北京市大峪中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
一、選擇題（共12小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）
1. 若集合，，則（）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求出或,即得解.
【詳解】由題得或,
所以，
故選：A
2. 下列函數(shù)中是定義在上的增函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的定義域可判斷AC，利用基本函數(shù)的單調(diào)性可判斷BD.
【詳解】對于A，在區(qū)間上為增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B，在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對于C，在區(qū)間上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對于D，在上為增函數(shù)，故D正確.
故選：D.
3. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.
【詳解】由函數(shù)，顯然函數(shù)在為減函數(shù)，
又，，，
.
故選：C.
4. 若，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)，對數(shù)的性質(zhì)確定正確選項(xiàng).
【詳解】，
，
，
所以.
故選：B
5. “”是“對任意的正整數(shù)，均有”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】化簡“對任意的正整數(shù)，均有”得，即得解.
【詳解】對任意的正整數(shù)，均有,
所以，
當(dāng)時(shí)，取最大值1，
所以.
因時(shí)，一定成立；時(shí)，不一定成立.
所以“”是“對任意的正整數(shù)，均有”的充分不必要條件.
故選：A
6. 函數(shù)的圖像可看作是把函數(shù)經(jīng)過以下哪種變換得到（）
A. 把函數(shù)向右平移一個(gè)單位
B. 先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個(gè)單位
C. 先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像向左平移一個(gè)單位
D. 先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，然后把所得函數(shù)圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖像的平移變換法則求解即可.
【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到；
選項(xiàng)B：先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱得到，然后向左平移一個(gè)單位得到；
選項(xiàng)C：先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱得到，然后向左平移一個(gè)單位得到；
選項(xiàng)D：先把函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱得到，然后把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變得到；
故選：D
7. 若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足且時(shí)，，則方程的解有（）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)
C. 4個(gè)D. 多于4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得函數(shù)周期為2，問題轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作圖可得．
【詳解】解：由可得函數(shù)的周期為2，
又函數(shù)為偶函數(shù)且當(dāng)，時(shí)，，
故可作出函數(shù)得圖象．
方程的解個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象的交點(diǎn)，
由圖象可得它們有4個(gè)交點(diǎn)，故方程的解個(gè)數(shù)為4.
故選：C．
8. 近年來，踩踏事件時(shí)有發(fā)生，給人們的生命財(cái)產(chǎn)安全造成了巨大損失．在人員密集區(qū)域，人員疏散是控制事故的關(guān)鍵，而能見度x（單位：米）是影響疏散的重要因素．在特定條件下，疏散的影響程度k與能見度x滿足函數(shù)關(guān)系：（是常數(shù)）．如圖記錄了兩次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，b的值是（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. B. C. 0.24D. 0.48
【答案】A
【解析】
【分析】分別代入兩點(diǎn)坐標(biāo)得，，兩式相比得結(jié)合對數(shù)運(yùn)算得，解出值即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，①，
當(dāng)時(shí)，②，
①比②得，
，
故選：A.
9. 已知.若對于，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.
【詳解】解：由題意
在中，對稱軸
函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增
，
∵對于，均有成立
即對于，均有恒成立
在中，對稱軸，
函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增
當(dāng)即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)減
函數(shù)在上單調(diào)減
∴
解得
當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增
函數(shù)在上單調(diào)減
∴
∴
解得
當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)增
函數(shù)在上單調(diào)減
∴
∴
故不符題意，舍去.
當(dāng)即時(shí)
函數(shù)在上單調(diào)增，
函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
∴
解得
當(dāng)即時(shí)
函數(shù)在上單調(diào)增，
函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，
此時(shí)，
∴符合題意
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)增
函數(shù)在上單調(diào)增
∴
此時(shí)
∴符合題意
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強(qiáng)的綜合性.
10. 已知集合，任取中至少有一個(gè)成立，則n的最大值為（）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】可證明集合A的正數(shù)至多有3個(gè)，負(fù)數(shù)至多有3個(gè)，故可判斷n的最大值.
【詳解】不妨設(shè)，若集合A中的正數(shù)個(gè)數(shù)不小于4，取，
可得，取，可得，因此，矛盾．
因此集合A的正數(shù)至多有3個(gè)，同理，集合A中的負(fù)數(shù)至多有3個(gè)．
又考慮，
符合題意，因此n的最大值為7．
故選：C.
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11. 函數(shù)的定義域是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知：，
所以該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
12. 已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且則________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，直接求得與的值，即可求出所求．
【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以,
所以，，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的基本性質(zhì)，以及奇函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
13. 設(shè)函數(shù)則f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．
【答案】 ①. ②. （，）
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)求解函數(shù)值得到第一問；利用分段函數(shù)求解函數(shù)的極值得到b的范圍.
【詳解】解：函數(shù)則f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）．
x≤0時(shí)，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x，對稱軸為：x，開口向下，
函數(shù)的最大值為：f（），x→0時(shí)，f（0）→，
方程f（x）＝b有且僅有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是：（，）．
故答案為；（，）．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用．
14. 已知函數(shù)（且）.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)a，使得有最小值；
②對任意實(shí)數(shù)a（且），都不是R上的減函數(shù)；
③存在實(shí)數(shù)a，使得的值域?yàn)镽；
④若，則存在，使得.
其中所有正確結(jié)論的序號是___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】通過舉反例判斷①.，利用分段函數(shù)的單調(diào)性判斷②③，求出關(guān)于y軸的對稱函數(shù)為，利用與y的圖像在上有交點(diǎn)判斷④.
【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以有最小值0，①正確；
若是R上的減函數(shù)，則，無解，所以②正確；
當(dāng)時(shí)，單減，且當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，而此時(shí)單增，最大值為，所以函數(shù)值域不為R；
當(dāng)時(shí)，單增，單增，若的值域?yàn)镽，則，所以，與矛盾；所以不存在實(shí)數(shù)a，使得的值域?yàn)镽；
由①可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域不為R；當(dāng)時(shí)，單減，最小值為，單增，且，所以函數(shù)值域不為R，綜上③錯(cuò)誤；
又關(guān)于軸的對稱函數(shù)為，若，則，但指數(shù)函數(shù)的增長速度快于函數(shù)的增長速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正確.
故答案為：①②④
15. 為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度與時(shí)間的關(guān)系為，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如下圖所示．
給出下列四個(gè)結(jié)論：
① 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；
② 在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同；
③ 在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；
④ 在,兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.
其中所有正確結(jié)論序號是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
理解平均變化率和瞬時(shí)變換率的意義，結(jié)合圖象，判斷選項(xiàng).
【詳解】①在時(shí)刻，為兩圖象的交點(diǎn)，即此時(shí)甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故①正確；②甲、乙兩人在時(shí)刻的切線的斜率不相等，即兩人的不相同，所以甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，故②不正確；③根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是，故③正確；④在時(shí)間段，甲的平均變化率是，在時(shí)間段，甲的平均變化率是，顯然不相等，故④正確.
故答案為：①③④
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是一道識圖的實(shí)際應(yīng)用問題，判斷的關(guān)鍵是理解兩個(gè)概念，瞬時(shí)變化率和平均變化率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知瞬時(shí)變化率就是在此點(diǎn)處切線的斜率，平均變化率是.
三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 設(shè)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不相等的正數(shù)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在上不具有單調(diào)性，求a的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程直接計(jì)算；
（2）根據(jù)二次方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判別式及函數(shù)值正負(fù)情況直接求解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可得參數(shù)范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
聯(lián)立方程，解得：或，
即交點(diǎn)坐標(biāo)為和.
【小問2詳解】
由有兩個(gè)不相等的正數(shù)零點(diǎn)，
得方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，，
即，解得；
【小問3詳解】
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又函數(shù)在上不具有單調(diào)性，
所以，即.
17 函數(shù)，其中．
（1）若，求的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，即可求解零點(diǎn)，
（2）令得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，令，則，故，
所以的零點(diǎn)為.
【小問2詳解】
令，則，，故，
由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故，
所以的取值范圍為
18. 某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，用于捕撈．已知該船使用中所需的各種費(fèi)用e（單位：萬元）與使用時(shí)間n（，單位：年）之間的函數(shù)關(guān)系式為，該船每年捕撈的總收入為50萬元．
（1）該漁船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有使用費(fèi)用為正值）？
（2）若當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，漁船以30萬元賣出，則該船為漁業(yè)公司帶來的收益是多少萬元？
【答案】（1）該漁船捕撈3年開始盈利；
（2）萬元.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)可得，解一元二次不等式即可確定第幾年開始盈利.
（2）由平均盈利額，應(yīng)用基本不等式求最值注意等號成立條件，進(jìn)而計(jì)算總收益
【小問1詳解】
由題意，漁船捕撈的利潤，解得，
又，，故，
∴該漁船捕撈3年開始盈利.
【小問2詳解】
由題意，平均盈利額，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
∴在第7年平均盈利額達(dá)到最大，總收益為萬元.
19. 已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以?br>設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.
（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，
令，得，令，得，
所以，
不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，
則，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以時(shí)，取得極小值，
也最小值為.
[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法
．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，
令，則．
令，則面積為，只需求出的最小值．
．
因?yàn)?，所以令，得?br>隨著a的變化，的變化情況如下表：
所以．
所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．
所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．
[方法四]：兩次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整體點(diǎn)評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.
20. 已知函數(shù)的最小值為,其中.
(1)求的值;
(2)若對任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
【答案】(1)1；(2).
【解析】
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題中條件即可求出結(jié)果；
（2）先分析時(shí)，取，有，故不合題意；再分析時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論和，即可求出結(jié)果.
【詳解】(1)的定義域?yàn)?
由，得；
由得，
由得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
因此當(dāng)時(shí)，，所有.
（2）當(dāng)時(shí)，取，有，故不合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)
，令得或，
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即有不成立，故不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，從而對任意的，有有成立,故符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，屬于?？碱}型.
21. 設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合A的生成集B；
（2）若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；
（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解.
（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；
（3）不存在，理由反證法說明.
【小問1詳解】
，
【小問2詳解】
設(shè)，不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，
又，，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于7個(gè)，
所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.
【小問3詳解】
不存在，理由如下：
假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，
不妨設(shè)，則集合A的生成集
則必有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積；
也有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾；
所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，解題的關(guān)鍵是理解集合A的生成集的定義，考查學(xué)生的分析解題能力，屬于較難題.
a
0
減
極小值
增

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