一、單選題
1．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=3，S10=9，則S15=（ ）
A．20B．21C．22D．23
2．等差數(shù)列an中，它的前21項(xiàng)的平均值是15，現(xiàn)從中抽走1項(xiàng)，余下的20項(xiàng)的平均值仍然是15，則抽走的項(xiàng)是（ ）
A．a(chǎn)11B．a(chǎn)12C．a(chǎn)14D．a(chǎn)15
3．已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=1，a2=2，an=an+12+an?122n≥2，則a6=（ ）
A．22B．4C．16D．45
4．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S230，則當(dāng)Sn取得最小值時，n的值為（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=n2an，a1=1，則Sn=（ ）
A．2nn+1B．2n2n+12C．n22n?1D．n22n?1
6．已知等差數(shù)列an滿足a2=3，Sn?Sn?3=51（n>3），Sn=100，則n的值為（ ）
A．8B．9
C．10D．11
7．已知數(shù)列an滿足：a1=1，a2=1，an=an?1+an?2n≥3,n∈N?，若將數(shù)列an的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前n段圓弧所在正方形的面積之和為Sn，第n段圓弧與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn.現(xiàn)有如下命題：
p1：Sn+1=an+12+an+1?an；
p2：a1+a3+?+a2n?1=a2n?1；
p3：a1+a2+a3+?+an=an+2?1；
p4：4cn?cn?1=πan+1?an?2.
則下列選項(xiàng)為真命題的是（ ）
A．?p1∧p2B．?p1∨?p3C．?p2∧?p3D．p2∨p4
8．若數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，且an+12?an+1=an(n=1,2,3,?)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．對任意n≥2，都有an>1
B．?dāng)?shù)列an可以是常數(shù)列
C．若00，使an單調(diào)遞增
C．?M∈(0,1)，使an+2?an+1≤Man+1?an
D．若a1≠2，則數(shù)列an中有無窮多項(xiàng)大于2
三、填空題
12．在等比數(shù)列an中，a1=1 , a2=2，則a4= .
13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S6S8，則下列結(jié)論中正確的有 ．（填序號）
①此數(shù)列的公差d0），且滿足f3+f1?f5=6，f6=16.
(1)求函數(shù)y=fx的解析式；
(2)函數(shù)y=gxx>0滿足條件fgx=x，若存在實(shí)數(shù)x，使得gx+1、gλx、gx+2成等差數(shù)列，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
19．已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且2Sn=nan+n(n∈N?)，若a2=2，bn=n+2anan+12n，Tn是bn的前n項(xiàng)和，求Tn.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求S15的值.
【詳解】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，
故S5,S10?S5,S15?S10為等比數(shù)列，故3,6,S15?9為等比數(shù)列，
故3S15?9=36，故S15=21，
故選：B.
2．A
【分析】根據(jù)已知可得a11=15，再由條件可知抽走的項(xiàng)為15，即可求出結(jié)論.
【詳解】等差數(shù)列an中，它的前21項(xiàng)的平均值是15，
則前21項(xiàng)和為21×15，而S21=21(a1+a21)2=21a11=21×15，
a11=15，又從中抽走1項(xiàng)，余下的20項(xiàng)的平均值是15，
所以抽走的項(xiàng)為21×15?20×15=15=a11.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
3．B
【分析】分析可知數(shù)列an2為等差數(shù)列，求出該數(shù)列的公差，即可求得a6的值.
【詳解】對任意的n∈N?，an>0，因?yàn)閍n=an+12+an?122n≥2，則an2=an+12+an?122，
故數(shù)列an2為等差數(shù)列，其公差為d=a22?a12=3，∴a62=a12+5d=16，∴a6=4.
故選：B.
4．B
【分析】將等差數(shù)列的前23和24項(xiàng)和與0的大小比較，得出具體的項(xiàng)數(shù)的正負(fù)，即可求出當(dāng)Sn取得最小值時n的值.
【詳解】由題意，S23=23a1+a232=23a120，
則等差數(shù)列an滿足a120，
可得公差d=a13?a12>0，
∴數(shù)列an為遞增數(shù)列，且當(dāng)1≤n≤12，n∈N*時，an0，
∴當(dāng)Sn取得最小值時，n的值為12．
故選：B．
5．A
【分析】根據(jù)Sn與an的關(guān)系可得an+1an=nn+2，再利用累乘法即可得an=2(1n?1n+1)，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】當(dāng)n≥2時，Sn=n2an,
則Sn+1=(n+1)2an+1,
且S2=22a2，即1+a2=4a2，所以a2=13.
兩式作差得Sn+1?Sn=(n+1)2an+1?n2an，
即an+1=(n+1)2an+1?n2an，即n+2an+1=nan，
所以an+1an=nn+2，即anan?1=n?1n+1n≥2.
則an=anan?1·an?1an?2·an?2an?3·…a3a2·a2=n?1n+1·n?2n·n?3n?1·…24·a2=2nn+1=2(1n?1n+1).
所以Sn=2(1?12+12?13+?+1n?1n+1)=2(1?1n+1)=2nn+1.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法.
（1）由Sn與an的關(guān)系求解.
（2）累加法.
（3）累乘法.
（4）構(gòu)造法.
6．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列式即可求解
【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，
a2=3 ? a1+2d=3①
Sn?Sn?3=51 ? an?2+an?1+an=3a1+3n?6d=51 ?a1+n?2d=17②
Sn=100 ? na1+nn?12d=100③
聯(lián)立①②③，解得n=10,
故選：C.
7．D
【分析】命題p1，可以取n=1、n=k和n=k+1去驗(yàn)證是否成立；命題p2，可以通過對n進(jìn)行取值驗(yàn)證；命題p3，可通過疊加的方法來進(jìn)行推導(dǎo)；命題p4，可以通過題意寫出cn的表達(dá)式，然后帶入化簡驗(yàn)證，判斷完四個命題后，再根據(jù)四個選項(xiàng)的組合進(jìn)行選擇.
【詳解】因?yàn)閍1=1，a2=1，an=an?1+an?2n≥3,n∈N?，
p1，Sn+1=an+12+an+1?an，
當(dāng)n=1時，S2=a22+a2?a1=2，而a1+a2=2成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時，Sk+1=ak+12+ak+1?ak，
那么當(dāng)n=k+1時，Sk+2=Sk+1+ak+22=ak+22+ak+12+ak+1?ak=ak+22+ak+1(ak+1+?ak)=ak+22+ak+1?ak+2，
則當(dāng)n=k+1時，等式也成立，
所以對于任意n∈N?，Sn+1=an+12+an+1?an成立，故該命題正確；
p2，由題意可得a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5，a6=8，a7=13，
a1+a3+?+a2n?1=a2n?1，當(dāng)n=2時，a1+a3=3≠a4?1，該命題錯誤；
p3，a1=a1，a2=a3?a1，a3=a4?a2,?,an=an+1?an?1，疊加得：a1+a2+a3+?+an=an+2?a2=an+2?1，故該命題正確；
p4，由題意可知cn=π4an2，所以4cn?cn?1=4·π4(an2?an?12)=π(an?an?1)(an+an?1)=πan+1?an?2，故該命題正確；
所以選項(xiàng)A，?p1∧p2為假命題；選項(xiàng)B，?p1∨?p3為假命題；選項(xiàng)C，?p2∧?p3為假命題；選項(xiàng)A，p2∨p4為真命題.
故選：D.
8．C
【分析】先求得an+1與an的遞推關(guān)系式，利用差比較法、換元法，結(jié)合二次函數(shù)的知識以及差比較法求得正確答案.
【詳解】由an+12?an+1=an得an+12?an+1?an=0，
Δ=1+4an，依題意an>0，所以Δ=1+4an>1>0，
由于1?1+4an1，所以an+1=1+1+4an2>1+12=1，所以A選項(xiàng)正確；
an+1?an=1+1+4an2?an=12+1+4an2?an①，
B選項(xiàng)，若12+1+4an2?an=0，解得an=2，
此時an是常數(shù)列，所以B選項(xiàng)正確；
令y=12+1+4x2?xx>0，令t=1+4x>1,x=t2?14，
則y=12+12t?t24+14=?t+1t?34=?t?12+44，
所以當(dāng)13時，y3時，an是單調(diào)遞減數(shù)列，
即1+4an>3,an>2，所以C選項(xiàng)錯誤；
同時，an+1=1+1+4an2>1+32=2，
則當(dāng)n≥2時，2a4，所以“3”是“峰值點(diǎn)”，其它選項(xiàng)不是．
故選：ACD．
11．ACD
【分析】直接由遞推關(guān)系式依次計(jì)算a2,a3,?即可判斷A選項(xiàng)；由an+1=1+11+an和an+2=1+11+an+1作差得到an+2?an+1=an?an+11+an+11+an進(jìn)而得到an+2?an+1和an+1?an異號即可判斷B選項(xiàng)；由an+2?an+1an+1?an=11+an+11+an0，若an+2>an+1，則an+11，可得an+2?an+1an+1?an=11+an+11+an2；
故a1≠2時，數(shù)列an中有無窮多項(xiàng)大于2，D正確.
故選：ACD.
12．8
【分析】先求q,再求值即可
【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意得q=a2a1=2，則a4=a1q3=1×23=8.
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，熟記通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題
13．①②
【分析】根據(jù)已知條件和等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】因?yàn)镾6S8，所以S8?S7=a8＜0，
所以等差數(shù)列{an}的公差d=a8?a7

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4.2 等差數(shù)列

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