1.[探究點(diǎn)一]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,則S5=(　　)A.21B.15C.10D.6
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1+a3=2,a4-a2=2,∴2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,則S5=0+ ×1=10.
2.[探究點(diǎn)二]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則an等于(　　)A.nB.n2C.2n+1D.2n-1
解析 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1適合上式,故an=2n-1(n∈N*).
3.[探究點(diǎn)一]在等差數(shù)列{an}中,已知a1=-12,S13=0,則使得an>0的最小正整數(shù)n為(　　)A.7B.8C.9D.10
解析 由S13= =0,得a13=12,則a1+12d=12,得d=2,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-12+(n-1)×2=2n-14,由2n-14>0,得n>7,即使得an>0的最小正整數(shù)n為8.故選B.
4.[探究點(diǎn)一]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1,令bn= (a1+a2+…+an),則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和T10=(　　)A.70B.75C.80D.85
5.[探究點(diǎn)一](多選題)在等差數(shù)列{an}中,公差d=2,an=11,Sn=35,則a1等于(　　)A.-1B.3C.5D.7
解析 由題意知a1+(n-1)×2=11,①
由①②解得a1=3或a1=-1.
6.[探究點(diǎn)一]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1≠0,a2=3a1,則
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.
7.[探究點(diǎn)二]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n-1,n∈N*;(2)Sn=2n2+n+1,n∈N*.
解 (1)由Sn=2n-1,①則Sn-1=2n-1-1,②①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又n=1時(shí),a1=S1=21-1=1滿足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.
(2)由Sn=2n2+n+1,③則Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+1,④③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2),又n=1時(shí),a1=S1=4,不滿足an=4n-1,所以
8.若公差不為0的等差數(shù)列{an}的前21項(xiàng)的和等于前8項(xiàng)的和,且a8+ak=0,則正整數(shù)k的值為(　　)A.20B.21C.22D.23
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,由題意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故選C.
9.(多選題)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則下列選項(xiàng)中可能是Sn所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象的是(　　 )
解析 因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,所以Sn=an2+bn(a,b為常數(shù),n∈N*),則其對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=ax2+bx.當(dāng)a=0時(shí),該函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的直線上一些孤立的點(diǎn),如選項(xiàng)C;當(dāng)a≠0時(shí),該函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的拋物線上一些孤立的點(diǎn),如選項(xiàng)A,B;選項(xiàng)D中的曲線不過原點(diǎn),不符合題意.
10.將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　　.?
解析 數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).并且顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列式的新數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng),以6為公差的等差數(shù)列.
11.在①a1+a6+a10=0,②-2a2=a13,③a3a5= 這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題的題設(shè)條件中.問題:已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),滿足a2+a3+a7=-15,　　　　　.?(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-40,求k的值.
解 (1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的公差為d(d≠0),又a2+a3+a7=-15,所以a1=-5-3d,選①,則a1+a6+a10=3a1+14d=-15+5d=0,得d=3,故a1=-14,所以an=3n-17;選②,則由-2a2=a13,得-2a1-2d=a1+12d,即3a1=-14d.

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4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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