2022-2023學(xué)年吉林省白城市洮南市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．?dāng)?shù)列，則該數(shù)列的第n項(xiàng)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過數(shù)列的規(guī)律總結(jié)出數(shù)列的第n項(xiàng)即可【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則以此類推可得，故選：D2．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B．1 C．1或 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】由，代入即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為：.故選：A.3．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入，從而求出，，求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，所以，則，所以．故選：D4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（   ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A．45 B．50 C．60 D．80【答案】C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)當(dāng) 時(shí)及前項(xiàng)和公式得解【詳解】是等差數(shù)列，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題6．已知是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為(　　)A． B． C． D．【答案】D【分析】在函數(shù)的圖像上，利用導(dǎo)數(shù)求得一點(diǎn)，使得在該點(diǎn)切線的斜率為，再由點(diǎn)到直線距離公式求得最小距離.【詳解】直線2x－y－3＝0的斜率為，令，解得，故，到直線2x－y－3＝0的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題.7．公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù)，稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶，下圖為五角形數(shù)的前4個(gè)，現(xiàn)有如下說法：①記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則；②第9個(gè)五角形數(shù)比第8個(gè)五角形數(shù)多25；③前8個(gè)五角形數(shù)之和為288；④記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為610；則正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)圖形得到，利用累加法得到，數(shù)列為等差數(shù)列，計(jì)算對(duì)比每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】根據(jù)圖形知：，，故①正確；則.，故②正確；，故③正確；，數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為的等差數(shù)列，前20項(xiàng)和為，故④錯(cuò)誤.故選：C.8．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，則，∵，∴，即在上單調(diào)遞增，∴，要使當(dāng)時(shí)恒成立，則，解得.∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴還需要滿足，即，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是除了考慮每段函數(shù)是單調(diào)遞增，還要考慮不等式成立這一條件. 二、多選題9．已知，且，則a的值為（    ）A．-3 B．-1 C． D．【答案】AB【分析】對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，代入,即可求解.【詳解】，則，解得或.故選:AB.10．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C．的最大值為 D．【答案】AC【分析】通過分析得，根據(jù)，則得，結(jié)合，可得，再逐步分析，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，若，因?yàn)?/span>，所以，，則與矛盾，若，因?yàn)?/span>，所以，，則，與矛盾，所以，故A正確；對(duì)B，，，，即，因?yàn)?/span>，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．已知函數(shù)在處有極值，且極值為8，則（    ）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．C．曲線在點(diǎn)處的切線方程為D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】AC【分析】由條件根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求，判斷B，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線，判斷C，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷D.【詳解】由題意得，又，又，解得(舍去）或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，，，所以有三個(gè)零點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；又，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C項(xiàng)正確；，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知，且，則下列不等關(guān)系成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式易知選項(xiàng)AB正確；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和重要不等式可知C正確；將不等式化簡(jiǎn)整理可得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性即可證明D錯(cuò)誤.【詳解】由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即A正確； 易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即B正確；由重要不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得：，當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即C正確；由可得，所以，若，即證明，即即需證明，令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，解不等式可得即可，即時(shí)不等式成立；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，解不等式可得，即時(shí)不等式才成立；綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式才成立，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC 三、填空題13．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為      ．【答案】/【分析】求導(dǎo)，再令即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得，所以函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.14．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【分析】由題意，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由圖象求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意，，令，解得或，令，解得，故在，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，作其圖象如下圖，  所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，令，解得，或，則結(jié)合圖象可知，，解得，,．故答案為：．15．關(guān)于函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是      .【答案】【分析】作出函數(shù)圖象，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，結(jié)合函數(shù)圖象即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令得，令得或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為和，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極大值為，又當(dāng)x趨向負(fù)無窮大時(shí)，無限趨向正窮大，當(dāng)x趨向正無窮大時(shí)，無限趨向于0，作出函數(shù)圖象如下：  故函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)即方程的根有三個(gè)，結(jié)合函數(shù)圖象即可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．已知函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集是      ．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，由奇偶性的定義可得為偶函數(shù)，不等式，可化為，分類討論，即可得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又是定義在R上的偶函數(shù)，有，則，所以是定義在R上的偶函數(shù)，則有在上單調(diào)遞減，且，不等式整理得，可得，即，當(dāng)時(shí)，，則或，解得或，又，所以；當(dāng)時(shí)，，則，解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立；綜上所述，不等式的解集為，故答案為：． 四、解答題17．已知函數(shù)，在處的切線方程是，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值1；無極小值..【分析】（1）計(jì)算，，根據(jù)函數(shù)在處的切線方程，簡(jiǎn)單計(jì)算可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后利用導(dǎo)數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，找到極值點(diǎn)，最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，由在處的切線方程是，知切點(diǎn)為，斜率為，所以，解之得．（2），，令，得，1＋0－↗極大值↘由表可知，當(dāng)時(shí)，取得極大值1；無極小值.【點(diǎn)睛】本題查函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程求參數(shù)以及求具體函數(shù)的極值，理解函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及掌握導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線上在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）求導(dǎo)，在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，分離常數(shù)得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，所以曲線上在點(diǎn)處的切線方程為；（2），因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，因?yàn)?/span>在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以.19．一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)p和它的速度x的立方成正比.已知速度為每小時(shí)10海里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，現(xiàn)輪船航行1海里：(1)將該輪船所需的總費(fèi)用y元表示為輪船的速度x海里/小時(shí)的函數(shù)；(2)輪船的速度多少時(shí)，所需的費(fèi)用總和最??？【答案】(1)(2)20 【分析】（1）根據(jù)條件先求出p的解析式，再求出y的解析式；（2）運(yùn)用基本不等式求解.【詳解】（1）設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)用，則，由題意：航行1海里的時(shí)間為小時(shí)，（）；（2）由（1）：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，y取得最小值；綜上，總費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，所需的費(fèi)用總和最小.20．在條件：①；②且；③且中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并求解下面問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為___________，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①直接利用，再對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)即可，選②或③通過化簡(jiǎn)得到，再利用累乘法得到；（2），再進(jìn)行裂項(xiàng)求和即可.【詳解】（1）若選①，由，①時(shí)，，②①②而也滿足上式，若選②，①時(shí)，，②①②.若選③，①時(shí)，，②①②時(shí)由①知也滿足上式，，當(dāng)時(shí)， ，.（2）此時(shí)，.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有最小值，記為，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2). 【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)得，分和兩種情況討論即可；（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性可得最值，即，令，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）∵，∴，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，，即，方程，即，令，則，由可得，由可得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，依題意得.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.22．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng) 且 時(shí)，求的最小值；(2)若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)的的單調(diào)性，進(jìn)而可以求函數(shù)的最小值；（2）通過分類討論的范圍，研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而研究其單調(diào)性和極值即可求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則,又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，僅時(shí)，，所以在上是單調(diào)遞減，所以，即.（2）可得，因?yàn)?/span>，所以,①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以存在使，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在處取得極小值，為極小值點(diǎn).綜上可知，若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù). 

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