§4.1 任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念
考試要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．
知識(shí)梳理
1．角的概念
(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著________從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．
(2)分類
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為 、 、 ,按終邊位置不同分為 和軸線角.))
(3)相反角：我們把射線繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.
(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于________________的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函數(shù)
(1)設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，
那么sin α＝__________，cs α＝__________，tan α＝________(x≠0)．
(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
常用結(jié)論
1．象限角
2．軸線角
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)－eq \f(π,3)是第三象限角．( )
(2)若角α的終邊過點(diǎn)P(－3,4)，則cs α＝－eq \f(3,5).( )
(3)若sin α>0，則α是第一或第二象限角．( )
(4)若圓心角為eq \f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形面積為eq \f(3π,2).( )
教材改編題
1. －660°等于( )
A．－eq \f(13,3)π rad B．－eq \f(25,6)π rad
C．－eq \f(11,3)π rad D．－eq \f(23,6)π rad
2．某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．
3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，則sin α＝________，tan α＝________.
題型一 角及其表示
例1 (1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角，則( )
A．－α是第一象限角
B.eq \f(α,2)是第三象限角
C.eq \f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上
聽課記錄：___________________________________________________________________
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延伸探究 若α是第一象限角，則eq \f(α,2)是第幾象限角？
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(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．
思維升華 確定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法
先寫出kα或eq \f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq \f(α,k)的終邊所在位置．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)“α是第四象限角”是“eq \f(α,2)是第二或第四象限角”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(2021·北京)若點(diǎn)P(cs θ，sin θ)與點(diǎn)Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符合題意的θ＝________.
題型二 弧度制及其應(yīng)用
例2 已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長為l，周長為C，面積為S，半徑為r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧長；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．
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思維升華 應(yīng)用弧度制解決問題的方法
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問題．
跟蹤訓(xùn)練2 某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0

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