第1課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目,1+2+…+100的和是多少?”過了兩分鐘,正當(dāng)大家在對1+2=3,3+3=6,4+6=10…算得不亦樂乎時(shí),高斯站起來回答說:“1+2+3+…+100=5 050.”老師問:“你是如何算出答案的?”高斯回答說:“因?yàn)?+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5 050.”這個(gè)故事告訴我們要像數(shù)學(xué)王子高斯一樣善于觀察,敢于思考,從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.這個(gè)小故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法——“倒序相加”法.
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)
名師點(diǎn)析(1)兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五個(gè)量.通常已知其中三個(gè),可求其余兩個(gè),而且方法就是解方程(組),這也是等差數(shù)列的基本問題形式之一.
微拓展從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:(1)公式的變形
(2)從函數(shù)角度認(rèn)識公式①當(dāng)d≠0時(shí),Sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù),且不含常數(shù)項(xiàng);②當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1,Sn不是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù).(3)結(jié)論及其應(yīng)用已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn+C,若C=0,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列;若C≠0,則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.
微練習(xí)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=　　　　　.
解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍3=0,a6+a7=14,所以
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用例1(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,a4=7,則S9=　　　　.?(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=3,S6=24,則a9=　　　　.?(3)在等差數(shù)列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,則公差d=　　　　.?
分析:利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程進(jìn)行計(jì)算求解.
解析:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.
解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
答案:(1)81　(2)15　(3)-171
反思感悟a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量,an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示,五個(gè)量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問題,一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)來求解.這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法.在運(yùn)算中要注意等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.
變式訓(xùn)練1(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,已知a2=3,a5=9,則S5等于(　　)A.15　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.30(2)若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5=25,且a2=3,則a7=(　　)A.12B.13C.14D.15(3)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,則n=　　　　.?
答案:(1)C　(2)B　(3)10或11
利用an與Sn的關(guān)系解決問題例2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=5n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn= ,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式,注意對首項(xiàng)的檢驗(yàn).
解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=51-1=4.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也適合an=4·5n-1,因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4·5n-1(n∈N*).
反思感悟已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求通項(xiàng)公式an的步驟1.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1.2.當(dāng)n≥2時(shí),根據(jù)Sn寫出Sn-1,化簡an=Sn-Sn-1.3.如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=Sn-Sn-1;如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列{an}的通
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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2 等差數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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