7.2　等差數(shù)列考點(diǎn)一　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.(2021北京,6,4分)已知{an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列,且(1≤k≤5)是常數(shù),若a1=288,a5=96,b1=192,則b3的值為????????????? (　　)A.64　　　　B.100　　　　C.128　　　　D.132答案　C　命題意圖:本題以定義新運(yùn)算為出題背景,考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算,落實(shí)了應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性的考查要求.解題思路:解法一:因?yàn)?/span>{an}是等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5=288+96,所以a3=192,又因?yàn)楫?dāng)1≤k≤5時(shí),是常值,所以,即,從而b3=128.解法二:由題意可知,則b5=64,又{bn}是等差數(shù)列,所以b3==128.2.(2022新高考Ⅱ,3,5分)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則k3=????????????? (　　)圖1圖2A.0.75　　　　B.0.8　　　　C.0.85　　　　D.0.9答案　D　令OD1=DC1=CB1=BA1=a,則CC1=k1a,BB1=k2a,AA1=k3a,DD1=0.5a,所以A的坐標(biāo)為(4a,k1a+k2a+k3a+0.5a),所以kOA==0.725,所以k1+k2+k3+0.5=2.9.因?yàn)?/span>k1,k2,k3成公差為0.1的等差數(shù)列,所以k1+k2+k3+0.5=3k3-0.3+0.5=2.9,所以k3=0.9,故選D.3.(2020課標(biāo)Ⅱ理,4,5分)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)????????????? (　　)A.3 699塊　　　　B.3 474塊　　　　C.3 402塊　　　　D.3 339塊答案　C　由題意可設(shè)每層有n個(gè)環(huán),則三層共有3n個(gè)環(huán),∴每一環(huán)扇面形石板的塊數(shù)構(gòu)成以a1=9為首項(xiàng),9為公差的等差數(shù)列{an},且項(xiàng)數(shù)為3n.不妨設(shè)上層扇面形石板總數(shù)為S1,中層總數(shù)為S2,下層總數(shù)為S3,∴S3-S2==9n2=729,解得n=9(負(fù)值舍去).則三層共有扇面形石板(不含天心石)27×9+×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3 402(塊).故選C. 4.(2015課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a3+a5=3,則S5=(　　)A.5　　　B.7　　　C.9　　　D.11答案　A　∵{an}為等差數(shù)列,∴a1+a5=2a3,得3a3=3,則a3=1,∴S5==5a3=5,故選A.5.(2015課標(biāo)Ⅰ文,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=(　　)A.　　　B.　　　C.10　　　D.12答案　B　由S8=4S4得8a1+×1=4×,解得a1=,∴a10=a1+9d=,故選B.評析　本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,計(jì)算準(zhǔn)確是解題關(guān)鍵,屬容易題.6.(2015浙江理,3,5分)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則(　　)A.a1d>0,dS4>0　　　　　B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0　　　　　D.a1d<0,dS4>0答案　B　由=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d≠0,∴a1=-d,則a1d=-d2<0,又∵S4=4a1+6d=-d,∴dS4=-d2<0,故選B.7.(2013課標(biāo)Ⅰ理,7,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(　　)A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6答案　C　解法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,得由①得a1=,代入②可得m=5.解法二:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn,∴數(shù)列也為等差數(shù)列.∴+=,即+=0,解得m=5.經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解.故選C.8.(2016課標(biāo)Ⅰ,3,5分)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=(　　)A.100　　　B.99　　　C.98　　　D.97答案　C　設(shè){an}的公差為d,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,∴a100=100-2=98.故選C.思路分析　用a1,d表示S9,a10,列方程組求出a1,d,從而可求得a100.9.(2022全國乙文,13,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=　　　　. 答案　 2解析　∵2S3=3S2+6,∴2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即6d=3d+6,解得d=2. 10.(2014天津理,11,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為　　　　. 答案　-解析　S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1×(4a1-6),解得a1=-.11.(2013課標(biāo)Ⅱ理,16,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為　　　　. 答案　-49解析　由Sn=na1+d得解得a1=-3,d=,則Sn=-3n+·=(n2-10n),所以nSn=(n3-10n2),令f(x)=(x3-10x2),則 f '(x)=x2-x=x,當(dāng)x∈時(shí), f(x)遞減,當(dāng)x∈時(shí), f(x)遞增,又6<<7, f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值為-49.評析　本題考查了數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用,考查了數(shù)列的基本運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求最值.本題易忽略n的取值范圍.12.(2022全國甲,理17,文18,12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知+n=2an+1.(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.解析　(1)證明:由已知條件+n=2an+1可得,2Sn=2nan+n-n2①,當(dāng)n≥2時(shí),由①可得2Sn-1=2(n-1)·an-1+(n-1)-(n-1)2②,由an=Sn-Sn-1及①-②可得,(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,即an-an-1=1,因此{an}是等差數(shù)列,公差為1.(2)∵a4,a7,a9成等比數(shù)列,且a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,∴=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,∴等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-12+(n-1)·1=n-13,∴Sn=,∵n∈N*,∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn最小,最小值為-78.13.(2021全國乙理,19,12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積,已知=2.(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解析　(1)證明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,Sn=由=2知,當(dāng)n=1時(shí),=2,即=2,所以b1=S1=,當(dāng)n≥2時(shí),=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=,故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.(2)由(1)知,bn=+(n-1)×,故當(dāng)n≥2時(shí),Sn=,S1也符合該式,即Sn=(n∈N*),從而a1=S1=,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=,a1不符合該式,所以an=14.(2022浙江,20,15分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=-1,公差d>1.記{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若對于每個(gè)n∈N*,存在實(shí)數(shù)cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列,求d的取值范圍.解析　 (1)∵{an}為等差數(shù)列,∴an=(n-1)d-1,∴S4-2a2a3+6=6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,解得d=3或d=0,又d>1,∴d=3,則an=3n-4,n∈N*,Sn=,n∈N*.(2)∵an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比數(shù)列,∴(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),∴+(an+2+15an)cn=+(an+2+15an)cn,∴+(8an+1-an+2-15an)cn+d2=0,由(1)知an=(n-1)d-1,∴8an+1-an+2-15an=8+(14-8n)d,則有+[8+(14-8n)d]cn+d2=0對每個(gè)n∈N*都成立,∴Δ=[8+(14-8n)d]2-4d2=[8+(16-8n)d][8+(12-8n)d]≥0對每個(gè)n∈N*都成立,即≥0對每個(gè)n∈N*都成立,由于n為正整數(shù),d>1,∴+2和只能同處于相鄰的整數(shù)之間,又∵2<+2<3,∴2≤<3,∴<d≤2,故1<d≤2.15.(2021全國甲文,18,12分)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知an>0,a2=3a1,且數(shù)列{}是等差數(shù)列.證明:{an}是等差數(shù)列.解題指導(dǎo):根據(jù)已知條件{}為等差數(shù)列,求出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)即可求出{an}的通項(xiàng)公式,根據(jù)等差數(shù)列的定義可證明其為等差數(shù)列.解析　設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d,因?yàn)?/span>a2=3a1,,所以d=,所以+(n-1),所以Sn=n2a1.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=(n-1)2a1,所以an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí),也滿足題意,所以an=(2n-1)a1,n∈N*,當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1(常數(shù)),∴{an}是等差數(shù)列.易錯(cuò)警示　應(yīng)用an=時(shí),不要忽略n=1時(shí)的情況.16.(2021全國甲理,18,12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列{}是等差數(shù)列;③a2=3a1.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.解題指導(dǎo):先選兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,然后進(jìn)行證明.如果是證明③,利用等差中項(xiàng)法,即只需2,通過化簡即可得證;如果是證明①或②,可先求數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用等差數(shù)列的定義證明即可.解析　選①②作為條件,證明③.證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)?/span>{}是等差數(shù)列,所以2,即2,兩邊平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2,整理得4a1+d=2,兩邊平方,得16+8a1d+d2=4(3+3a1d),化簡得4-4a1d+d2=0,即=0,所以d=2a1,則a2=a1+d=3a1.選①③作為條件,證明②.證明:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)?/span>a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1+·2a1=n2a1.又a1>0,所以.則=(n+1),所以數(shù)列{}是公差為的等差數(shù)列.選②③作為條件,證明①.證明:設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d,因?yàn)?/span>,所以d=,則等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為+(n-1),所以Sn=n2a1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)a1,則an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以數(shù)列{an}是公差為2a1的等差數(shù)列.方法總結(jié):證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的方法:(1)定義法:證明an-an-1=d(n≥2,n∈N*),或an+1-an=d(n∈N*);(2)等差中項(xiàng)法:證明2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*). 17.(2013課標(biāo)Ⅱ文,17,12分)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解析　(1)設(shè){an}的公差為d.由題意,得=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.18.(2012湖北,理18,文20,12分)已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a2=a1+d,a3=a1+2d,由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)當(dāng)an=-3n+5時(shí),a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an=3n-7時(shí),a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列,滿足條件.故|an|=|3n-7|=記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n=1時(shí),S1=|a1|=4;當(dāng)n=2時(shí),S2=|a1|+|a2|=5;當(dāng)n≥3時(shí),Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+=n2-n+10.當(dāng)n=2時(shí),滿足此式,綜上,Sn=評析　本題考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.19.(2014大綱全國文,17,10分)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解析　(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(5分)(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.(8分)于是所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.(10分)評析　本題著重考查等差數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式及“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算變形的能力.20.(2014課標(biāo)Ⅰ理,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù),(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.解析　(1)證明:由題設(shè)anan+1=λSn-1,知an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減得,an+1(an+2-an)=λan+1.由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得,{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列.評析　　本題主要考查an與Sn的關(guān)系及等差數(shù)列的定義,考查學(xué)生的邏輯思維能力及分析解決問題的能力.考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)1.(2015廣東理,10,5分)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=　　　　. 答案　10解析　利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3+a7=a4+a6=2a5,從而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.2.(2015陜西文,13,5分)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為　　　　. 答案　5解析　設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a1,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+2 015=2×1 010,從而a1=5.3.(2014北京理,12,5分)若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=　　　　時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大. 答案　8解析　根據(jù)題意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,∴a9<0,∴當(dāng)n=8時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大. 

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