知識點一 等差數(shù)列前n項和的性質
1．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq \f(d,2).
2．設等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構成等差數(shù)列，且公差為m2d.
3．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).
4．若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).
思考 在性質3中，an和an＋1分別是哪兩項？在性質4中，an＋1是哪一項？
答案 中間兩項，中間項．
知識點二 等差數(shù)列{an}的前n項和公式的函數(shù)特征
1．公式Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2)可化成關于n的表達式：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.當d≠0時，Sn關于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點(n，Sn)在其相應的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點．
2．等差數(shù)列前n項和的最值
(1)在等差數(shù)列{an}中，
當a1>0，d0時，Sn有最小值；當d0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝－2n＋27≥0，,an＋1＝－2?n＋1?＋27≤0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n≤13\f(1,2)，,n≥12\f(1,2).))
又因為n∈N*，
所以當n＝13時，Sn有最大值為169.
方法三 因為S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差數(shù)列的性質得a13＋a14＝0.
因為a1>0，
所以d0，a140，d0，此時bn＝|an|＝an，
∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn′＝100n－n2.
②當n≥51時，an0，得n0；
當n≥18，n∈N*時，an0，a7＝0，a80，
∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
12．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝11，eq \f(S15,15)－eq \f(S7,7)＝－8，則Sn取最大值時的n為( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 設數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，
則eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是公差為eq \f(d,2)的等差數(shù)列．
因為eq \f(S15,15)－eq \f(S7,7)＝－8，
故可得8×eq \f(d,2)＝－8，解得d＝－2；
則a1＝a2－d＝13，
則Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
故當n＝7時，Sn取得最大值．
13．已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n－2)(n∈N*)，則eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝________.
答案 eq \f(41,78)
解析 因為b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝eq \f(a10＋a11,b10＋b11)＝eq \f(10?a10＋a11?,10?b10＋b11?)＝eq \f(S20,T20)＝eq \f(2×20＋1,4×20－2)＝eq \f(41,78).
14．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且eq \f(S4,S8)＝eq \f(1,3)，那么eq \f(S8,S16)＝________.
答案 eq \f(3,10)
解析 設S4＝k，S8＝3k，由等差數(shù)列的性質得
S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12構成等差數(shù)列．
所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.
所以S12＝6k，S16＝10k.eq \f(S8,S16)＝eq \f(3,10).
15．設項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是________，項數(shù)是________．
答案 11 7
解析 設等差數(shù)列{an}的項數(shù)為2n＋1(n∈N*)，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝eq \f(?n＋1??a1＋a2n＋1?,2)＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n
＝eq \f(n?a2＋a2n?,2)＝nan＋1，
所以eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n)＝eq \f(44,33)，
解得n＝3，所以項數(shù)2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，
即a4＝44－33＝11，為所求的中間項．
16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0，a1

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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