2022-2023學(xué)年北京市第五十七中學(xué)高二下學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接求并集得到答案.【詳解】集合，則.故選：C2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以故選:A3．在等差數(shù)列中，，，則=（    ）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則故選：C4．已知雙曲線的離心率是2，則（    ）A．12 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，故選：B.5．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由垂徑定理可知，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心，，由垂徑定理可知，則，故直線的方程為，即.故選：C.6．已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)即得．【詳解】∵，，且與的夾角為，∴，∴，∴．故選：A.7．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令， 因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)?/span>時(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．8．設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先由進(jìn)行化簡，能推出，即為遞增數(shù)列.再由為遞增數(shù)列，得，能推出故“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.【詳解】設(shè)的公差為 .充分性證明：由得： ，即：.所以為遞增數(shù)列.必要性證明：由為遞增數(shù)列得： ，所以所以“”是“為遞增數(shù)列的充分必要條件故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要結(jié)合等差數(shù)列考查充分條件及必要條件的判斷.屬于基礎(chǔ)題目.9．函數(shù)，.若存在，使得，則的最大值是（    ）A．8 B．11 C．14 D．18【答案】C【解析】令，原方程可化為存在，使得，算出左側(cè)的取值范圍和右側(cè)的取值范圍后可得的最大值.【詳解】因?yàn)榇嬖?/span>，使得，故.令，，則，故，因?yàn)?/span>故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，注意根據(jù)解析式的特征把原方程合理整合，再根據(jù)方程有解得到滿足的條件，本題屬于較難題.10．名學(xué)生參加某次測試，測試由道題組成．若一道題至少有名學(xué)生未解出來，則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了道題，則該生本次測試成績合格．如果這次測試至少有名學(xué)生成績合格，且測試中至少有道題為難題，那么的最小值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得學(xué)生人數(shù)和題目數(shù)必須是3的倍數(shù)，可從進(jìn)行討論即可得出的最小值為9.【詳解】根據(jù)題意可知，不妨設(shè)，所以，若求的最小值，只需最小即可；易知當(dāng)時(shí)，即；此時(shí)即有3名學(xué)生不妨設(shè)為甲、乙、丙；3道題目設(shè)為；根據(jù)題意可得至少有2名學(xué)生成績合格，這兩名學(xué)生至少做出了4道題，可設(shè)甲同學(xué)做出了兩道題，乙同學(xué)做出了兩道題，丙同學(xué)做出了0道題，此時(shí)合格的學(xué)生為甲乙，即有名學(xué)生成績合格，三道題目中有兩道題，有名學(xué)生未解出來，即滿足測試中有道題為難題；所以符合題意.故選：B 二、填空題11．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上的最小值為，則的最大值為     ．【答案】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：將向右平移個(gè)單位長度得到，因?yàn)?/span>，所以，由于函數(shù)，該函數(shù)在上的最小值為，故，故，即的最大值為．故答案為：．12．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是                ．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴ ， 得， ∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13. 13．已知函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為          ．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),,若存在使,則,即,解得,故填.點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的是函數(shù)的應(yīng)用問題,屬于中檔題目.首先求出分段函數(shù)的值域,一段根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,另外一段利用對勾函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式和反比例的值域求得,根據(jù)題意,即方程有解問題,從而限制的范圍,解出不等式即可. 三、雙空題14．聲音是由物體振動(dòng)而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)(空氣、固體或液體)傳播并能被人的聽覺器官所感知的波動(dòng)現(xiàn)象.在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要把兩個(gè)不同的聲波進(jìn)行合成，這種技術(shù)被廣泛運(yùn)用在樂器的調(diào)音和耳機(jī)的主動(dòng)降噪技術(shù)方面.（1）若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為，乙聲波的數(shù)學(xué)模型為，甲、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為.要使恒成立，則的最小值為            ；（2）技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為，其部分圖像如圖所示，對該聲波進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由S1，S2兩種不同的聲波合成得到的，S1，S2的數(shù)學(xué)模型分別記為和，滿足.已知S1，S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自于下列四個(gè)函數(shù)中的兩個(gè).①；        ②③；④則S1，S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型分別是         .(填寫序號(hào))【答案】          ②③【分析】（1）結(jié)合誘導(dǎo)公式求得的最小值.（2）根據(jù)的圖象確定正確的數(shù)學(xué)模型.【詳解】（1）由得，即，所以，由于為正數(shù)，所以的最小值為.（2）根據(jù)的圖象可知，的最大值小于，由此排除④，根據(jù)的圖象可知，的最小正周期為，對于①，其最小正周期為，由此排除①.，，的周期為，符合題意.故答案為：；②③ 四、填空題15．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的菱形，且，，，，分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③直線與底面所成角的正弦值為；④面積的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是         ．【答案】①④【分析】①通過線面垂直證明線線垂直②通過計(jì)算可得到結(jié)果③通過線面角的定義與計(jì)算可得到結(jié)果④通過求OE的取值范圍計(jì)算三角形面積的取值范圍【詳解】由， 得平面，因?yàn)?/span>平面，所以，①正確計(jì)算可得,，，所以，②不正確；由線面角定義知，就是直線與底面所成的角，，③不正確；由得，，， 時(shí)最小，④正確．故答案為：①④ 五、解答題16．在中，，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面積.條件①：；條件②：.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）若選①，則直接利用余弦定理可求得，若選②，先由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若選①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面積公式可求出其面積，若選②，由于，利用兩角和的余弦公式展開計(jì)算可求出角，利用面積公式可求出其面積，【詳解】（1）選擇條件①因?yàn)?/span>，，，由余弦定理，得，化簡得，解得或（舍）.所以；選擇條件②因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，，所以，由正弦定理得，得，解得；（2）選擇條件①因?yàn)?/span>，，所以.由正弦定理，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以為銳角，所以，所以，選擇條件②由（1）知，，又因?yàn)?/span>，，在中，，所以因?yàn)?/span>所以，所以17．如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面BDE；(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3). 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）利用空間向量的方法求線面角即可；（3）利用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，為中點(diǎn)，∴，∵，平面，∴平面.（2）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以.18．已知橢圓：，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，左右焦點(diǎn)分別為，，四邊形是邊長為的正方形，過作直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：四邊形對角線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與，兩點(diǎn)的位置無關(guān).【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）求出后可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線，，則可用的坐標(biāo)表示直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去后，利用韋達(dá)定理化簡，從而可得為定值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是邊長為的正方形，故，所以，所以橢圓方程為：.（2）設(shè)直線，，則直線，，由可得直線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由可得，所以，且，又，故四邊形對角線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與，兩點(diǎn)的位置無關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及橢圓中的定點(diǎn)問題，前者只需求出即可，后者應(yīng)把求解目標(biāo)化為與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的代數(shù)式，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡代數(shù)式，從而可證定點(diǎn)定值問題，本題屬于較難題.19．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）試判斷1是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得直線y=x-2與曲線相切？若存在，直接寫出滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）存在；實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為2．【分析】（1）由題意知：，恒成立，即，則可求a的范圍；（2）討論、、、，判斷是否為0，即可說明1是不是函數(shù)的極值點(diǎn)；（3）根據(jù)a值，判斷切點(diǎn)處是否有成立.【詳解】（1）由解析式知：定義域?yàn)?/span>，且，∵在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，∴對，都成立，即．∴即可，故a的取值范圍是．（2）①當(dāng)時(shí)，令，得x = a(舍)或1，x(0，1)1(1，+∞)f′(x)-0+f(x)↘極小↗②當(dāng)時(shí)，令，得x = a或1，x(a，1)1(1，+∞)f′(x)-0+f(x)↘極小↗③當(dāng)時(shí)，對，(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，無極值；④當(dāng)時(shí)，令，得x = a或1，x(0，1)1(1，+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大↘綜上所述，當(dāng)時(shí)，1不是極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1是極值點(diǎn)（2）存在，滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為2. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求參數(shù)范圍；（2）討論參數(shù)a的范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性，進(jìn)而判斷1是否為極值點(diǎn)；（3）直接寫出a值，根據(jù)切點(diǎn)處有是否成立.20．已知數(shù)列，具有性質(zhì)P：對任意（）與，兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）分別判斷數(shù)列0，1，3，5與數(shù)列0，2，4，6是否具有性質(zhì)P：（2）證明：且；（3）證明：當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列．【答案】（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）利用數(shù)列新定義直接判斷即可.（2）由定義知，，證明，利用累加法即可證得結(jié)論.（3）由（2）可證得，利用定義知是數(shù)列A中的項(xiàng)，可知，即可證得數(shù)列是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．【詳解】（1），，所以數(shù)列不具有性質(zhì)；；；；；；，六組數(shù)中，至少有一個(gè)屬于，所以數(shù)列具有性質(zhì)．（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，與中至少有一個(gè)屬于A，又，，故，，．由A具有性質(zhì)可知，．，；上邊n個(gè)式子累加得：，，（3）證明：由（2）知，，，而不是數(shù)列A中的項(xiàng)，則是數(shù)列A中的項(xiàng)，，，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是一道新型的探索性問題，認(rèn)真理解題目所給的數(shù)列新定義是解決問題的關(guān)鍵，通過解決探索性問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力，屬于難題.21．已知集合，若集合，且對任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底．(1)分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；(3)若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析 【分析】（1）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得不是的一個(gè)二元基底.，是的一個(gè)二元基底.．（2）設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得，即．（3）由（2）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得 的最小可能值為5．【詳解】（1）①不是的一個(gè)二元基底.理由是；②是的一個(gè)二元基底.理由是，.（2）不妨設(shè)，則形如 的正整數(shù)共有個(gè)；形如 的正整數(shù)共有個(gè)；形如 的正整數(shù)至多有個(gè)；形如 的正整數(shù)至多有個(gè).又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.故，即.（3）由（2）可知，所以.當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè). *假設(shè)為的一個(gè)4元基底，不妨設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，均不可能是的4元基底.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個(gè)即可.綜上，的最小可能值為5.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決. 

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