北京市第二十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. （）
A. 6B. 12C. 8D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)運(yùn)算即可得答案.
【詳解】∵，，
∴.
故選：C.
2. 下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若，，則
B. 若且，則
C. 設(shè)是等差數(shù)列，若，則
D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A，利用特殊值判斷B，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，由，可得，則，
又，所以，則，故A正確.
選項(xiàng)B，取，則，
則不等式不成立，故B不正確.
選項(xiàng)C，由題意得且，
所以，故C不正確.
選項(xiàng)D，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，，
即，故D不正確.
故選：A.
3. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】解：由已知可得，
故選：B.
4. 在等差數(shù)列中，若，，則（）
A. 6B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，
所以公差，，
則，
故選：B
5. 已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則=（）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】由可得：，即，
因，，所以，
解得：或（舍），
故選：D.
6. 已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的
A. 充分而不必要條件
B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．
解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，
若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，
故選C．
考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
7. 某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）
A. 8B. 12C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的物理意義，即可求解.
【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.
故選：B
8. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】求導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
故選：A.
9. 如圖，從甲地到乙地有條路，從乙地到丁地有條路；從甲地到丙地有條路，從丙地到丁地有條路.從甲地到丁地的不同路線共有（）
A. 條B. 條
C. 條D. 條
【答案】C
【解析】
【分析】分甲乙丁與甲丙丁兩種情況分類,再根據(jù)乘法原理分別求解再求和即可.
【詳解】若線路為甲乙丁則有,路線為甲丙丁則有.故共有.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分步與分類計(jì)數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.
10. 由1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)有（）
A. 48個(gè)B. 60個(gè)C. 96個(gè)D. 120個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的意義求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，由1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)有：.
故選：B.
11. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】，定義域?yàn)?br>則，
令，解得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故選：A.
12. 函數(shù)的極值情況是（）
A. 有極大值，無極小值B. 有極小值，無極大值
C. 既無極大值也無極小值D. 既有極大值又有極小值
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.
【詳解】∵，∴，
由，得或，
時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間是，；遞增區(qū)間是，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
∴函數(shù)既有極大值又有極小值.
故選：D.
13. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 沒有極大值
C. 時(shí)，有極大值D. 時(shí)，有極小值
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，有極大值，的值無法確定，再根據(jù)的圖象確定的單調(diào)性，從而可說明不是函數(shù)的極值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).
【詳解】解：如圖所示，設(shè)函數(shù)的圖象在原點(diǎn)與之間的交點(diǎn)為．
由圖象可知：.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
可得：是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不一定成立．且由圖知，有極大值.
故選：D．
14. 設(shè)，若函數(shù)，，有大于零的極值點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】題意即有大于0的實(shí)根,數(shù)形結(jié)合令,則兩曲線交點(diǎn)在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.
15. 對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足則必有
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由題意得到函數(shù)的單調(diào)性,然后跟根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行判斷可得結(jié)論.
【詳解】
若，則為常數(shù)函數(shù),;
若不恒成立,
當(dāng)時(shí), ,遞增，當(dāng)時(shí),,遞減.
.
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系,考查對(duì)基本概念的理解,解題時(shí)可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得到函數(shù)的最值情況,屬于中檔題.
二、填空題（請(qǐng)把答案寫在答題紙相應(yīng)位置，每空2分，合計(jì)22分）
16. 在等比數(shù)列中，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?br>因此，
故答案為：
17. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用求導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求值.
【詳解】解：∵，
∴，∴，
則.
故答案為：6.
18. 已知函數(shù)，則___
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得.
【詳解】解：∵，∴，∴；
故答案為：
19. 函數(shù)在上的最大值為__________.
【答案】10
【解析】
【分析】對(duì)二次函數(shù)配方后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上的最大值為10.
故答案：10.
20. 已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則n＝_____，展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____．
【答案】 ①. 4 ②. 24
【解析】
【分析】由二項(xiàng)式的和有求n值，寫出二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，進(jìn)而求常數(shù)項(xiàng).
【詳解】由題意，則，故二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，
令，得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為24.
故答案為：4，24
21. 數(shù)列中，若，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式結(jié)合累乘法即可得.
【詳解】由題意，，可得，所以，
所以.
故答案為：.
22. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)，求出通項(xiàng)，再驗(yàn)證也滿足所求式子即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，
所以，
又也滿足上式，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題型.
23. 若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可確定切線方程，根據(jù)切線方程過點(diǎn)，列方程求解實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由，得，
∴，
又，
∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
代入，得，
解得.
故答案為：.
24. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,對(duì)求導(dǎo),并令,即可求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)
則
因?yàn)?在上是減函數(shù)
所以在上恒成立
即
則當(dāng)時(shí), 恒成立
當(dāng)時(shí), 在上恒成立,則
綜上所述, 的取值范圍是
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,二次函數(shù)恒成立問題,屬于基礎(chǔ)題.
25. 法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下．如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)的；（2）在開區(qū)間上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被稱為“拉格朗日中值”．則在區(qū)間上的“拉格朗日中值”________．
【答案】
【解析】
【分析】先求，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得求得的值即可.
【詳解】由可得，
所以，
由拉格朗日中值的定義可知，
即，
所以．
故答案為： .
三、解答題（本大題共5小題，合計(jì)68分.解答須寫出文字說明證明過程和演算步驟）
26. 有2名男生、3名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(結(jié)果用數(shù)字回答)
（1）選4人排成一排;
（2）排成前后兩排,前排1人，后排4人;
（3）全體排成一排,女生必須站在一起;
（4）全體排成一排,男生互不相鄰;
（5）全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊;
（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊;
（7）全體排成一排，甲在乙前，乙在丙前.
【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.
【解析】
【分析】（1）（2）直接利用排列求解；
（3）利用捆綁法求解；
（4）利用插空法求解；
（5）利用優(yōu)先法求解；
（6）利用間接法求解；
（7）利用整體法求解.
【詳解】（1）選4人排成一排，有種；
（2）排成前后兩排,前排1人，后排4人，有種；
（3）全體排成一排,女生必須站在一起，有種；
（4）全體排成一排,男生互不相鄰，有種；
（5）全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊，有種；
（6）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有種；
（7）全體排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有種.
27. 已知數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）依題意為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；由，，求出公差，進(jìn)而得到；
（2）求得，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．
【詳解】解：（1）由，，
可得；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，，
可得，
則；
（2），
可得數(shù)列的前項(xiàng)和為
．
28. 已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，再從條件①條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）的最小值，并求取得最小值時(shí)n的值．
條件①：；條件②：．
【答案】（1）條件①：；條件②：
（2）條件①：時(shí)，最小值為；條件②：或時(shí)，最小值為.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義，設(shè)出公差利用所選條件分別解得和，即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式可得前n項(xiàng)和為的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.
【小問1詳解】
若選擇條件①：
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得；
又，得，即；
解得，
所以；
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
若選擇條件②：
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得；
又，即，得；
解得；
所以；
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
若選擇條件①：
由可得，；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，為最小；
即時(shí)，取最小值，且最小值為.
若選擇條件②：
由可得，；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)或時(shí)，為最小；
即或時(shí)，取最小值，且最小值為.
29. 已知曲線：.
（1）求的值；
（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（3）求函數(shù)的極值.
【答案】（1）2 （2）
（3）極大值為，極小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后代入計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)之后，代入計(jì)算，即可得到極值.
【小問1詳解】
已知，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，所以?br>【小問2詳解】
由（1）知，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即；
【小問3詳解】
由（1）知，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值，在處取得極小值.
30. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；
（3）若對(duì)任意、，，且恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的傾斜角；
（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合對(duì)任意的恒成立，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，，則，
所以曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為.
【小問2詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
令，可得或.
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值是；
②當(dāng)，即時(shí)，
若，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，在上的最小值是，不合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意的時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，
所以在上的最小值是，不合題意.
綜上可得，故的取值范圍為.
【小問3詳解】
解：設(shè)，則，
對(duì)任意、，，且恒成立，
等價(jià)于在上單調(diào)遞增.
而，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，只需在恒成立，
因?yàn)?，只要，則需要，
二次函數(shù)的對(duì)稱性為直線，
只需，即.
綜上可得，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

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