一、單項選擇題
1．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為( )
A．12 B．23
C．32 D．2
2．下列與角9π4的終邊相同的角的表達式中正確的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋9π4(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋5π4(k∈Z)
3．在平面直角坐標系Oxy中，如圖所示，將一個半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細線，細線的端頭M(開始時與圓盤上點A(1，0)重合)系著一支鉛筆，讓細線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點為B，細線的粗細忽略不計，當φ＝2 rad時，點M與點O之間的距離為( )
A．1cs1 B．2sin1
C．2 D．5
4．sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
5．在平面直角坐標系中，若角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點sin2π3，cs2π3，則sin α＝( )
A．32 B．－12
C．－32 D．12
6．中國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積．南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據(jù)此，當n足夠大時，可以得到π與n的關(guān)系為( )
A．π≈n2sin 360°n
B．π≈n sin 180°n
C．π≈n21?cs360°n
D．π≈n21?cs180°n
二、多項選擇題
7．已知角θ的終邊經(jīng)過點(－2，－3)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則下列結(jié)論正確的是( )
A．sin θ＝－217
B．α為鈍角
C．cs α＝－277
D．點(tan θ，sin α)在第一象限
8．如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為圓心的圓與x軸正半軸交于點A(1，0)．已知點B(x1，y1)在圓O上，點T的坐標是(x0，sin x0)，則下列說法中正確的是( )
A．若∠AOB＝α，則ACB＝α
B．若y1＝sin x0，則x1＝x0
C．若y1＝sin x0，則ACB＝x0
D．若ACB＝x0，則y1＝sin x0
三、填空題
9．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，則5sin α＋5cs α＋4tan α＝________.
10．(2023·北京高考)已知命題p：若α，β為第一象限角，且α>β，則tan α>tan β.能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝________，β＝________．
四、解答題
11．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A(1，0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．
(1)若點B的橫坐標為－12，求sin α的值和與角α終邊相同的角β的集合；
(2)若α∈0，π2，請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形)
12．數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長為2π，求其面積．
13．某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(00，所以點(tan θ，sin α)在第一象限，D正確．]
8．AD [由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長公式有ACB＝1·α＝α，所以A正確；
由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點，y1是對應∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是對應∠AOB的余弦值，即x1＝cs x0，所以B錯誤；
當y1＝sin x0時，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C錯誤；
反過來，當∠AOB＝x0，即ACB＝x0時，y1＝sin x0一定成立，所以D正確．故選AD.]
9．－4或－2 [設(shè)α終邊上任意一點為P(－4a，3a)，r＝|5a|.當a>0時，r＝5a，sin α＝35，cs α＝－45，tan α＝－34，
∴5sin α＋5cs α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
當aβ，但tan α＝tan β，不滿足tan α>tan β，
∴命題p為假命題， ∴能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝9π4，β＝π4.]
11．解：(1)由題意知，若點B的橫坐標為－12，可得B的坐標為?12，32，∴sin α＝32，
于是α＝2π3＋2kπ，k∈Z，與角α終邊相同的角β的集合為ββ=2π3+2kπ，k∈Z.
(2)△AOB的高為1×cs α2 ，AB＝2sin α2，
故S△AOB＝12×2sin α2×cs α2＝12sin α，
故弓形AB的面積S＝12·α·12－12sin α＝12(α－sin α)，α∈0，π2.
12．解：由條件可知，弧長AB＝BC＝AC＝2π3，等邊三角形的邊長AB＝BC＝AC＝2π3π3＝2，則以點A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對的扇形面積為12×2π3×2＝2π3，中間等邊△ABC的面積S＝12×2×3＝3.
所以萊洛三角形的面積是3×2π3－23＝2π－23.
13．解：(1)根據(jù)題意，可算得BC＝θx，AD＝10θ.
因為AB＋CD＋BC+AD＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝2x+10x+10(0

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