1.能夠根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).2.能夠運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.3.能夠運(yùn)用等差數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
知識(shí)點(diǎn)1　等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
過(guò)關(guān)自診1.[人教B版教材習(xí)題]根據(jù)下列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求數(shù)列的首項(xiàng)與公差.(1)an=3n+5;(2)an=12-2n.
解 (1)a1=3×1+5=8,a2=3×2+5=11,公差d=a2-a1=11-8=3.(2)a1=12-2×1=10,a2=12-2×2=8,公差d=8-10=-2.
2.[北師大版教材習(xí)題]已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-2n+7.(1)求首項(xiàng)a1和公差d;(2)畫出數(shù)列{an}的圖象;(3)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.
解 (1)a1=-2×1+7=5,a2=-2×2+7=3,d=a2-a1=3-5=-2.
(2){an}的圖象如圖所示.
(3)由(1)知d1,且n∈N*.(　　)
2.[人教B版教材習(xí)題]如果{an}是等差數(shù)列,而且正整數(shù)s,t,p,q滿足s+t=p+q,求證:as+at=ap+aq.
證明設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差分別為a1,d.則as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d.∴as+at=2a1+(s+t-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d.又s+t=p+q,∴as+at=ap+aq.
探究點(diǎn)一　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
【例1】 (1)已知等差數(shù)列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.分析 根據(jù)各個(gè)題的特征,選擇相應(yīng)等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
(方法2)因?yàn)?+25=2×15,所以在等差數(shù)列{an}中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因?yàn)?,15,25成等差數(shù)列,所以a5,a15,a25也成等差數(shù)列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.
(2)已知等差數(shù)列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.
解 由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.
(3)已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
解 令cn=an-bn,因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{cn}也是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,則5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
規(guī)律方法　求等差數(shù)列基本運(yùn)算的兩種方法一是利用基本量運(yùn)算,借助于a1,d建立方程組進(jìn)行運(yùn)算,這是最基本的方法;二是利用性質(zhì)運(yùn)算,運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡(jiǎn)化計(jì)算,往往會(huì)有事半功倍的效果.
變式訓(xùn)練1(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=　　　　　.?
解析 由已知得3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a3+a8)=20.
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1+a3+a5=9.①求a3;②若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為18的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解 ①在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.②設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為18的等差數(shù)列,所以3a2,3a5,3a8是公差為18的等差數(shù)列,所以a8-a5=3d=6,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.
探究點(diǎn)二　等差數(shù)列的綜合問(wèn)題
【例2】 (1)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.
分析 由于已知條件中含等差數(shù)列前3項(xiàng)的和與積,因此可考慮利用等差中項(xiàng)及等差數(shù)列性質(zhì)求解
解 設(shè){an}的公差為d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.
(2)已知四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,這四個(gè)數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.
分析 涉及四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,因此可考慮用“對(duì)稱性”設(shè)出這四個(gè)數(shù).
解 設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則
規(guī)律方法　等差數(shù)列設(shè)未知量的技巧如下:(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí),可先設(shè)中間一項(xiàng)為a,再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng):…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí),可先設(shè)中間兩項(xiàng)為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng):…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….這種設(shè)法稱為對(duì)稱項(xiàng)設(shè)法,這樣可減少計(jì)算量.
變式訓(xùn)練2已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,且數(shù)列是遞增數(shù)列,它們的和為18,平方和為116,求這三個(gè)數(shù).
解 (方法1)由題意設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a,b,c,a

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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