人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.2 等差數(shù)列導學案

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.2 等差數(shù)列導學案，共9頁。學案主要包含了新知探究，典例解析等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式（1）  導學案 1.掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法．(難點)2.掌握等差數(shù)列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關問題．(重點)3.掌握等差數(shù)列的前n項和的簡單性質(zhì)．(重點、難點)重點： 等差數(shù)列的前n項和的應用難點：等差數(shù)列前n項和公式的推導方法  等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式Sn＝Sn＝ 功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3個，求第4個. 一、新知探究  據(jù)說，200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：                                         1＋2＋3＋…＋100=？你準備怎么算呢？ 探究新知高斯（Gauss，1777－1855），德國數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一. 他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻.   問題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，前100項的和問題等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等.設 an＝n，則 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且 p＋q＝s＋t，則 ap＋aq＝as＋at 可得： 問題2：  你能用上述方法計算1＋2＋3＋… ＋101嗎？ 問題3：  你能計算1＋2＋3＋… ＋n嗎？問題4：不分類討論能否得到最終的結論呢？  問題5.上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列的前項和嗎？ 倒序求和法  二、典例解析例6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（1）若a1=7, =101,求；（2）若a1=2, = ,求；（3）若=，d= , = 5,求 ；  等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結合使用．跟蹤訓練1　已知等差數(shù)列{an}．(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. 例7.已知一個等差數(shù)列 前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？  一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數(shù)列就完全確定。  1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(　　)A．20　　　　B．30          C．40     D．502．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5           B．7           C．9             D．113．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝－n2，則(　　)A．an＝2n＋1               B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1              D．an＝2n－14．在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.5．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 參考答案：知識梳理學習過程  一、新知探究   等差數(shù)列中，下標和相等的兩項和相等.設 an＝n，則 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且 p＋q＝s＋t，則 ap＋aq＝as＋at 可得： 問題3： 需要對項數(shù)的奇偶進行分類討論.當n為偶數(shù)時，+ 當n為奇數(shù)數(shù)時， n－1為偶數(shù)+ 對于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋… ＋n問題4： 將上述兩式相加，得 所以  倒序求和法 .    二、典例解析例6 分析：對于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d ，再利用公式 求和；（3）已知公式 中的，和，解方程即可求得解：（1）因為a1=7, =101 ，根據(jù)公式，可得=2700.（2）因為a1=2, = ， 所以d= .根據(jù)公式 ，可得 = （3）把=，d= , = 5代入 ，得 整理，得解得或（舍）,所以跟蹤訓練1　[解]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.又Sn＝na1＋d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.例7. 分析 可得到兩個關于的二元一次方程，解這兩個二元一次方程所組成的方程組，就可以求得 解=310, =1220,把它們代入公式 得解方程組，得所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差。 (法二)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730. (法三)設Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．由題意，得解得∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730. (法四)由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，∴是以a1為首項，為公差的等差數(shù)列，∴，，成等差數(shù)列，∴＋＝2×，∴S30＝30＝30×(122－31)＝2 730.達標檢測1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．【答案】A　[由題a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝＝＝5.]3．【答案】B　[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，當n＝1時，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．【答案】190　[S19＝＝＝190.]5．【答案】∵Sn＝n·＋·－＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.