《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種質(zhì)量單位)
一、等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
微練習(xí)若{an}為等差數(shù)列,ap=q,aq=p(p≠q),則ap+q為(　　)A.p+q　　　　　　B.0C.-(p+q)
解析:設(shè)圖象過點(p,q)和(q,p)的一次函數(shù)為y=kx+b,則 所以圖象過點(p,q)和(q,p)的一次函數(shù)為y=-x+(p+q),由等差數(shù)列和一次函數(shù)的關(guān)系可知an=-n+(p+q),所以ap+q=-(p+q)+(p+q)=0.答案:B
二、等差數(shù)列的常用性質(zhì)
名師點析(1)等差數(shù)列{an}中,若m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,p∈N*).(2)等差數(shù)列{an}中,若m+n+t=p+q+r,則am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N*).(3)等差數(shù)列{an}中,
微練習(xí)(1)判斷正誤.①在等差數(shù)列的通項公式中,an是關(guān)于n的一次函數(shù).(　　)②在等差數(shù)列{an}中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q.(　　)③等差數(shù)列去掉前面連續(xù)的若干項后,剩下的項仍構(gòu)成等差數(shù)列.(　　)④擺動數(shù)列不可能是等差數(shù)列.(　　)⑤在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p,則am+an=ap.(　　)⑥在等差數(shù)列{an}中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.(　　)答案:①×?、凇痢、邸獭、堋獭、荨痢、蕖?br/>(2)在等差數(shù)列{an}中,若a5=7,a9=19,則a2+a12=　　　　　,a7=　　　　　.?解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26.因為a5+a9=2a7=26,所以a7=13.答案:26　13
等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)已知等差數(shù)列{an},a5=10,a15=25,求a25的值;(2)已知等差數(shù)列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值;(3)已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析:利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決各個問題.
解:(1)(方法1)設(shè){an}的公差為d,
(方法2)因為5+25=2×15,所以在等差數(shù)列{an}中有a5+a25=2a15,從而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因為5,15,25成等差數(shù)列,所以a5,a15,a25也成等差數(shù)列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因為{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{cn}也是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,則5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
反思感悟求等差數(shù)列基本運算的兩種方法一是利用基本量運算,借助于a1,d建立方程組進行運算,這是最基本的方法;二是利用性質(zhì)運算,運用等差數(shù)列的性質(zhì)可簡化計算,往往會有事半功倍的效果.
延伸探究(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1+a6+a11=3,則a3+a9=　　　　　.?(2)已知{an}為等差數(shù)列,a15=8,a60=20,則a75=　　　　　.?
解析:(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)因為{an}為等差數(shù)列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則a15為首項,a60為其第4項,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.答案:(1)2　(2)24
等差數(shù)列的綜合問題例2(1)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值;(2)已知四個數(shù)依次成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,這四個數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.
分析:(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解;(2)可設(shè)這四個數(shù)依次為a-3d,a-d,a+d,a+3d進行求解.
解:(1)設(shè){an}的公差為d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.(2)設(shè)這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則
反思感悟三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列時,設(shè)未知量的技巧如下:(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時,可先設(shè)中間一項為a,再用公差為d向兩邊分別設(shè)項:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為偶數(shù)時,可先設(shè)中間兩項為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….這樣可減少計算量.
(2)已知三個數(shù)成等差數(shù)列,且數(shù)列是遞增的,它們的和為18,平方和為116,求這三個數(shù).
由①得a=6,代入②得d=±2.∵該數(shù)列是遞增的,∴d=-2舍去,∴d=2,∴這三個數(shù)分別為4,6,8.
等差數(shù)列的實際應(yīng)用例3《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,最上面4節(jié)的容積共3升,最下面3節(jié)的容積共4升,則從上往下數(shù),第5節(jié)的容積為(　　)
分析:設(shè)出等差數(shù)列的首項與公差,運用等差數(shù)列的知識解決.
解析:設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則
反思感悟解決等差數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟及注意點1.解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的基本步驟:(1)審題,即仔細閱讀材料,認真理解題意;(2)建模,即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;(3)判型,即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列;(4)求解,即求出該問題的數(shù)學(xué)解;(5)還原,即將所求結(jié)果還原到實際問題中.2.在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.
變式訓(xùn)練2第一屆現(xiàn)代奧運會于1896年在希臘雅典舉行,以后每4年舉行一次,如因故不能舉行,屆數(shù)照算,那么2020年將在日本東京舉行的奧運會是(　　)A.第30屆B.第31屆C.第32屆D.第33屆
解析:依題意知舉行奧運會的年份構(gòu)成以1 896為首項,4為公差的等差數(shù)列,通項公式為an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32.答案:C
等差數(shù)列的探索性問題
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.(2)設(shè)cn= ,試問數(shù)列{cn}中是否存在三項,它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出這三項;若不存在,說明理由.
分析:(1)證明(bn+1-bn)為常數(shù);(2)假設(shè)存在三項成等差數(shù)列,利用等差中項的性質(zhì)列式推出一個矛盾的結(jié)論.
(2)解:假設(shè)數(shù)列{cn}中存在三項,它們可以構(gòu)成等差數(shù)列.不妨設(shè)為第p,r,q(p

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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