§10.3　二項(xiàng)式定理考試要求　能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．知識(shí)梳理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝______________________(n∈N*)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝________________，它表示展開(kāi)式的第________項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)________(k＝0,1，…，n) 2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)________．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)________________取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)________________與________________相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C＋C＋C＋…＋C＝________.常用結(jié)論1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．C＝C＋C.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng)．(　　)(2)(a＋b)n的展開(kāi)式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)．(　　)(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互換．(　　)(4)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的．(　　)教材改編題1.10的展開(kāi)式中x2的系數(shù)等于(　　)A．45  B．20  C．－30  D．－902．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，則C＋C＋C＋…＋C等于(　　)A．31  B．32  C．15  D．163．若n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為________．題型一　通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式的特定項(xiàng)例1 (1)二項(xiàng)式10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　)A．－45  B．－10  C．45  D．65聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝______.聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 命題點(diǎn)2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展開(kāi)式問(wèn)題例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是(　　)A．56  B．84  C．112  D．168聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若6的展開(kāi)式中x－2的系數(shù)為75，則a等于(　　)A．－3   B．－2C．2   D．3聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為____(用數(shù)字作答)．(2)在二項(xiàng)式(＋x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________． 題型二　二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題命題點(diǎn)1　二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3 (1)在n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為32∶1，則x2的系數(shù)為(　　)A．50  B．70  C．90  D．120聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 命題點(diǎn)2　系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題例4 (2023·唐山模擬)下列關(guān)于6的展開(kāi)式的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(　　)A．常數(shù)項(xiàng)為－160B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 賦值法的應(yīng)用一般地，對(duì)于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為[g(1)－g(－1)]．跟蹤訓(xùn)練2 (1)對(duì)于6的展開(kāi)式，下列說(shuō)法中正確的有(　　)①所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64；②所有項(xiàng)的系數(shù)和為64；③常數(shù)項(xiàng)為1 215；④系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)．A．①④  B．②④  C．①②③  D．②③④(2)設(shè)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值為________． 題型三　二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5 (1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，則a等于(　　)A．0  B．1  C．11  D．12聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)利用二項(xiàng)式定理計(jì)算1.056，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是(　　)A．1.23   B．1.24C．1.33   D．1.34聽(tīng)課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式的因式．(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)n為奇數(shù)，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余數(shù)是(　　)A．－3  B．2  C．10  D．11(2)0.996的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是(　　)A．0.940   B．0.941C．0.942   D．0.943

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