?第二十一章一元二次方程第05課根與系數(shù)的關系
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．設a，b是方程x2＋x－2009＝0的兩個實數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為(??????)
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
2．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的兩根分別是x1，x2，則x12+x22的值是（　?。?br /> A． B．- C．- D．

二、填空題
3．設是一元二次方程的兩根，則 ．
4．方程的兩根為，，則= ．
5．一元二次方程的兩根為和，則 ．
6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的兩根為α與β，則的值為 ．
7．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的兩個根，則x1x2的值是 ，x1+x2的值是 ．
8．已知是關于x的一元二次方程x2-5x+a=0的兩個實數(shù)根，且，則a= .
9．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，則2m2＋8m＋2n﹣5的值是 ．
10．已知實數(shù)，滿足條件，，則 ．
11．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，則＝ ．

三、解答題
12．關于x的一元二次方程有兩個不等實根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍．
（2）若方程兩實根滿足，求k的值．
13．已知關于的方程有一個根是，求另一個根．
14．已知兩個數(shù)的和是8，積為15，求這兩個數(shù)．
15．已知關于的一元二次方程．
（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若方程兩實數(shù)根分別為，，且滿足，求實數(shù)的值．
16．如果一元二次方程的兩實數(shù)根分別為，，不解方程，求下列代數(shù)式的值．??
（1）； ．
17．已知關于的方程
（1）取何值時，①方程有實數(shù)根？②方程沒有實數(shù)根？
（2）若方程的兩個實數(shù)根為，，且，試求的值．
18．已知關于x的一元二次方程．
（1）請判斷該方程實數(shù)根的情況；
（2）若原方程的兩實數(shù)根為，，且滿足，求p的值．
19．閱讀材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），當△≥0時，設兩根為x1，x2，則兩根與系數(shù)的關系為：x1+x2＝；x1?x2＝．
應用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的兩實數(shù)根分別為x1，x2，則x1+x2＝　 　，x1?x2＝　 ?。?br /> （2）若關于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有兩個實數(shù)根x1，x2，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若滿足|x1|＝x2，求實數(shù)m的值．
20．已知關于x的方程．
（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的值，并求出此時方程的根；
（2）是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于224．若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，請說明理由．
21．關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，．
求的取值范圍．
若，試說明此方程有兩個負根．
在的條件下，若，求的值．
22．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的兩根，求：
(1)＋；
(2)(x1－x2)2的值．
23．關于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．

參考答案：
1．C
【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根據(jù)方程的解的意義，求得（a2+a）的值，由根與系數(shù)的關系得到（a+b）的值，即可求解．
【詳解】解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根與系數(shù)的關系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2009-1=2008．
故選C．
2．D
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式變形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】根據(jù)題意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．
故選D．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．
3．
【分析】由根與系數(shù)的關系得到兩根和與兩根積，代入所求的式子中即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程的兩根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x1+x2+x1x2=2+（-1）=1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系，熟記一元二次方程根與系數(shù)關系的內(nèi)容是解題的關鍵．
4．．
【詳解】試題分析：∵方程的兩根為，，∴，，∴===．故答案為．
考點：根與系數(shù)的關系．
5．2025
【分析】由題意可知-3+1=0,則=3-1,則+3+2017=3-1+3+2017=3(+)-1+2017,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,可得結(jié)果.
【詳解】由題意-3+1=0,
則=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3(+)-1+2017
=-1+2017
=2025
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系,將轉(zhuǎn)化為3-1是解決本題目的關鍵.
6．-1
【分析】先把變型為，然后利用根與系數(shù)的關系求得α+β與αβ的值，最后代入到中，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的兩根為α與β，
利用根與系數(shù)的關系得α+β＝3；αβ=－3，
原式==，
故答案為－1．
【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系：若一元二次方程的兩個根分別為，，則，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系，是解答本題的關鍵．
7． -3；
【分析】由根與系數(shù)的關系可求得（x1+x2）與x1x2的值．
【詳解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的兩個根，
∴x1x2的值是，x1+x2的值是．
故答案為：-3；．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關系，若x1，x2為方程的兩個根，則x1，x2與系數(shù)的關系式：，．
8．5
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系用a表示出x1+x2和x1x2，代入已知條件可得到關于a的方程，則可求得a的值．
【詳解】∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4a＝25﹣4a．
∵|x1﹣x2|＝，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．
故答案為5．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關鍵．
9．
【分析】根據(jù)韋達定理得到m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2，將原式變形為2m2＋6m＋2（m＋n）﹣5，代入mn和m+n即可求解．
【詳解】∵m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的解，
∴m2＋3m＝2，m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2
∵2m2＋8m＋2n﹣5=2m2＋6m＋2m＋2n﹣5=2（m2＋3m）＋2（m＋n）﹣5，
∴原式=2×2+2（﹣3）-5= -7，
故答案為-7．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，即韋達定理，代數(shù)式的值等，解題的關鍵是要記住和會應用一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關系.
10．
【分析】由實數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的兩個根，再利用根與系數(shù)的關系即可求解．
【詳解】由實數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的兩個根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．
故答案為．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，屬于基礎題，關鍵是把a，b看成方程的兩個根后再根據(jù)根與系數(shù)的關系解題．
11．
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到a、b是一元二次方程的兩根，得到a和b的和與積，再把兩根和與兩根積求出，代入所求的式子中即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個根，
∴由韋達定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系、一元二次方程根的定義、分式的通分，對一元二次方程根的定義的理解是解題的關鍵．
12．（1）k﹥；（2）k=2
【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可得△＞0，代入求得k的取值范圍即可；
（2）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對值，進而得到，結(jié)合k的取值范圍解方程即可．
【詳解】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根
∴
解得：k﹥；
故答案為：k﹥.
（2）∵k﹥，
∴＜0
又∵
∴ ，
∴,
∵,
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案為：k=2．
13．
【分析】設方程的另一根為x1，利用根與系數(shù)的關系得到x1=，然后求x1即可；
【詳解】解：設方程的另一個根是，
由一元二次方程的根與系數(shù)的關系得：，
解得；
所以方程的另一個根是－4．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1?x2=．
14．3和5
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，得出一元二次方程，解出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，知道要求的兩個數(shù)是方程的兩個根，解這個方程得
所以這兩個數(shù)是3和5．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，根據(jù)關系列出一元二次方程是本題的關鍵．
15．（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根的條件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韋達定理把x1+x2和x1x2分別用含m的式子表達出來，然后根據(jù)完全平方公式將變形，即可求解．
【詳解】（1）∵方程有實數(shù)根，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵方程兩實數(shù)根分別為，，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：，，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，牢記（1）“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）掌握根與系數(shù)的關系即韋達定理，是解題的關鍵．
16．(1)；(2)-1.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系找出x1+x2＝3、x1?x2＝1．
（1）將代數(shù)式x12+x22變形為只含x1+x2、x1?x2的代數(shù)式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）將代數(shù)式（x1﹣2）（x2﹣2）展開后代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．
【詳解】∵方程x2﹣3x+1＝0的兩實數(shù)根分別為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝1．
（1）x12+x222x1?x2＝32﹣2×1＝7；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1?x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系找出x1+x2＝3，x1?x2＝1是解題的關鍵．
17．（1）①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當時，方程沒有實數(shù)根；（2）．
【分析】(1)首先利用根的判別式得出關于x的方程的判別式,再根據(jù)①當△≥0,方程有實數(shù)根;②當△0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△

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21.1 一元二次方程

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