=1,n∈(-1,3).②無解.故選A.知識(shí)拓展　對(duì)于方程mx2+ny2=1,若表示橢圓,則m、n均為正數(shù)且m≠n;若表示雙曲線,則m·n<0.8.(2016天津,6,5分)已知雙曲線-=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為(　　)A.-=1　　　　　B.-=1C.-=1　　　　　D.-=1答案　D　設(shè)A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由題意得可得=,=×=,結(jié)合2x0·2y0=2b,可得b2=12.所以雙曲線的方程為-=1.故選D.9.(2015課標(biāo)Ⅰ文,16,5分)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,6).當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為　　　　. 答案　12解析　由已知得雙曲線的右焦點(diǎn)F(3,0).設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F',則F'(-3,0).由雙曲線的定義及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周長(zhǎng)最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即當(dāng)A、P、F'三點(diǎn)共線時(shí),△APF的周長(zhǎng)最小.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),y0>0,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).所以當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積S=×6×6-×6×2=12.10.(2015課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)已知雙曲線過點(diǎn)(4,),且漸近線方程為y=±x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　. 答案　-y2=1解析　根據(jù)漸近線方程為x±2y=0,可設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4,),所以42-4×()2=λ,即λ=4.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.考點(diǎn)二　雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2021全國(guó)甲文,5,5分)點(diǎn)(3,0)到雙曲線=1的一條漸近線的距離為 (　　)A.答案　A　雙曲線=1的漸近線方程為y=±x,根據(jù)對(duì)稱性,不妨取y=x,即3x-4y=0,點(diǎn)(3,0)到直線3x-4y=0的距離d=,故選A.易錯(cuò)警示　在寫漸近線方程時(shí)首先要根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷雙曲線焦點(diǎn)位置:雙曲線=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=±x;雙曲線=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)在y軸上,漸近線方程為y=±x.2.(2021全國(guó)甲理,5,5分)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為????????????? (　　)A.答案　A　設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>0,b>0),由題意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,兩式聯(lián)立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,可得,所以雙曲線C的離心率e=.故選A.方法總結(jié)　求圓錐曲線的離心率,一般是利用條件得到a,c或a,b的關(guān)系式,然后利用離心率的定義得出結(jié)論.3.(多選)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲線C:mx2+ny2=1. (　　)A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±xD.若m=0,n>0,則C是兩條直線答案　ACD　A選項(xiàng)中,若m>n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為=1,因?yàn)?/span>m>n>0,所以0<,所以此曲線表示橢圓,且焦點(diǎn)在y軸上,所以A正確.B選項(xiàng)中,若m=n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為x2+y2=,所以此曲線表示圓,半徑為,所以B不正確.C選項(xiàng)中,若mn<0,則此曲線應(yīng)為雙曲線,mx2+ny2=0可化為y2=-,即y=±x,即雙曲線的漸近線方程為y=±x,所以C正確.D選項(xiàng)中,若m=0,n>0,則方程mx2+ny2=1可化為y2=(x∈R),即y=±,表示兩條直線,所以D正確.故選ACD. 4.(2019北京文,5,5分)已知雙曲線-y2=1(a>0)的離心率是,則a=(　　)A.　　　B.4　　　C.2　　　D.答案　D　由題意得e==,又a2+b2=c2,∴==e2-1=4,∵b2=1,∴a2=.∵a>0,∴a=.易錯(cuò)警示　把雙曲線的離心率錯(cuò)認(rèn)為e=而出錯(cuò).5.(2018浙江,2,4分)雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A.(-,0),(,0)　　　　　B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)　　　　　D.(0,-2),(0,2)答案　B　∵a2=3,b2=1,∴c==2.又∵焦點(diǎn)在x軸上,∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).易錯(cuò)警示　求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn)(1)焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上,容易判斷錯(cuò)誤;(2)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系式容易混淆.6.(2015課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是(　　)A.　　　　　B.C.　　　　　D.答案　A　若·=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=為半徑的圓上,則解得=.可知:·<0?點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)部?<?y0∈.故選A.7.(2015課標(biāo)Ⅱ理,11,5分)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為(　　)A.　　　B.2　　　C.　　　D.答案　D　設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限內(nèi),則易得M(2a,a),又M點(diǎn)在雙曲線E上,于是-=1,解得b2=a2,∴e==.8.(2015湖南文,6,5分)若雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　D　雙曲線-=1的兩條漸近線方程為y=±x,則點(diǎn)(3,-4)在直線y=-x上,即-4=-,所以4a=3b,即=,所以e==.故選D.9.(2015重慶文,9,5分)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若A1B⊥A2C,則該雙曲線的漸近線的斜率為(　　)A.±　　　B.±　　　C.±1　　　D.±答案　C　不妨令B在x軸上方,因?yàn)?/span>BC過右焦點(diǎn)F(c,0),且垂直于x軸,所以可求得B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,又A1,A2的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0),所以=,=,因?yàn)?/span>A1B⊥A2C,所以·=0,即(c+a)(c-a)-·=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又雙曲線的漸近線的斜率為±,故該雙曲線的漸近線的斜率為±1.故選C.10.(2014課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為(　　)A.　　　B.3　　　C.m　　　D.3m答案　A　由題意知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn),故F(,0).其中一條漸近線的方程為y=x,即x-y=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==,故選A.評(píng)析　本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力和運(yùn)算求解能力.11.(2014課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=(　　)A.2　　　B.　　　C.　　　D.1答案　D　由雙曲線方程知b2=3,從而c2=a2+3,又e=2,因此==4,又a>0,所以a=1,故選D.12.(2013課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為(　　)A.y=±x　　　　　B.y=±xC.y=±x　　　　　D.y=±x答案　C　∵===,∴C的漸近線方程為y=±x.故選C.13.(2011課標(biāo)全國(guó)理,7,5分)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為(　　)A.　　　B.　　　C.2　　　D.3答案　B　不妨設(shè)雙曲線C為-=1(a>0,b>0),并設(shè)l過F2(c,0)且垂直于x軸,則易求得|AB|=,∴=2×2a,b2=2a2,∴離心率e===,故選B.14.(2016課標(biāo)Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.2答案　A　解法一:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1⊥x軸,可得M,∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2?b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0?e2-e-1=0,∴e=.故選A.解法二:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1⊥x軸,得M,∴|MF1|=,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin∠MF2F1===?a2=b2?a=b,∴e==.故選A.15.(2016浙江,7,5分)已知橢圓C1:+y2=1(m>1)與雙曲線C2:-y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則(　　)A.m>n且e1e2>1　　　　　B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1　　　　　D.m<n且e1e2<1答案　A　在橢圓中,a1=m,c1=,e1=.在雙曲線中,a2=n,c2=,e2=.因?yàn)?/span>c1=c2,所以n2=m2-2.從而·==,令t=m2-1,則t>1,·=>1,即e1e2>1.結(jié)合圖形易知m>n,故選A.思路分析　根據(jù)焦點(diǎn)重合可得m2與n2之間的關(guān)系,進(jìn)而建立關(guān)于m的解析式,然后判定范圍即可.16.(2022北京,12,5分)已知雙曲線y2+=1的漸近線方程為y=±x,則m=　　　　. 答案　 -3解析　由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且m<0,所以漸近線方程為y=±x,所以-,所以m=-3.17.(2022浙江,16,4分)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)A(x1,y1),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2)且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,則雙曲線的離心率是　　　　. 答案　 解析　如圖所示,由題意得雙曲線左焦點(diǎn)為F(-c,0),點(diǎn)B所在的漸近線方程為y=x,過F且斜率為的直線方程為y=(x+c),聯(lián)立得B,由|FB|=3|FA|,可得A,又A在雙曲線上,所以=1,化簡(jiǎn)得,則e=.18.(2021全國(guó)乙文,14,5分)雙曲線=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為　　　　. 答案　解析　由=1得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),則由點(diǎn)到直線的距離公式得所求距離d=.易錯(cuò)警示　不能正確地寫出右焦點(diǎn)坐標(biāo)以及記錯(cuò)點(diǎn)到直線的距離公式導(dǎo)致出錯(cuò).19.(2021全國(guó)乙理,13,5分)已知雙曲線C:-y2=1(m>0)的一條漸近線為x+my=0,則C的焦距為　　　　. 答案　4解析　由雙曲線C:-y2=1(m>0),得漸近線方程為y=±x,結(jié)合題設(shè)得-,∴m=3,∴雙曲線C的方程為-y2=1,∴C的焦距為2=4.20.(2022全國(guó)甲文,15,5分)記雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值　　　　. 答案　 2(答案不唯一,在(1,]范圍內(nèi)取值均可)解析　欲使直線y=2x與雙曲線C無公共點(diǎn),則0<≤2,所以e=∈(1,].所以當(dāng)e∈(1,]時(shí),直線y=2x與雙曲線C無公共點(diǎn).答案不唯一,可取e=2. 21.(2018上海,2,4分)雙曲線-y2=1的漸近線方程為　　　　. 答案　y=±x解析　本題主要考查雙曲線的漸近線方程.解法一:由雙曲線-y2=1知a2=4,b2=1,∴a=2,b=1,∴該雙曲線的漸近線方程為y=±x.解法二:令雙曲線-y2=1中的“1”為“0”,即可得到雙曲線的漸近線方程,即-y2=0,∴該雙曲線的漸近線方程為y=±x.22.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是　　　　. 答案　2解析　本題考查雙曲線的性質(zhì).雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,∴b=c,∴b2=c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e==2.23.(2017課標(biāo)Ⅰ理,15,5分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60°,則C的離心率為　　　　. 答案　解析　本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和圓的性質(zhì).不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y=x上,如圖,△AMN為等邊三角形,且|AM|=b,則A點(diǎn)到漸近線y=x的距離為b,又將y=x變形為一般形式為bx-ay=0,則A(a,0)到漸近線bx-ay=0的距離d==,所以=b,即=,所以雙曲線離心率e==.24.(2017課標(biāo)Ⅲ文,14,5分)雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=　　　　. 答案　5解析　由題意可得=,所以a=5.25.(2017北京理,9,5分)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=　　　　. 答案　2解析　本題考查雙曲線的性質(zhì).由題意知,a2=1,b2=m.∵e====,∴m=2.26.(2016山東理,13,5分)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是　　　　. 答案　2解析　由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因?yàn)?/span>2|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).評(píng)析　本題考查了雙曲線的基本性質(zhì),利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2構(gòu)造關(guān)于離心率e的方程是求解的關(guān)鍵.27.(2016北京理,13,5分)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=　　　　. 答案　2解析　由OA、OC所在直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2a2可得a=2.評(píng)析　本題考查等軸雙曲線及其性質(zhì).28.(2015北京理,10,5分)已知雙曲線-y2=1(a>0)的一條漸近線為x+y=0,則a=　　　　. 答案　解析　由雙曲線-y2=1(a>0)知其漸近線方程為y=±x,又因?yàn)?/span>a>0,所以=,解得a=.29.(2014浙江理,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是　　　　. 答案　解析　由得A,由得B,則線段AB的中點(diǎn)為M.由題意得PM⊥AB,∴kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.考點(diǎn)三 直線與雙曲線的位置關(guān)系1.(2022新高考Ⅰ,21,12分)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:=1(a>1)上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面積.解析　(1)∵點(diǎn)A在雙曲線上,∴=1,解得a2=2.∴C的方程為-y2=1.①設(shè)直線l:y=kx+m.②聯(lián)立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=-,kPA=,kQA=,由kPA+kQA=0,得=0,化簡(jiǎn)得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k·+(m-2k-1)·-4(m-1)=0,化簡(jiǎn)得(2k+m-1)(k+1)=0,∴2k+m-1=0或k+1=0.若2k+m-1=0,則l:y=k(x-2)+1,這時(shí)直線l過點(diǎn)A,不合題意,∴k+1=0,∴k=-1.(2)由(1)知k=-1,從而l:y=-x+m,設(shè)直線PA的傾斜角為α,直線QA的傾斜角為β,則∠PAQ=α-β,∴|tan(α-β)|=2,即,由題意知kQA=-kPA,解得=2或.∵雙曲線C的漸近線斜率為±,∴=2,由對(duì)稱性可取kPA=-,則kQA=,∴直線PA的方程為y=-(x-2)+1,聯(lián)立得x1=,同理,x2=,∴|PA|=,|QA|=,由tan∠PAQ=2得sin∠PAQ=,∴S△PAQ=|PA||QA|sin∠PAQ=.2.(2022新高考Ⅱ,21,12分)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±x.(1)求C的方程;(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.過P且斜率為-的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.解析　(1)由題意知∴C的方程為x2-=1.(2)易知直線PQ的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+b(k>),由得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,由Δ>0,得b2+3-k2>0,∴x1+x2=,x1x2=,∴x1-x2=,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則直線PM、QM的方程分別為y-y0=-(x-x0),y-y0=(x-x0),故(*)-(**)得y1-y2=-(x1+x2-2x0),即k(x1-x2)=-(x1+x2-2x0),解得x0=,又(*)+(**)得y1+y2-2y0=(x2-x1),而y1+y2=k(x1+x2)+2b,∴k(x1+x2)+2b-2y0=(x2-x1),解得y0=x0.故點(diǎn)M的軌跡方程為y=x,其中k為直線PQ的斜率.若選擇①②作為條件,③作為結(jié)論,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=x上,則由,同理B,又由,∴xM=,yM=,即M為AB的中點(diǎn),∴|MA|=|MB|.若選擇①③作為條件,②作為結(jié)論,當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),點(diǎn)M即為F(2,0),此時(shí)M不在直線y=x上,不符合題意,舍去;當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=m(x-2),m≠0,±.不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=x上,且A(xA,yA),B(xB,yB).由,同理B,此時(shí)xM=,yM=,∵點(diǎn)M在直線y=x上,∴,解得k=m,故PQ∥AB.若選擇②③,作為條件,①作為結(jié)論,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=x上,則解得xA=,yA=,同理,得xB=,yB=-,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C(xC,yC),則xC=,yC=,由于|MA|=|MB|,故點(diǎn)M在線段AB的中垂線上,即點(diǎn)M在直線y-yC=-(x-xC)上,將該直線方程與y=x聯(lián)立,得xM==xC,yM==yC,即點(diǎn)M恰為線段AB的中點(diǎn),故點(diǎn)M在直線AB上. 

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