北京市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù) 學(xué)
班級______ 姓名_______學(xué)號______ 成績________
一、單選題(每小題4分，共40分)
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義計算即可.
【詳解】因為，，所以.
故選：B.
2. 下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得出.
【詳解】解：由題意得：
A：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)圖像可知其在上單調(diào)遞減，不滿足單調(diào)遞增條件，故A錯誤；
B：是偶函數(shù)，不滿足奇函數(shù)的條件，故B錯誤；
C：是非奇非偶函數(shù)，不滿足奇函數(shù)，故C錯誤；
D：是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件，故D正確.
故選：D．
3. 已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助中間值比較大小即可.
【詳解】解：，，，
所以
故選：B
4. 二項式的展開式中含項的系數(shù)是（）．
A. 6B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.
【詳解】因為二項式的展開式通項為，
令，則，
所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為，
故選：.
5. 是拋物線上一點，是拋物線的焦點，則（）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】將點代入，可得，即可求出準線方程，根據(jù)拋物線定義，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，即可求得
【詳解】解：因為是拋物線上一點，
所以，
則拋物線的準線方程為，
由拋物線的定義可知，，
故選：A.
6. 函數(shù)的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡可得，結(jié)合以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得原函數(shù)的最大值.
【詳解】因為，，
故當時，函數(shù)取最大值，且.
故選：A.
7. 在中，“對于任意，”是“為直角三角形”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的運算可得，從而可得；若為直角三角形，不一定有，根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以即為，
所以是邊上的高，即,即,
故為直角三角形.
若為直角三角形，不一定有，故不一定有.
所以“對于任意，”是“為直角三角形”的充分而不必要條件.
故選:A.
8. 已知直線與圓，則下列說法錯誤的是（）
A. 對，直線恒過一定點
B. ，使直線與圓相切
C. 對，直線與圓一定相交
D. 直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出直線過定點，則可判斷A，求出圓心，，則，根據(jù)點在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故可判斷B,C，對D選項，分析出時弦長最短，則，代入數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】直線，即，
令，解得，即直線恒過定點，故A正確；
圓，即圓，圓心，半徑，
則，即點在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故B錯誤，故C正確，
當時直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短，最短弦長，故D正確，
故選：B.
9. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，，，若對于任意的，總有恒成立，則（）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得等差數(shù)列的通項公式，從而得到數(shù)列前項都是負數(shù)，從而得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由性質(zhì)知，則，且，
則，
令，得，即前項都是負數(shù)，
所以最小，所以.
故選:D
10. 在棱長為1的正方體中，，是線段（含端點）上的一動點，則：①；②當為線段的中點時，取最小值；③三棱錐體積的最大值是最小值的倍；④與所成角的范圍是.上述命題中正確的個數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷①；判斷的形狀判斷②；利用線面平行結(jié)合等體積法判斷③；作出與所成的角，求出范圍作答.
【詳解】在棱長為1的正方體中，，是線段上的動點，
命題①，平面，平面，，正方形中，，
平面，，因此平面，而平面，則，
同理，又，平面，有平面，平面，則，①正確；
命題②，在正三角形中，是中點，連，如圖，，，為中點，
在中，與不垂直，不是最小值，②錯誤；
命題③，正方體對角面是矩形，即，又平面，平面，
則平面，點到平面的距離為定值，面積為定值，而，
則三棱錐體積為定值，③錯誤；
命題④，連接與相交于點，連接，則為與中點，
而為中點，則，因此與所成的角等于，
在中，，，而，則，
于是當在點時，有最大值，當與重合時，有最小值0，
所以與所成角的取值范圍為，④正確，
綜上所述，正確命題的個數(shù)為2.
故選：B
【點睛】思路點睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，借助等體積法求解問題．
二、填空題(每小題5分，共25分)
11. 設(shè)復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則______.
【答案】
【解析】
【分析】化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以.
故答案為：.
12. 已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則______．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得.
【詳解】解：等比數(shù)列的前項和為，且，
∴，
∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．
在中，
令，可得，∴，則．
故答案為：8．
13. 雙曲線C：的漸近線與直線交于A，B兩點，且，那么雙曲線C的離心率為____.
【答案】
【解析】
【分析】由題可得，然后根據(jù)離心率公式結(jié)合條件即得.
【詳解】由雙曲線的方程可得，且漸近線的方程為：，
與聯(lián)立可得，所以，
由題意可得，解得，又，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
14. 設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個零點，則a的取值范圍是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有三個不同交點，分作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】,
若函數(shù)有且僅有3個零點,則函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
，當且僅當時等號成立，
當時，如圖：

即可，
解得，
當時, 如圖：

即可，
解得，
綜上，
故答案為：
15. 如圖所示是某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間t（月）的關(guān)系：，有以下敘述：
①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；
②第5個月時，浮萍蔓延的面積就會超過；
③浮萍從蔓延到需要經(jīng)過1.5個月；
④浮萍每個月增加的面積都相等；
⑤若浮萍蔓延到、、所經(jīng)過的時間分別為、、，則．
其中正確的是______（填序號）．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】由已知，選項①可將圖像上的點帶入給的函數(shù)關(guān)系中求解即可；選項②，利用求解出的函數(shù)解析式，令求解出浮萍蔓延的面積即可做出判斷；選項③，分別求出浮萍和浮萍所對應(yīng)的時間，然后作差與1.5比較大小即可；選項④，分別算出從第一個月開始，每個月增加的面積，通過比較即可做出判斷；選項⑤，分別求解出萍蔓延到、、所經(jīng)過的時間分別為、、，然后驗證是否滿足即可.
【詳解】由題意，函數(shù)圖像滿足的關(guān)系，有圖像可知，當時，，
所以，解得，當時，，滿足，
當時，，滿足，故，選項①正確；
當時，，故浮萍蔓延的面積就會超過，選項②正確；
由題意，，所以，，所以，所以增加的時間為
，而，所以，故選項③錯誤；
由題意可知，當時，；當時，；當時，；
當時，；當時，，
所以從第一個開始，每個月增加的面積分別為、、、，
所以增加的面積不相等，故選項④錯誤；
由題意，，所以，，
所以，，所以，
所以，故選項⑤正確.
故答案為：①②⑤
三、解答題(第16-19，21題14分，第20題15分，共85分)
16. 如圖，在銳角中，，，，點在邊的延長線上，且.
（1）求；
（2）求的周長.
【答案】（1）；
（2）30.
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，從而可求周長.
【小問1詳解】
在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因為是銳角三角形，所以 .
【小問2詳解】
由（1）得，所以
在中，，，，
所以.
所以的周長為.
17. 如圖，在三棱柱中，D，E，G分別為的中點，與平面交于點F，，，．
（1）求證：F為的中點；
（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線FG與平面BCD所成角的正弦值．
條件①：平面平面；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理可證得，即可證明；
（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標系，求出各點坐標，利用方程組解得平面一個法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量計算即可.
【小問1詳解】
由三棱柱的性質(zhì)知，，平面，平面，
所以平面，又因為平面，
平面平面，
所以，因為E為的中點，所以F為的中點.
【小問2詳解】
選條件①，因為平面平面，平面平，
又因為，E為的中點，所以，
所以平面，又因為平面，所以，
又因為，，
平面，所以平面，
如圖建立空間直角坐稱系.
由題意得，
.
設(shè)平面法向量，
,
，則，
平面BCD的法向量，
又,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則，
所以直線FG與平面BCD所成角的正弦值為.
選條件②，因為，，，
則，所以，又因為，
，平面，所以平面，
因為，E為的中點，所以，
如圖建立空間直角坐稱系.
由題意得，
.
設(shè)平面的法向量，
,
，則，
平面BCD的法向量，
又,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則，
所以直線FG與平面BCD所成角的正弦值為.
18. 第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月20日在北京圓滿閉幕，這是一次創(chuàng)造諸多“第一”的盛會．某學(xué)校為了了解學(xué)生收看北京冬奧會的情況，隨機調(diào)查了100名學(xué)生，獲得他們?nèi)站湛幢本┒瑠W會的時長數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．
（1）試估計該校學(xué)生日均收看北京冬奧會的時長的平均值；
（2）以頻率估計概率，從全校學(xué)生中隨機抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奧會的時長在的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）經(jīng)過進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這100名學(xué)生收看北京冬奧會的方式有：①收看新聞或收看比賽集錦，②收看比賽轉(zhuǎn)播或到現(xiàn)場觀看．他們通過這兩種方式收看的日均時長與其日均收看北京冬奧會的時長的比值如下表：
日均收看北京冬奧會的時長在的學(xué)生通過方式①收看的平均時長分別記為，寫出的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）1.875小時
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.9
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可；
（2）可得的可能取值且，求出取不同值的概率即可得出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（3）分別計出即可比較.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，估計該校學(xué)生日均收看北京冬奧會的時長的平均值為：
小時；
【小問2詳解】
由條件可知，從全校學(xué)生中隨機抽取1人，其日均收看北京冬奧會的時長在的概率估計為，
的可能取值為，且，
則，，
，，
的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望；
【小問3詳解】
小時，
因為的人數(shù)之比為，所以小時，
因為的人數(shù)之比為，
所以小時，
所以.
19. 橢圓，直線經(jīng)過橢圓C的一個焦點與其相交于點M，N，且點在橢圓C上.
（1）求橢圓C方程；
（2）若線段MN的垂直平分線與x軸相交于點P，問：在x軸上是否存在一個定點Q，使得為定值？若存在，求出點Q的坐標和的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點在軸上和直線經(jīng)過橢圓的一個焦點得到為橢圓的焦點，即，根據(jù)在橢圓上得到，再結(jié)合得到，即可得到橢圓的方程；
（2）當時，聯(lián)立直線和橢圓方程，然后利用韋達定理得到中點坐標和弦長，然后根據(jù)垂直平分得到點坐標，即可得到，然后根據(jù)為定值列方程，解方程得到，再說明時也是定值即可得到在軸上存在定點，使得為定值.
【小問1詳解】
因為直線經(jīng)過橢圓的一個焦點，所以為橢圓的焦點，即，因為在橢圓上，所以，又，聯(lián)立方程可得，，所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，
當時，聯(lián)立得，所以，，，中點為，
，
線段得中垂線方程為，令，解得，所以，
所以，令，解得，此時；
當，時，聯(lián)立得，所以，,，此時，
所以在軸上存在定點，使得為定值，定值為.
【點睛】型式子為定值求參數(shù)的方法：
①讓分子分母對應(yīng)項系數(shù)比值相等，例如：為定值，則，解方程即可；
②設(shè)，然后根據(jù)定值與變量無關(guān)列方程，例如：為定值，設(shè)，整理得，定值與變量無關(guān)，所以.
20. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，證明：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；
（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）證明見解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；
（2）令，求導(dǎo)后可知，由此確定在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得結(jié)論；
（3），將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；求導(dǎo)后，分析可知當時，單調(diào)遞增；當時，利用零點存在定理可說明在上單調(diào)遞減，由此可得，知不合題意；當時，可得，知單調(diào)遞增，滿足題意；當時，采用放縮法得，結(jié)合時的結(jié)論可知其滿足題意；綜合三種情況可得結(jié)果.
【小問1詳解】
當時，，則，
，又，
在點處的切線方程為：，即.
【小問2詳解】
當時，令，則；
當時，，，即，
在上單調(diào)遞增，又，，
在上有唯一零點，即在上有且僅有一個零點.
【小問3詳解】
令，
則對任意，恒成立；又，
令，則；
當時，若，則，，，
在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；
①當時，，，
，使得，且當時，，
在上單調(diào)遞減，此時，不合題意；
②當時，；
當時，，則在上單調(diào)遞增，
恒成立，滿足題意；
③當時，，
由②知：對任意，，滿足題意；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切線方程、函數(shù)零點個數(shù)問題、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論問題，進而由單調(diào)性和函數(shù)最值確定滿足題意的參數(shù)范圍.
21. 若無窮數(shù)列{}滿足如下兩個條件，則稱{}為無界數(shù)列：
①（n=1，2，）
②對任意的正數(shù)，都存在正整數(shù)N，使得n>N，都有.
（1）若，（n=1，2，），判斷數(shù)列{}，{}是否是無界數(shù)列；
（2）若，是否存在正整數(shù)k，使得對于一切，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在說明理由；
（3）若數(shù)列{}是單調(diào)遞增的無界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得.
【答案】（1）{}是無界數(shù)列；{}不是無界數(shù)列.
（2）存在，
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對任意的正整數(shù)，取為大于的一個偶數(shù)，有，符合無界數(shù)列的定義；取，顯然，不符合無界數(shù)列的定義.
（2）討論，，都不成立，當時，將變形為：，從而求得k的范圍.
（3）觀察要證的不等式結(jié)構(gòu)與（2）相似，故應(yīng)用（2）變形后，再由{}是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列證明.
【小問1詳解】
{}是無界數(shù)列，理由如下：
對任意的正整數(shù)，取為大于的一個偶數(shù)，有，所以{}是無界數(shù)列.
{}不是無界數(shù)列，理由如下：
取，顯然，不存在正整數(shù)，滿足，所以{}不是無界數(shù)列.
【小問2詳解】
存在滿足題意的正整數(shù)k，且.
當時，，不成立.
當時，，不成立
當時，，不成立
當時，將變形為：
.
即取，對于一切，有成立.
【小問3詳解】
因為數(shù)列{}是單調(diào)遞增的無界數(shù)列，所以，
所以
.
即
因為{}是無界數(shù)列，取，由定義知存在正整數(shù)，使所以.
由定義可知{}是無窮數(shù)列，考察數(shù)列，，…，顯然這仍是一個單調(diào)遞增的無界數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)，使得
.
故存在正整數(shù)，使得
.
故存在正整數(shù)，使得成立
日均收看北京冬奧會的時長/小時
通過方式①收看
通過方式②收看
1
0
0
1
2
3
0. 343
0.441
0.189
0.027

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