2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)清華大學(xué)附屬中學(xué)永豐學(xué)校高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列中，，公差，則（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，等差數(shù)列通項(xiàng)，所以.故選：A.2．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為．若，，則（    ）A．－24 B．－28 C．－30 D．－32【答案】C【分析】由等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求得后求得，從而易得．【詳解】由題意，則，又，所以，，，所以．故選：C．3．下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可知選項(xiàng)A、B、D是正確的；對于C，，故C錯(cuò)誤.故選：C.4．在的展開式中，的系數(shù)是（    ）A．10 B．20 C．60 D．80【答案】D【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再代入計(jì)算可得；【詳解】的展開式的通項(xiàng)，令，解得，所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.5．過點(diǎn)P（0，2）作曲線y＝的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1）【答案】A【分析】先設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程，解得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn),,即切點(diǎn)故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．3位老師和4名學(xué)生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4名學(xué)生站成一排，②4人排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排三名教師，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：①將4名學(xué)生站成一排，有種排法；②4人排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排三名教師，有種情況；則有種排法；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，解題方法是插空法，屬于基礎(chǔ)題．7．函數(shù)的圖像大致是（    ）A． B．    C．     D．  【答案】C【分析】求出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可排除B，D；當(dāng)趨近負(fù)無窮時(shí)趨近，可排除A，即可得出答案.【詳解】令，解得：或，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故排除B，D；當(dāng)趨近負(fù)無窮時(shí)，趨近正無窮，趨近，所以趨近，故排除A.故選：C.8．“”是“在上恒成立”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先由不等式恒成立求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】由在上恒成立，得在上恒成立，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以“在上恒成立”的充要條件為，所以“”是“在上恒成立”的充分不必要條件，故選：A9．已知等比數(shù)列滿足，，記，則數(shù)列（    ）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出，再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.【詳解】依題意，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，，，由知，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是遞增的，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是遞減的，，，，，所以和分別是數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).故選：A.10．已知數(shù)列，若存在一個(gè)正整數(shù)使得對任意，都有，則稱為數(shù)列的周期.若四個(gè)數(shù)列分別滿足：①，；②，；③，，；④，.則上述數(shù)列中，8為其周期的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用數(shù)列的周期的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】①∵，∴數(shù)列的周期為，故8也是數(shù)列的周期；②由，，可得故數(shù)列的周期為；③由，，可得，，故數(shù)列的周期為；④由，可得，，故數(shù)列的周期為，所以8也是數(shù)列的周期.故8為其周期的數(shù)列個(gè)數(shù)為2.故選：B. 二、填空題11．（x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為     .【答案】6；【分析】先得出二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)，令，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?/span>x﹣）4的展開式中的通項(xiàng)為：，令，得，所以（x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.12．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則             ．【答案】2【分析】由切線與直線垂直可得切線斜率為2，再對曲線求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可求a值.【詳解】直線的斜率為，由題設(shè)知：在處的切線的斜率為，而，∴，可得.故答案為：.13．已知函數(shù)，則             ．【答案】【分析】先求出，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故答案為：.14．已知等比數(shù)列滿足能說明“若，則”為假命題的數(shù)列的通項(xiàng)公式          ．(寫出一個(gè)即可)【答案】【分析】根據(jù)給定條件探求出等比數(shù)列公比q具有的性質(zhì)，再分情況討論即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比，由得，而，于是得，即或，當(dāng)時(shí)，，則，“若，則為真命題，與題設(shè)矛盾，當(dāng)時(shí)，因不成立，則必有，而，必有，取，則，此時(shí)，而，，即“若，則”為假命題，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為.故答案為：15．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)，，使得函數(shù)無零點(diǎn)；③若，則不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；④對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號是           .【答案】①②④【分析】在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，令，得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象及直線過定點(diǎn)（0，3）知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故正確；②當(dāng)時(shí)，作出的圖象，由圖象知，函數(shù)無零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由圖象知：對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確.故答案為：①②④ 三、解答題16．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）求出等比數(shù)列的公比，再求出a1，a14的值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.試題解析：（1）等比數(shù)列的公比，所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?/span>，，所以，即．所以（，，，）．（2）由（1）知，，．因此．從而數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力.【名師點(diǎn)睛】1.數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng).通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一；2.數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想（如：求最值或基本量）、轉(zhuǎn)化與化歸思想（如：求和或應(yīng)用）、特殊到一般思想（如：求通項(xiàng)公式）、分類討論思想（如：等比數(shù)列求和，或）等. 17．已知．(1)求與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若的圖象在點(diǎn)A處的切線斜率為，求的極值．【答案】(1)(2)極小值，無極大值 【分析】（1）令，求即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)的極值.【詳解】（1）令，則，所以與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo).（2）由，得，，解得，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值.故函數(shù)極小值為，無極大值.18．令，對拋物線，持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟：在點(diǎn)處作拋物線的切線交x軸于在點(diǎn)處作拋物線的切線交x軸于在點(diǎn)處作拋物線的切線交x軸于由此能得到一個(gè)數(shù)列，回答下列問題：(1)求的值(2)設(shè)，求的解析式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式方程求解切線方程，然后令即可求出結(jié)果．（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點(diǎn)處的切線斜率，求出切線方程，令，即可表示出．【詳解】（1），可得，所以，所以切線方程為：，令可得，即．（2）因?yàn)?/span>，所以在處的切線斜率為，所以切線方程為：，令，得，∴，即，∴的解析式：．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對恒成立，求a的取值范圍；(3)證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析 【分析】（1）討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）由，討論、研究導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷題設(shè)不等式是否恒成立，即可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)（2）結(jié)論及零點(diǎn)存在性確定時(shí)在上存在唯一零點(diǎn)，由零點(diǎn)性質(zhì)及區(qū)間單調(diào)性，應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，則，若，則，在上遞減；若，則，在上遞增；綜上，時(shí)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，所以在上遞減，在上遞增，要使對恒成立，所以，只需，令且，則，即遞減，所以，故在上不存在；綜上，.（3）由（2）知：時(shí)，在恒有，故不可能有零點(diǎn)；時(shí)，在上遞減，在上遞增，且，所以上，無零點(diǎn)，即，且趨向于正無窮時(shí)趨向正無窮，所以，在上存在唯一，使，要證，只需在上恒成立即可，令，若，則，令，則，即在上遞增，故，所以，即在上遞增，故，所以在上恒成立，得證；故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，通過討論確定在某一單調(diào)區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)的a的范圍后，應(yīng)用分析法證恒成立即可. 

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