§4.3　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考試要求　1.會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝________________________________；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝________________________________.2．輔助角公式asin α＋bcos α＝________________________，其中sin φ＝，cos φ＝.知識(shí)拓展兩角和與差的公式的常用變形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)(2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立．(　　)(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無(wú)關(guān)．(　　)教材改編題1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)A．－  B.  C．－  D.2．若將sin x－cos x寫(xiě)成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，則φ＝________.3．已知α∈，且sin α＝，則tan的值為________．題型一　兩角和與差的三角函數(shù)公式例1 (1)計(jì)算：等于(　　)A．－  B.  C．－  D.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·銀川模擬)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A．－1  B．1  C．0或－3  D．0或1聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2023·茂名模擬)已知0<α<，sin＝，則的值為(　　)A.  B.  C.  D.(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，則(　　)A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1題型二　兩角和與差的公式逆用與輔助角公式例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，則tan Atan B的值為(　　)A.  B.  C.  D.聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，則sin α＝________，cos 2β＝________.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．跟蹤訓(xùn)練2 (1)(2023·西寧模擬)已知sin＝，則sin x＋sin等于(　　)A．1  B．－1  C.  D.(2)滿足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的數(shù)組(α，β)有無(wú)窮多個(gè)，試寫(xiě)出一個(gè)這樣的數(shù)組________．題型三　角的變換問(wèn)題例3 (1)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，則sin等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知α，β為銳角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.則sin(2α＋β)的值為________．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2023·青島質(zhì)檢)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________.(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，則tan(α＋β)＝________，tan α＝________.

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