2022-2023學(xué)年北京市第二十五中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A．6 B．12 C．8 D．20【答案】C【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的運(yùn)算即可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．下列結(jié)論中正確的是（    ）A．若，，則B．若且，則C．設(shè)是等差數(shù)列，若，則D．若，則【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，利用特殊值判斷B，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷D.【詳解】選項A，由，可得，則，又，所以，則，故A正確.選項B，取，則，則不等式不成立，故B不正確.選項C，由題意得且，所以，故C不正確.選項D，設(shè)，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，，即，故D不正確.故選：A.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.【詳解】解：由已知可得，故選：B.4．在等差數(shù)列中，若，，則（    ）A．6 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】先求出公差，再利用等差數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】因為等差數(shù)列中，，，所以公差，，則，故選：B.5．已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且，則=（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由可得：，即，因為，，所以，解得：或（舍），故選：D.6．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．【解析】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．7．某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為（    ）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的物理意義，即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，所以質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為.故選：B8．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：A.9．如圖，從甲地到乙地有條路，從乙地到丁地有條路；從甲地到丙地有條路，從丙地到丁地有條路.從甲地到丁地的不同路線共有（    ）A．條 B．條C．條 D．條【答案】C【分析】分甲乙丁與甲丙丁兩種情況分類,再根據(jù)乘法原理分別求解再求和即可.【詳解】若線路為甲乙丁則有,路線為甲丙丁則有.故共有.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分步與分類計數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.10．由1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)有（    ）A．48個 B．60個 C．96個 D．120個【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的意義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，由1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)有：.故選：B.11．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間.【詳解】，定義域為則，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.12．函數(shù)的極值情況是（    ）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.【詳解】∵，∴，由，得或，時，；時，；時，，∴函數(shù)的遞減區(qū)間是，；遞增區(qū)間是，∴當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，∴函數(shù)既有極大值又有極小值.故選：D.13．已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．沒有極大值C．時，有極大值 D．時，有極小值【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，有極大值，的值無法確定，再根據(jù)的圖象確定的單調(diào)性，從而可說明不是函數(shù)的極值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).【詳解】解：如圖所示，設(shè)函數(shù)的圖象在原點(diǎn)與之間的交點(diǎn)為．由圖象可知：.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增．可得：是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不一定成立．且由圖知，有極大值.故選：D．14．設(shè)，若函數(shù)，，有大于零的極值點(diǎn)，則（ ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】題意即有大于0的實根,數(shù)形結(jié)合令,則兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.15．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足則必有A． B．C． D．【答案】C【分析】先由題意得到函數(shù)的單調(diào)性,然后跟根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行判斷可得結(jié)論.【詳解】若，則為常數(shù)函數(shù),;若不恒成立,當(dāng)時, ,遞增，當(dāng)時,,遞減..故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系,考查對基本概念的理解,解題時可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的最值情況,屬于中檔題. 二、填空題16．在等比數(shù)列中，，則           .【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因為，所以，因此，故答案為：17．已知函數(shù)，則          .【答案】6【分析】利用求導(dǎo)公式對進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求值.【詳解】解：∵，∴，∴，則.故答案為：6.18．已知函數(shù)，則   【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得.【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：19．函數(shù)在上的最大值為          .【答案】10【分析】對二次函數(shù)配方后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上的最大值為10.故答案為：10. 三、雙空題20．已知二項式的展開式中各項二項式系數(shù)和是16，則n＝     ，展開式中的常數(shù)項是    ．【答案】     4     24【分析】由二項式的和有求n值，寫出二項式展開式通項，進(jìn)而求常數(shù)項.【詳解】由題意，則，故二項式展開式的通項為，令，得，故展開式中的常數(shù)項為24.故答案為：4，24 四、填空題21．?dāng)?shù)列中，若，，則          .【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式結(jié)合累乘法即可得.【詳解】由題意，，可得，所以，所以.故答案為：.22．已知數(shù)列的前項和，則          .【答案】【解析】根據(jù)，求出通項，再驗證也滿足所求式子即可.【詳解】因為數(shù)列的前項和，所以，又也滿足上式，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由求數(shù)列的通項，屬于基礎(chǔ)題型.23．若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實數(shù)的值為         .【答案】/【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可確定切線方程，根據(jù)切線方程過點(diǎn)，列方程求解實數(shù)的值.【詳解】由，得，∴，又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，代入，得，解得.故答案為：.24．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是        ．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對求導(dǎo),并令,即可求得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)則因為 在上是減函數(shù)所以在上恒成立即則當(dāng)時, 恒成立當(dāng)時, 在上恒成立,則綜上所述, 的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,二次函數(shù)恒成立問題,屬于基礎(chǔ)題.25．法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”        ．【答案】【分析】先求，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得求得的值即可.【詳解】由可得，所以，由拉格朗日中值的定義可知，即，所以．故答案為： . 五、解答題26．有2名男生、3名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(結(jié)果用數(shù)字回答)（1）選4人排成一排;（2）排成前后兩排,前排1人，后排4人;（3）全體排成一排,女生必須站在一起;（4）全體排成一排,男生互不相鄰;（5）全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊;（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊;（7）全體排成一排，甲在乙前，乙在丙前.【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.【分析】（1）（2）直接利用排列求解；（3）利用捆綁法求解；（4）利用插空法求解；（5）利用優(yōu)先法求解；（6）利用間接法求解；（7）利用整體法求解.【詳解】（1）選4人排成一排，有種；（2）排成前后兩排,前排1人，后排4人，有種；（3）全體排成一排,女生必須站在一起，有種；（4）全體排成一排,男生互不相鄰，有種；（5）全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，有種；（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有種；（7）全體排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有種.27．已知數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）依題意為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式計算可得；由，，求出公差，進(jìn)而得到；（2）求得，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【詳解】解：（1）由，，可得；設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，則；（2），可得數(shù)列的前項和為．28．已知是等差數(shù)列，其前n項和為，再從條件①條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)數(shù)列的通項公式；(2)的最小值，并求取得最小值時n的值．條件①：；條件②：．【答案】(1)條件①：；條件②：(2)條件①：時，最小值為；條件②：或時，最小值為. 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義，設(shè)出公差利用所選條件分別解得和，即可寫出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)通項公式可得前n項和為的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】（1）若選擇條件①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得；又，得，即；解得，所以；即數(shù)列的通項公式為.若選擇條件②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得；又，即，得；解得；所以；即數(shù)列的通項公式為.（2）若選擇條件①：由可得，；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，為最??；即時，取最小值，且最小值為.若選擇條件②：由可得，；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或時，為最小；即或時，取最小值，且最小值為.29．已知曲線：.(1)求的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)求函數(shù)的極值.【答案】(1)2(2)(3)極大值為，極小值為 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后代入計算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后，代入計算，即可得到極值.【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域為，可得，所以；（2）由（1）知，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（3）由（1）知，令，解得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值.30．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；(2)當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；(3)若對任意、，，且恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的傾斜角；（2）求得，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合對任意的恒成立，可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，則，所以曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為.（2）解：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，令，可得或.①當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是；②當(dāng)，即時，若，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，即，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，在上的最小值是，不合題意；③當(dāng)，即時，對任意的時，，則在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是，不合題意.綜上可得，故的取值范圍為.（3）解：設(shè)，則，對任意、，，且恒成立，等價于在上單調(diào)遞增.而，①當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，只需在恒成立，因為，只要，則需要，二次函數(shù)的對稱性為直線，只需，即.綜上可得，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到. 

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