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《等差數(shù)列的前n項和公式---第1課時》教學設計
一、單元內(nèi)容及其解析
1.內(nèi)容
等差數(shù)列前n項和公式的推導與應用.
本單元的知識結構：

本單元建議用2課時：第1課時，等差數(shù)列前n項和公式的推導；第2課時，等差數(shù)列前n項和公式的應用.
2.內(nèi)容解析
本單元內(nèi)容具有承上啟下的作用.等差數(shù)列的前項和公式不僅是等差數(shù)列的定義、通項公式和有關性質的延續(xù)，而且為后面類比地學習等比數(shù)列前項和公式提供學習內(nèi)容、思維方法的基礎，更是今后研究級數(shù)的預備知識.
等差數(shù)列的前項和公式是等差數(shù)列的又一重要性質，是進一步認識等差數(shù)列的函數(shù)特性的又一重要角度，是感受等差數(shù)列與一次函數(shù)、等差數(shù)列的前項和公式與一元二次函數(shù)之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性的又一重要載體.
等差數(shù)列的前項和公式是等差數(shù)列的定義、通項公式和相關性質的直接應用.尋找合適的算理、算法是研究等差數(shù)列前項和的基本線索，將不同數(shù)的求和轉化為相同數(shù)的求和是算理、算法的邏輯起點，是引導學生學習等差數(shù)列求和方法的基礎，是學生領悟化歸與轉化思想的合適素材.
等差數(shù)列的前項和公式是數(shù)列單元的重點內(nèi)容.在公式的推導過程中，“倒序相加法”是歷史上遺留下來的經(jīng)典方法，因此，等差數(shù)列的前項和公式的建立，可以數(shù)學文化為背景，構建一個從簡單到復雜、從特殊到一般、歷史與現(xiàn)實有機結合、算法與性質交融并進的研究過程，使學生從對等差數(shù)列求和的簡單情形的算法分析和推廣中，逐步認識到“倒序相加法”所蘊含的算理和本質，并最終能用這種方法推導出等差數(shù)列的前項和公式，這一過程也體現(xiàn)了內(nèi)容與數(shù)學文化的融合.
基于以上分析，確定本單元的教學重點：等差數(shù)列的前項和公式的推導及其應用.
二、單元目標及其解析
1.目標
（1）了解等差數(shù)列前項和公式發(fā)現(xiàn)的背景；
（2）推導并掌握等差數(shù)列的前項和公式；
（3）在具體問題情境中，能運用等差數(shù)列的前項和公式解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題，提升數(shù)學建模素養(yǎng).
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生通過課前自主查閱數(shù)學史料，課堂演繹歷史短劇，了解等差數(shù)列的前項和公式的來龍去脈，感悟特殊與一般的思想，感受前人嚴謹?shù)闹螌W精神和數(shù)學文化的熏陶.
（2）學生通過研究性學習和小組合作探究的方式，在經(jīng)歷“類比推理探公式---歸納推理猜公式---演繹推理證公式”的推導過程中，明確基本公式的學習套路，掌握等差數(shù)列的前項和公式的“倒序相加法”以及其他推導方法，能分析等差數(shù)列的通項公式與前項和公式的關系，描述等差數(shù)列的前項和公式的特征，以及它與相應二次函數(shù)的關系，領悟等差數(shù)列的性質是導出求和公式的關鍵.
（3）學生能在具體的問題情境中，特別是在具有數(shù)學史料和實際應用的問題情境下，運用等差數(shù)列的前項和公式解決相應的問題.
三、教學問題診斷分析
從學生已有的數(shù)學思維特點來看，等差數(shù)列的前項和公式的學習，其認知基礎是等差數(shù)列的定義與性質、數(shù)列求和的一般觀念，以及學生對特殊數(shù)列求和的研究經(jīng)驗等.這些認知準備，對于分析等差數(shù)列項的變化規(guī)律，利用等差數(shù)列的性質減少項數(shù)，發(fā)現(xiàn)倒序相加的運算特點，從而達到簡化的目的，并最終能夠順利地導出求和公式等，都能起到思路引領的作用.
從學生積累的數(shù)學活動經(jīng)驗來看，學生很容易把高斯的“首尾配對法”過渡到“倒序相加法”.盡管這兩種方法的共性本質都是如何“減項化簡”（即如何把不同數(shù)的求和化歸為相同數(shù)的求和），但兩者的推導方法又有著形式上的差異（即首尾配對要分奇偶，而倒序相加則可一步到位）.正是這種差異導致了等差數(shù)列的前項和公式推導過程中的一個“老大難”問題：怎么想到用倒序相加的？因此，怎樣讓等差數(shù)列的前項和公式的推導能夠相對自然地呈現(xiàn)，成為學生理解公式推導過程的合理性的關鍵.
為了有效突破這一難點，在推導過程中，既要在從特殊到一般的問題情境中，通過歸納推理，分類討論公式的結構特征；又要在遵循“倒序相加法”產(chǎn)生的數(shù)學背景中，通過推理再次獲得公式；還要在數(shù)形結合的過程中，通過類比推理直觀感知公式的幾何意義，在求和公式的教學中，讓學生經(jīng)歷等差數(shù)列的前項和公式的再創(chuàng)造過程，從而培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，提升學的思維品質.
四、教學支持條件分析
為了加強學生對等差數(shù)列的前項和公式的整體感受，采取素養(yǎng)導航、推理定位、文化引領、應用落實的“四位一體”的單元教學設計，教學情境圍繞等差數(shù)列求和的發(fā)展歷程和應用過程展開，采用歷史線索和問題串驅動法.一是，借助多媒體引入古希臘畢達哥拉斯學派的經(jīng)典算題，演繹德國偉大的數(shù)學家高斯“神速求和”的歷史短劇，讓學生經(jīng)歷“首尾配對法---分類討論法---倒序相加法”的認知過程，體驗把不同數(shù)的求和轉化為相同數(shù)的求和的思維過程，實現(xiàn)化簡求和的終極目標.二是，借助信息技術類比梯形的面積公式，動態(tài)演示等差數(shù)列的前項和公式的幾何意義，揭示求和公式的結構特征和其中蘊含的數(shù)學思想方法，提升學生的直觀想象素養(yǎng).三是，借助實物投影儀展示學生的小組合作學習成果，讓學生經(jīng)歷化歸與轉化、探索與嘗試、總結與提煉以及應用與深化四個階段，加深學生對求和公式的認知，對推導和應用過程的理解，完成本單元的教學目標.
五、課時教學設計
（一）教學內(nèi)容
等差數(shù)列的前項和公式的推導.
（二）教學目標
1.了解等差數(shù)列的前項和公式發(fā)現(xiàn)的背景；
2.推導并掌握等差數(shù)列的前項和公式，提升邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).
（三）教學重點、難點
重點：等差數(shù)列的前項和公式的推導.
難點：等差數(shù)列的前項和公式的推導.
（四）教學過程設計
1.重溫經(jīng)典算法，歸納“探”公式
引導語：在前面的學習中，我們已經(jīng)學習了等差數(shù)列的通項公式，以及與等差數(shù)列有關的一些基本性質，這節(jié)課我們來探討一下等差數(shù)列的前項和公式.
問題情境：古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過三角形數(shù)：1，3，6，10，15，…，如圖1所示，這個圖案中有層.

圖 1
設計意圖：通過介紹古希臘畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)，展現(xiàn)數(shù)學知識生成的文化背景，使學生了解數(shù)學史的知識，感受數(shù)學文化，體會其中蘊含的趣味性、文化性和思想性.
問題1：如果圖1中的石子有100層，那么第1層到100層一共用了多少粒石子？
師生活動：教師引導學生將問題轉化為學生熟悉的求等差數(shù)列前100項的和，即求1+2+3+…+100.讓學生表演歷史短劇再現(xiàn)高斯求和的算法故事，教師追問如下問題：
（1）高斯采用的是什么算法？（答案：首尾配對法.）
（2）高斯在求和過程中利用了數(shù)列1，2，…，，…的什么性質？（答案：，即上一小節(jié)例5中的性質的一個特殊情形.）
（3）高斯求和法的實質是什么？（答案：高斯算法的實質，就是通過配對湊成相同的數(shù)，變“多步求和”為“一步相乘”，即將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”.）
設計意圖：重溫高斯算法，讓知識生成更自然.高斯算法蘊含著等差數(shù)列的特殊性質（即上小節(jié)例5中的性質的一個特殊情形），教學時要讓學生自己去觀察、探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)列的這一性質.同時，引導學生提煉高斯算法的實質---將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”，體會轉化與化歸的思想方法，這也是推導等差數(shù)列求和公式的精髓.
問題2：如果圖1中的石子有101層，那么第1層到第101層一共用了多少粒石子？
師生活動：教師引導學生將問題轉化為計算1+2+3+…+101.學生再經(jīng)過合作學習、討論，形成以下思路：
思路1（拿出中間項，再首尾配對）：原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51.
思路2（拿出末項，再首尾配對）：原式=（1+2+3+…+100）+101.
思路3（先湊成偶數(shù)項，再配對）：原式=1+2+3+…+101=（1+2+3+…+101+102）-102.
思路4（先湊成偶數(shù)項，再配對）：原式=0+1+2+3+…+101.
設計意圖：這是求奇數(shù)個項的和的問題，若簡單地模仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對的問題，這時教師要引導學生進一步探求解題思路.思路1和思路2是先拿出一項，將剩余項配對；思路3和思路4是增加一項，湊成偶數(shù)項再配對.總體上都體現(xiàn)了化歸思想，將奇數(shù)個項和的問題轉化為偶數(shù)個項和的問題.
問題3：如果圖1中的石子有層，那么第1層到第層一共用了多少粒石子？
師生活動：教師同樣引導學生將問題轉化為計算.學生仿照問題2的解法，從奇偶分析法入手探求.
方法1：當是偶數(shù)時，有
當為奇數(shù)時，有.
綜上，對任意正整數(shù)，都有.
方法2：當是偶數(shù)時，同理有.
當為奇數(shù)時，有.
綜上，對任意正整數(shù)，都.
方法3：當是偶數(shù)時，同理有.
當為奇數(shù)時，有Tn=1+2+3+?+n=n-12(1+n)+n+12=n(n+1)2.
綜上，對任意正整數(shù)，都有.
教師總結：將分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況進行處理，當為偶數(shù)時，直接運用高斯算法求解；當為奇數(shù)時，如方法3，先拿出中間一項，剩余的配對，從而將問題轉化為個與的和.這種方法體現(xiàn)了分類整合以及轉化與化歸的思想方法.
追問：是否一定要分類討論？怎樣避開分類討論實現(xiàn)“配對”，將“不同數(shù)的求和”化歸為相同數(shù)的求和”呢？
設計意圖：推廣前面求1+2+3+…+101的方法，展現(xiàn)分奇、偶兩種情況求1+2+3+…+的過程，同時提出如何避免分類的問題.
2.探索求和規(guī)律，演繹“推”公式
問題4：能否借助梯形面積公式的推導方法研究“石子堆”問題？
師生活動：教師借助信息技術工具，讓學生明確梯形面積公式是如何推導的.教師追問如下問題：
（1）為什么要“倒置”一個全等梯形？（答案：補成平行四邊形.）
（2）梯形面積公式的推導體現(xiàn)了什么研究策略？（答案：將不規(guī)則的或不熟悉的圖形轉化為規(guī)則的或熟悉的圖形.）
3）能否借助這樣的策略研究“石子堆”問題？（答案：可以.平行四邊形行中的每行石子的粒數(shù)均為，共有n(n+1)粒石子，所以原圖案共有粒石子，）
教師介紹：如圖2，利用拼平行四邊形的方法，求從1開始的連續(xù)正整數(shù)之和，即.

圖 2
設計意圖：通過呈現(xiàn)梯形面積公式的推導情境，將認知起點貼近學生思維的最近發(fā)展區(qū)，使學生更容易理解這種“平行倒置”的做法.
問題5：你能用數(shù)學符號來表示圖2中的求解過程嗎？
師生活動：教師先從“運算”的角度，引導學生對公式作變形，得到.它相當于兩個相加，而結果變成個相加；再從“形”的角度，結合梯形面積公式的推導所受到的啟發(fā)，自然而然地得到如下推理:
， ①
， ②
由①+②，可得，從而.
教師總結：這種推導方法叫做倒序相加法.通過倒序相加，將復雜的求和問題轉化為簡單求和，即轉化為個的和.
教師引導學生從中體會：
（1）所求的和可以用首項、末項和項數(shù)來表示；
（2）數(shù)列中任意的第項與倒數(shù)第項的和都等于首項與末項的和.
設計意圖：通過從“式”的角度的聯(lián)想，和從“形”的角度的類比，探求新的解決方法.
問題6：如何將這種“倒序相加法”推廣到求公差為的等差數(shù)列的前項和呢？
師生活動：首先，教師引導學生利用的定義，通過“觀察---歸納---推測”獲得猜想：
，
，
，
，
由此歸納猜想.
然后，教師引導學生運用“倒序相加法”再次得到猜想結論，即利用等差數(shù)列的性質，將轉化為個的和，從而得到求和公式.
， ③
. ④
因為，由③+④，可得.所以得到公式（1）：.
最后，利用通項公式，用，，表示數(shù)列的各項，再把各項重構分組，運用公式（1）進行求和，導出等差數(shù)列前項和公式的另一種形式.


.
也可直接將通項公式代入公式（1），得到公式（2）：.經(jīng)整理得到公式（3）： .
設計意圖：從不同角度推導等差數(shù)列的前項和公式，既讓學生經(jīng)歷“觀察---歸納---猜想”的過程，獲得發(fā)現(xiàn)公式的體驗，又讓學生用“倒序相加法”推導公式，體會數(shù)學方法的美妙.
3.挖掘幾何意義，比較“釋”公式
問題7：根據(jù)前面的類比推導過程，你能說出等差數(shù)列的前項和公式與梯形的面積公式有什么聯(lián)系嗎？
師生活動：教師引導學生建立起公式與圖形之間的聯(lián)系：公式（1）的幾何意義如圖3所示，上底為，下底為，高為，梯形的面積即為數(shù)列之和；公式（2）的幾何意義如圖4所示，這里的梯形由一個三角形和一個平形四邊形組成，梯形的下底為.教師總結，梯形的面積公式可以幫助我們記憶等差數(shù)列的前項和公式.

圖 3 圖 4
追問：等差數(shù)列的前項和公式（3）與一元二次函數(shù)有什么聯(lián)系？
師生活動：通過小組合作討論，教師引導學生發(fā)現(xiàn)公式（3）是二次式.當時，可以看成二次函數(shù)當時的函數(shù)值，其幾何意義是一條過坐標原點的拋物線上的均勻分布的點；當時，的圖象是一條直線上的均勻分布的點（圖5）；當時，的圖象是一條開口向上的過坐標原點的拋物線上的均勻分布的點（圖6）；當時，的圖象是一條開口向下的過坐標原點的拋物線上的均勻分布的點（圖7）.

圖 5 圖 6 圖 7
設計意圖：通過從形的角度解釋等差數(shù)列的前項和公式，探究公式與二次函數(shù)的關系，使學生深入理解公式，從而培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性和深刻性.
4.課堂小結
問題：請總結一下本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法.
師生活動：教師引導學生自行總結本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，在此基礎上，結合學生總結的情況及時補充完善.教師重點概括等差數(shù)列的前項和公式的推導過程以及過程中體現(xiàn)的思想方法，總結等差數(shù)列前項和公式的3種形式（公式（1）、公式（2）和公式（3）），以及它們的幾何意義.
5.布置作業(yè)
教科書第22~23頁練習第1~4題.
（五）目標檢測設計
1.教科書第21頁例6.
設計意圖：考查學生對等差數(shù)列的前項和公式的應用能力.
2.已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為290，所有偶數(shù)項的和為261.求此數(shù)列中間一項的值以及項數(shù).
沒計意圖：考查學生對等差數(shù)列的性質和前項和公式的應用能力.

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