第二十二章二次函數(shù)（B卷·學霸加練卷，難度★★★★★）-【單元測試】九年級數(shù)學上冊分層訓練AB卷（人教版）（解析+原卷）-試卷下載-教習網(wǎng)

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第二十二章二次函數(shù)（學霸加練卷）
（時間：60分鐘，滿分：100分）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2022?泉港區(qū)模擬）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過不同的六點、、、、，、，則、、的大小關系是　　
A． B． C． D．
【分析】由解析式可知拋物線開口向上，點、、求得拋物線對稱軸所處的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷可得．
【解答】解：由二次函數(shù)可知，拋物線開口向上，
、、、
點關于對稱軸的對稱點在5與6之間，
對稱軸的取值范圍為，
，
點到對稱軸的距離小于，點到對稱軸的距離大于，
，
故選：．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到拋物線的對稱軸和開口方向是解題的關鍵．
2．（3分）（2022?威縣校級模擬）已知拋物線與直線．甲、乙、丙針對的不同取值，得到以下結論，下列判斷正確的是　　
甲：若，則直線與拋物線有1個交點；
乙：若，則直線與拋物線有1個交點；
丙：若，則直線與拋物線有2個交點．
A．乙錯，丙對 B．甲錯，丙對 C．乙對，丙錯 D．甲和乙都錯
【分析】由的值確定直線的具體解析式，再由，一元二次方程根的情況即為交點情況．
【解答】解：甲：時，，
，即，
△，
直線與拋物線無交點；
故甲不符合題意；
乙：時，，
，
解得，
直線與拋物線有1個交點為，
故乙符合題意；
丙：時，，
，
解得或，
直線與拋物線有2個交點，
故丙符合題意；
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，準確計算是解題的關鍵．
3．（3分）（2022?松桃縣模擬）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點，若，是關于的一元二次方程的兩根，則下列結論中正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為拋物線和直線的交點，結合圖象得出結論．
【解答】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點，
，是關于的一元二次方程的兩根，
，是二次函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標，
如圖所示：

由圖象可得，，
故選：．
【點評】本題考查拋物線與軸的交點，關鍵是把方程的根轉(zhuǎn)化為拋物線和直線的交點．
4．（3分）（2022?泰安三模）二次函數(shù)，，為常數(shù)，中，與的部分對應值如表：

0
1
2
4

0.5
1
0.5

有下列結論：
①函數(shù)有最大值，且最大值為1；
②；
③若滿足，則或；
④若方程有兩個不等的實數(shù)根則；
其中正確結論的個數(shù)是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)即可判斷；②根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，，的值；③先求出函數(shù)解析式，在令，解出一元二次方程的根即可判斷；④由△即可求出的取值范圍．
【解答】解：①由表格給出的數(shù)據(jù)可知時，函數(shù)有最大值，且最大值為1，故此結論正確；
②把，；，；，代入，
得，
解得：，
故此結論正確；
③由②知，拋物線解析式為，
令，則，
解得：，，
，，
若滿足，則或，故本結論正確；
④方程兩個不等的實數(shù)根，
△，
解得：，
故此結論錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法得出二次函數(shù)的解析式是解題關鍵，同時利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式的關系．
5．（3分）（2022?孝南區(qū)三模）已知：二次函數(shù)，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)，當直線與新圖象有2個交點時，的取值范圍是　　
A． B．或 C．或 D．
【分析】如圖所示，直線、在圖示位置時，直線與新圖象有3個交點，即可求解；當直線在如圖所示的中間位置時圖象有四個交點，綜上即可得到答案．
【解答】解：如圖所示，直線與軸重合或位于頂點的下方時，直線與新圖象有2個交點，
當與軸重合時，；
當直線不與軸重合時，由得到頂點，，此時．
綜上所述，的取值范圍是或．
故選：．

【點評】本題考查的是拋物線與軸的交點，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點所代表的意義、圖象上點的坐標特征等．
6．（3分）（2022春?九龍坡區(qū)期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結論①；②；③；④，其中正確的是　　

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，逐項判斷即可．
【解答】解：拋物線開口向下，
，
對稱軸是直線，
，即，
，
拋物線與軸交點在正半軸，
，
，故①正確；
由圖象可知，時，
，
，故②錯誤；
，，
，
，故③正確，
時，是函數(shù)的最大值，
，
，
，
故④正確，
正確的有①③④，
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
7．（3分）（2022?來安縣二模）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為　　
A．10 B．22 C．34 D．142
【分析】化簡代數(shù)式，利用二次函數(shù)的最值求解即可．
【解答】解：，
，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，函數(shù)有最大值，最大值為34，
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．
8．（3分）（2022?紅花崗區(qū)三模）已知二次函數(shù)下列結論正確是　　
①已知點，點在二次函數(shù)的圖象上，則；
②該圖象一定過定點和；
③直線與拋物線一定存在兩個交點；
④當時，的最小值是，則；
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得到該二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷題目中各選項是否正確．
【解答】解：二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，所以點關于對稱軸的對稱點為，
，在對稱軸右邊，隨的增加而增加，
，
，故①錯誤；
當時，，
，
解得，或，
該圖像一定經(jīng)過定點，，故②正確；
由題意可得方程：，
整理可得：，
△，
直線與拋物線一定存在兩個交點，故③正確；
當時，隨的增加而減少，
當時，有最小值為，
即，
解得，故④錯誤；
綜上，正確的選項有②③，
故選．
【點評】本題考察二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，二次函數(shù)與語言二次方程．二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關鍵．
9．（3分）（2022?新華區(qū)校級一模）如圖，拋物線為常數(shù)且與軸交于點，過點作軸的垂線，與交于點，點是的頂點．則下列說法；
①當時，射線經(jīng)過線段的一個端點；
②當時，射線經(jīng)過線段的一個四等分點；
③當時，射線會經(jīng)過線段的中點；
④當時，射線會經(jīng)過線段的一個四等分點．
其中錯誤的是　　

A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】由求出，，分別求出的中點為，線段的四等分點坐標為，，，，，頂點，直線的解析式為，再結合選項進行判斷即可．
【解答】解：①當時，，
對稱軸為直線，
，
令，則，
，
軸，
，
設直線的解析式為，
，
，
當時，，
點在直線上，
射線經(jīng)過線段的一個端點；
故①不符合題意；
②當時，，
，，
可求直線的解析式為，
當時，，
解得，
直線上有一點，，
令，則，
解得或，
，
，
線段的四等分點坐標為，，，，，
射線經(jīng)過線段的一個四等分點；
故②不符合題意；
③與軸的交點，
令，則，
解得或，
，
的中點為，
的頂點為，
直線的解析式為，
將點代入，
，
，
不存在，
故③符合題意；
④線段的四等分點坐標為，，，，，
直線的解析式為，
將點，代入，可得；
將點代入，可得；
將點，代入，可得；
，
射線不會經(jīng)過線段的一個四等分點，
故④符合題意；
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式是解題的關鍵．
10．（3分）（2022?泰安二模）如圖，拋物線的對稱軸為，經(jīng)過點，下列結論：
①；②；③；④點，，，在拋物線上，當時，；⑤為任意實數(shù)，都有．其中正確結論有　　

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷．
【解答】解：拋物線開口向上，與軸交于負半軸，
，，
拋物線的對稱軸為：，
，
，
①正確，②正確；
拋物線過點．
，
，
，
，
③正確．
拋物線開口向上，對稱軸是直線，
當時，隨的增大而增大，
④錯誤；
拋物線開口向上，對稱軸為，
當時，函數(shù)有最小值，
對任意實數(shù)，當時的函數(shù)值不小于時的函數(shù)值，
，即，
，
⑤正確，
正確結論有①②③⑤，共4個，
故選：．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關鍵．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11．（3分）（2022?沂源縣二模）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和．將拋物線在、之間的部分記為圖象（含、兩點）．將圖象沿直線翻折，得到圖象．若過點的直線與圖象、圖象都相交，且只有兩個交點，則的取值范圍　或?。?br /> 【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，由圖象直接回答問題．
【解答】解：設點關于的對稱點為，則點．
若直線經(jīng)過點和，可得．
若直線經(jīng)過點和，可得．
直線平行軸時，．

綜上，或．
故答案為：或．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．解題時，注意數(shù)形結合，使抽象的問題變得具體化，降低解題的難度．
12．（3分）（2022?雙陽區(qū)一模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點，，，連接，將線段向上平移落在處，且恰好經(jīng)過這個拋物線的頂點，則四邊形的周長為　?。?br />
【分析】先利用交點式得到拋物線解析式為，則利用配方法得到頂點的坐標為，再確定，則可根據(jù)勾股定理計算出，利用待定系數(shù)法確定直線的解析式為，接著根據(jù)平移的性質(zhì)可判斷四邊形為平行四邊形，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式得到，然后利用四邊形的周長進行計算即可．
【解答】解：拋物線與軸交于和，
拋物線解析式為，
即；
，
頂點的坐標為，
當時，，則，
，
設直線的解析式為，
把，分別代入得，
解得，
直線的解析式為，
線段向上平移得到，
，，
四邊形為平行四邊形，
設直線的解析式為，
把代入得，
解得，
直線的解析式為，
當時，，則，
，
四邊形的周長．
故答案為：．
【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
13．（3分）（2022?梁子湖區(qū)二模）如圖，正方形的邊長為8，是邊上一動點（與，不重合），連接．是延長線上一點，過點作的垂線交的平分線于點，則面積的最大值是　8　．

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明出，設，則，再利用同角的余角相等，判斷出，進而得出，得出，然后求出，再根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：作于，
四邊形是正方形，
，
是的角平分線，
，
，
，
，
設，則，
，
四邊形是正方形，，
，
，，
，
，
；
，
，
，
，
，
當時，．
故答案為：8．

【點評】主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式以及二次函數(shù)求最值，判斷出是解本題的關鍵．
14．（3分）（2022?長春模擬）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點、、的坐標分別為、、．若拋物線的圖象與正方形有公共點，則的取值范圍是　?。?br />
【分析】求出拋物線經(jīng)過兩個特殊點時的的值即可解決問題．
【解答】解：正方形的頂點、、的坐標分別為、、．
，
當拋物線經(jīng)過點時，則，
當拋物線經(jīng)過時，，
觀察圖象可知，
故答案為：．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
15．（3分）（2022?江岸區(qū)校級模擬）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③若，則；④，其中正確的序號是　②③④?。?br />
【分析】根據(jù)函數(shù)的開口方向以及對稱軸的位置、與軸的交點即可判斷①④，根據(jù)對稱軸得出，時，，即可得出，即可判斷②；根據(jù)根與系數(shù)的關系即可判斷③．
【解答】解：拋物線開口向上，對稱軸在軸的右側(cè)，交軸的正半軸，
，，．
．故①錯誤；
對稱軸，又，則，則，
當時，，
，故②正確；
設拋物線與軸的兩個交點的橫坐標是和，，則，
，
，故③正確；
，
，
，
，．
，
，故④正確；
故答案是：②③④．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)，①二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。敃r，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口．②一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置．當與同號時（即，對稱軸在軸左；當與異號時（即，對稱軸在軸右．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于．
16．（3分）（2022春?西湖區(qū)校級期末）已知函數(shù)在上有最大值4，則常數(shù)的值為　或　．
【分析】分兩種情況：和分別求的最大值即可
【解答】解：．
當時，
當時，有最大值，
，
；
當時，
當時，有最大值，
，
，
綜上所述：的值為或．
故答案是：或．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題時，注意要分類討論，以防漏解．
17．（3分）（2022?貴港）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．對于下列結論：①；②；③；④（其中；⑤若，和，均在該函數(shù)圖象上，且，則．其中正確結論的個數(shù)共有　3　個．

【分析】根據(jù)拋物線與軸的一個交點以及其對稱軸，求出拋物線與軸的另一個交點，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得，進而可得，，再結合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐條判斷即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸的一個交點坐標為，
拋物線與軸的另一個坐標為，
把，，代入，可得：
，
解得，
，故③正確；
拋物線開口方向向下，
，
，，
，故①錯誤；
拋物線與軸兩個交點，
當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，故②正確；
，
，
，
又，，
，
即（其中，故④正確；
拋物線的對稱軸為直線，且拋物線開口朝下，
可知二次函數(shù)，在時，隨的增大而減小，
，
，故⑤錯誤，
正確的有②③④，共3個，
故答案為：3．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關系等知識，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想解題是關鍵．
18．（3分）（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點是直線上一動點，以點為頂點的拋物線交軸于點，作點關于軸的對稱點，連接、．若是直角三角形，則點的坐標為　，，，或，?。?br />
【分析】分別求出，的坐標，再求，的值即可．
【解答】解：拋物線的頂點，
當時，，
，，
當是直角三角形時，可能或，
當時，
關于軸的對稱點是，
，
，
①，
在直線上，
，代入①得：
，
解得（舍去）或或，
當時，，
當時，，
，或，．
當時，
，
，
（舍去）或，
，
，．
故答案為：，，，或，．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，找到，坐標，判斷直角頂點是求解本題的關鍵．
三．解答題（共6小題，滿分46分）
19．（6分）（2022?柯城區(qū)校級三模）如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系．軸是拋物線的對稱軸，最高點到地面距離為4米．
（1）求出拋物線的解析式．
（2）在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？
（3）如果該隧道內(nèi)設單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結論．

【分析】（1）拋物線的解析式為，根據(jù)點的坐標由待定系數(shù)法就可以求出結論；
（2）當時代入（1）的解析式，求出的值即可求出結論；
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，，，
設拋物線的解析式為，
把代入得：，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）在中，令得：
，
解得，
距離地面米高處，隧道的寬度是；
（3）這輛貨運卡車能通過該隧道，理由如下：
在中，令得：
，
解得，
，
，
這輛貨運卡車能通過該隧道．
【點評】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，由函數(shù)值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關鍵．
20．（6分）（2022?江都區(qū)二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“梅嶺點”．
（1）若點P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的“梅嶺點”，則m＝　﹣1??；
若點P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，則m＝　3或﹣1　；
（2）若點P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點”，求這個二次函數(shù)的表達式；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點（0，2），且圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，請直接寫出k的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“梅嶺點“的定義，P（3．p）的橫縱坐標相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的橫縱坐標相等，即m＝，分別求解即得答案；
（2）由題意得：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點為P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）2＝0，對比兩個方程的系數(shù)，即可求出b，c，進而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅嶺點'的定義證明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2＝，x1?x2＝，進而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1計算出a的取值范
圍，即可求出k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵點P（3，p）是一次函數(shù)y＝mx+6的圖象上的梅嶺點，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵點P（m，m）是函數(shù)的圖象上的“梅嶺點”，
∴m＝，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
經(jīng)檢驗，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案為：﹣1；3或﹣1；
（2）點P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“梅嶺點”，
即拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x的唯一交點為P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根為：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可寫為（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1?x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，
∴．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，不等式性質(zhì)等知識點，熟練掌握根與系數(shù)關系，理解應用新定義“梅嶺點”是解題的關鍵．
21．（8分）（2022?沂源縣二模）已知拋物線的頂點為，與軸的交點為．
（1）請直接寫出的解析式；
（2）若直線與僅有唯一的交點，求的值；
（3）若拋物線關于軸對稱的拋物線記作，平行于軸的直線記作．試結合圖形回答：當為何值時，與和共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點．

【分析】（1）設拋物線的解析式為，把代入，通過解方程求得的值即可；
（2）解方程組得到，由于直線與僅有唯一的交點，于是得到△，解方程即可求得的值；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到拋物線的解析式為：，根據(jù)圖象即可得到結論．
【解答】解：（1）拋物線的頂點為，
設拋物線的解析式為，
把代入得，
，
拋物線的解析式為：，即；
（2）由，得，
直線與僅有唯一的交點，
△，
；
（3）拋物線關于軸對稱的拋物線記作，
拋物線的頂點坐標為，與軸的交點為，
拋物線的解析式為，
①當直線過拋物線的頂點和拋物線記作的頂點時，
即時，與和共有兩個交點；
②當直線過時，即時，與和共有三個交點；
③當或時，與和共有四個交點．
【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
22．（8分）（2022?大方縣模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線經(jīng)過點，，點是拋物線上的動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．
（1）求拋物線的解析式及點的坐標；
（2）當點位于直線上方且面積最大時，求的坐標；
（3）若點是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）把代入，先求出的值，再求出的坐標，將點、代入解析式，求解即可；
（2）設，則，用含的代數(shù)式表示出，可得，利用二次函數(shù)求最值求解即可；
（3）分類討論，當點在軸右側(cè)時，當點在軸左側(cè)時，有菱形的性質(zhì)可得，，求出的解析式為，設，再根據(jù)，建立關于的方程，求解即可．
【解答】解：（1）把代入得，解得，
直線的解析式為．
令，則，
．
把點，代入拋物線的解析式，
得，
解得．
拋物線的解析式為．
令，解得，，
；
（2）設，則，
，
，
．
，
當時，的面積最大，此時；
（3）存在，理由如下：
當點在軸右側(cè)時，四邊形為菱形，
，，
設的解析式為，
把坐標代入，得，
，
的解析式為，
設，
，
，
解得或（舍，
；

當點在軸左側(cè)時，同理可得，；

綜上，，．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力．解題關鍵是要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
23．（8分）（2022?政和縣模擬）已知拋物線過點，，直線與拋物線的另一個交點為，交軸正半軸于點，且面積為．
（1）求此拋物線解析式；
（2）求點的坐標；
（3）過點的任意一條直線與拋物線交于，兩點，過點作軸于點，
①求證：平分；
②求證：，，三點共線．
【分析】（1）將點，代入，即可求解；
（2）設，求出的直線解析式，從而求出點坐標，再由三角形的面積列出方程，求出即可求解；
（3）①由（2）可知，點的坐標為，設，即可得：，則，故，由，可得，即可證得平分；
②設直線的解析式為，聯(lián)立方程組，求出，，在求出直線的解析式為，聯(lián)立方程組為，求出，，再將點坐標代入直線中，從而確定點在直線上，即可證明．
【解答】（1）解：將點，代入，
，
，
；
（2）解：設，
設直線的解析式為，
，
，
，
，
，
面積為，
，
或，
點在軸正半軸，
，
，
，
點的坐標為；
（3）證明：①由（2）可知，點的坐標為．
設，
則，，
，
，
，連接，
，
，
平分；

②設直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
，
，
，
，
，，
設直線的解析式為：，
，
，
直線的解析式為：，
聯(lián)立方程組，
，
，
，
，
，
，，
將代入，得，
點在直線上，
、、三點共線．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練應用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求直線與拋物線的交點坐標，準確計算是解題的關鍵．
24．（10分）（2022?南崗區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線分別交軸、軸于、、三點，連接、，的面積為．
（1）求的值；
（2）點在第四象限內(nèi)拋物線上，其橫坐標為，連接、，設的面積為，求與的函數(shù)關系式；（不需要寫出的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，點在線段上且點坐標為，連接，將射線沿翻折與軸交于點，，點在的平分線上，連接并延長交線段于點，，點到軸的距離等于，過點作軸且與過點的直線交于點，連接交線段于點，若，，求直線的解析式．

【分析】（1）求得，設，，從而，即：，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，進一步求得的值；
（2）作于，交于，可得，進而求得直線的解析式為：，從而得出和的坐標，進而表示出與的關系式；
（3）作，交于，連接，作于，在上截取，作于，作于，作于，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)知，可得出四邊形是正方形，可得出，從而得出，根據(jù)，從而求得，進一步求得結果．
【解答】解：（1）由題意得，，
，
，
設，，
，
，
令，，
，，
，
；
（2）如圖1，

作于，交于，
，
，
由，
，，
，
，
直線的解析式為：，
當時，，，
，
；
（3）如圖2，

作，交于，連接，作于，
平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四邊形是正方形，
在上截取，作于，作于，
，，
，
平分，
，
，
，
軸，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
到軸距離，
，
，
，
，
，
，，
作于，
設，
，
，
設，
，
，
，
，
，
將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)知，
，，，
，
，
，
，，
設，則，，
在中，
，
，
，
，
，
，
設的解析式為：，
，
，
．
【點評】本題以二次函數(shù)為背景，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“半角”的模型．

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