第二十一章一元二次方程單元過關(guān)檢測02-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊同步考點知識清單＋例題講解＋課后練習(xí)（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2022—2023學(xué)年九年級上學(xué)期第一單元過關(guān)檢測（2）
一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號涂黑）
1．（4分）下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②3x（x﹣4）＝0；③x2+y﹣3＝0；④y2+x＝2；⑤x3﹣3x+8＝0；⑥x2﹣5x+7＝0．其中是一元二次方程的有（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．
【解答】解：①當(dāng)a＝0時，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；
②3x（x﹣4）＝0是一元二次方程；
③x2+y﹣3＝0不是一元二次方程；
④y2+x＝2是二元二次方程；
⑤x3﹣3x+8＝0是一元三次方程；
⑥x2﹣5x+7＝0是一元二次方程．
所以是一元二次方程的有2個．
故選：A．
2．（4分）把方程x2﹣6x﹣1＝0轉(zhuǎn)化成（x+m）2＝n的形式，則m、n的值是（　?。?br /> A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
則x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10，
∴m＝﹣3，n＝10，
故選：D．
3．（4分）在解一元二次方程x2+p x+q＝0時，童威看錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是﹣3、﹣1，胖何看錯了一次項系數(shù)p，得到方程的兩個根是5、﹣4，則原來的方程是（　?。?br /> A．x2+4x﹣3＝0 B．x2+4x﹣20＝0 C．x2﹣4x﹣20＝0 D．x2﹣4x﹣3＝0
【分析】先設(shè)這個方程的兩根是α、β，根據(jù)兩個根是﹣3，1和兩個根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣4，αβ＝q＝﹣20，從而得出符合題意的方程．
【解答】解：設(shè)此方程的兩個根是α、β，
根據(jù)題意得：α+β＝﹣p＝﹣4，αβ＝q＝﹣20，
則以α、β為根的一元二次方程是x2+4x﹣20＝0．
故選：B．
4．（4分）關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．兩個正根 B．兩個負(fù)根
C．一個正根，一個負(fù)根 D．無實數(shù)根
【分析】將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，由根的判別式Δ＝9+4p2＞0，可得出原方程有兩個不相等的實數(shù)根，再結(jié)合＝﹣2﹣p2＜0，可得出原方程有一個正根，一個負(fù)根．
【解答】解：將原方程化簡成一般形式得x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2﹣p2，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p2）＝9+4p2．
∵p2≥0，
∴9+4p2＞0，即Δ＞0，
∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．
又∵＝﹣2﹣p2＜0，
∴原方程有一個正根，一個負(fù)根．
故選：C．
5．（4分）對于實數(shù)p，q，我們用符號min{p，q}表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如min{1，2}＝1，min{﹣，﹣}＝﹣；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，則x為（　?。?br /> A．0或2 B．1或﹣1 C．1或2 D．﹣1或2
【分析】利用題中的新定義化簡已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：當(dāng)（x﹣1）2＜x2，即x＞時，方程為（x﹣1）2＝1，
開方得：x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1，
解得：x＝0（舍去）或x＝2；
當(dāng)（x﹣1）2＞x2，即x時，方程為x2＝1，
開方得：x＝﹣1或x＝1（舍去），
綜上，x＝﹣1或2，
故選：D．
6．（4分）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神，隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，據(jù)統(tǒng)計，該店2021年第四季度的“冰墩墩”總銷售額為9.93萬件，其中10月的銷量為3萬件，設(shè)11，12月份的平均增長率為x，則可列方程為（　?。?br /> A．3（1+x）2＝9.93
B．3+3（1+x）2＝9.93
C．3+3x+3（1+x）2＝9.93
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93
【分析】利用“2021年12月的銷量＝2021年10月的銷量×（1+月平均增長率）2，2021年11月的銷量＝2021年10月的銷量×（1+月平均增長率）”、“該店2021年第四季度的“冰墩墩”總銷售額為9.93萬件”列出方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得3+3（1+x）+3（1+x）2＝9.93．
故選：D．
7．（4分）排列：從n個不同元素中任取m個按照一定的順序排成一列，叫作從n個元素中取出m個元素的一個排列．所有不同排列的個數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，一般我們記作，則＝n（n﹣1）…×（n﹣m+1）．例如＝4×3＝12．如果＝20；求x的值（　?。?br /> A．x1＝5 x2＝4 B．x1＝﹣5 x2＝4
C．x1＝5 x2＝﹣4 D．x1＝﹣5 x2＝﹣4
【分析】先根據(jù)新定義得到x（x﹣1）＝20，再把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵＝20，
∴x（x﹣1）＝20，
∴x2﹣x﹣20＝0，
（x﹣5）（x+4）＝0，
x﹣5＝0或x+4＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣4．
故選：C．
8．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為2022，則方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根為（　?。?br /> A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【分析】對于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，設(shè)t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0有一個根為t＝2022得到x+1＝2022，從而可判斷一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根為x＝2021．
【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
對于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
設(shè)t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一個根為t＝2022，
則x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根為x＝2021．
故選：D．
9．（4分）甲、乙、丙三人共同探究代數(shù)式﹣2x2+4x+2的情況，三人的說法如下：
甲：只有當(dāng)x＝0時，代數(shù)式﹣2x2+4x+2的值為2；
乙：當(dāng)x取大于2的實數(shù)時，代數(shù)式﹣2x2+4x+2的值隨x的增大而減??；
丙：無論x取何值時，代數(shù)式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4．
下列判斷正確的是（　?。?br /> A．甲對，乙對 B．甲對，丙對 C．甲錯，丙對 D．乙錯，丙錯
【分析】通過解一元二次方程判斷甲同學(xué)的說法；通過配方法，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷乙同學(xué)的說法；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷丙同學(xué)的說法．
【解答】解：甲：∵﹣2x2+4x+2＝2，
∴﹣2x2+4x＝0，
∴﹣2x（x﹣2）＝0，
∴x1＝0，x2＝2，故甲同學(xué)的說法不符合題意；
乙：∵﹣2x2+4x+2
＝﹣2（x2﹣2x）+2
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+2
＝﹣2（x﹣1）2+2+2
＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴當(dāng)x＞2時，代數(shù)式﹣2x2+4x+2的值隨x的增大而減小，故乙同學(xué)的說法符合題意；
丙：∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣2（x﹣1）2≤0，
∴﹣2（x﹣1）2+4≤4，
∴無論x取何值時，代數(shù)式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4，故丙同學(xué)的說法符合題意；
故選：C．
10．（4分）小張的書法作品榮獲學(xué)校書法比賽一等獎．作品尺寸如圖所示：書法作品長5尺，寬3尺；將書法作品貼在一張矩形裝裱紙的正中央，書法作品四周外露裝裱紙的寬度相同；矩形裝裱紙的面積為書法作品面積的2倍．設(shè)書法作品四周外露裝裱紙的寬度為x尺，下面所列方程正確的是（　?。?br />
A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3 B．（5+x）（3+x）＝2×5×3
C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3 D．（5+2x）（3+2x）＝5×3
【分析】根據(jù)關(guān)鍵語句“矩形裝裱紙的面積為書法作品面積的2倍”列出方程求解即可．
【解答】解：根據(jù)題干，矩形裝裱紙的長為（5+2x）尺，寬為（3+2x）尺，
其面積為（5+2x）（3+2x）平方尺，
根據(jù)題意得：
（5+2x）（3+2x）＝2×5×3，
故選：A．
11．（4分）某超市銷售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)售價每漲1元，銷售量減少10件；售價每降1元，銷售量增加10件愛動腦的嘉嘉發(fā)現(xiàn)：在一定范圍內(nèi)，漲a元與降b元所獲得的利潤相同，則a與b滿足（　?。?br /> A．a(chǎn)﹣b＝4 B．a(chǎn)﹣b＝8 C．a(chǎn)+b＝4 D．a(chǎn)+b＝8
【分析】將利潤用函數(shù)關(guān)系表達出來，由于漲價、降價時的銷售量變化幅度一致，所以利潤可用一元二次函數(shù)表示，再利用一元二次函數(shù)的對稱性解決即可．
【解答】解：由題意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），
解得a﹣b＝8，
故選：B．
12．（4分）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以點A為圓心作弧交AB于點D，使AD＝AC，則該方程的一個正根是（　?。?br />
A．CD的長 B．BD的長 C．AC的長 D．BC的長
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算，可得BD2+aBD＝b2，從而可得BD的長該方程方程x2+ax＝b2的一個正根．
【解答】解：∵AD＝AC＝，
∴AB＝AD+BD＝+BD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（）2+b2＝（+BD）2，
∴+b2＝+aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，
∵BD2+aBD＝b2與方程x2+ax＝b2相同，且BD的長度是正數(shù)，
∴BD的長該方程x2+ax＝b2的一個正根，
故選：B．
二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上）
13．（4分）若關(guān)于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常數(shù)項為0，則m的值等于　　．
【分析】關(guān)于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常數(shù)項是m2+3m+2＝0，解出關(guān)于m的一元二次方程，并且注意而二次項系數(shù)（m+2）≠0，兩者結(jié)合求得m的值．
【解答】解：∵關(guān)于x一元二次方程常數(shù)項為0，
∴m2+3m+2＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣2；
又∵m+2≠0，m≠﹣2，
∴m＝﹣1．
故答案為：﹣1．
14．（4分）設(shè)a、b為x2+x﹣2021＝0的兩個實數(shù)根，則a3+a2+3a+2024b＝　 ?。?br /> 【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a﹣2021，所以原式變形為2024（a+b），接著根據(jù)根與現(xiàn)實的關(guān)系得到a+b＝﹣1，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：∵a為x2+x﹣2021＝0的根，
∴a2+a﹣2021＝0，
即a2＝﹣a+2021，
∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，
∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），
∵a、b為x2+x﹣2021＝0的兩個實數(shù)根，
∴a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．
故答案為：﹣2024．
15．（4分）已知a，b，c滿足：a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b+3c的值等于　 ?。?br /> 【分析】將已知等式左右兩邊分別相加，再配方成非負(fù)數(shù)的和為0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴a2﹣6a+9+b2+2b+1+c2﹣2c+1＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1．c＝1，
∴a+b+3c＝×3﹣1+3×1＝3，
故答案為：3．
16．（4分）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s，則經(jīng)過　　s后，P，Q兩點之間相距25cm．

【分析】設(shè)x秒后P、Q兩點相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)x秒后P、Q兩點相距25cm，
則CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由題意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
則10秒后P、Q兩點相距25cm．
故答案是：10．
三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）
17．（8分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；（配方法）（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0；（因式分解法）
（3）x2﹣6x＝8；（公式法）（4）x2﹣2x﹣15＝0．（因式分解法）
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝6，然后利用直接開平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）把方程化為一般式，再計算根的判別式的值，然后利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程先即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x+4＝6，
（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
所以x1＝+2，x2＝﹣+2；
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0或x+4﹣5＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝1；
（3）x2﹣6x＝8，
x2﹣6x﹣8＝0，
a＝1，b＝﹣6，c＝﹣8，
Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣8）＝68，
x＝＝3，
所以x1＝3﹣，x2＝3+；
（4）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
x﹣5＝0或x+3＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣3．
18．（8分）已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求的值．
【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化簡，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，原式化簡后代入計算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）＝0，即（a﹣2）2+（b+3）2＝0，
∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，
原式＝??＝??＝，
當(dāng)a＝2，b＝﹣3時，原式＝＝﹣．
19．（10分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求證：無論k為何值，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形一腰長為5，另外兩邊長度為該方程的兩根，求等腰三角形的周長．
【分析】（1）先計算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）依題意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一個根為5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后計算三角形周長．
【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵等腰三角形一腰長為5，
∴另外一邊長度為5，
∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一個根為5，
∴25﹣5（k+2）+2k＝0，
解得k＝5，
∴方程為x2﹣（5+2）x+2×5＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故△ABC的周長＝5+5+2＝12．
20．（10分）（1）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根a，b．求的值．
（2）若m，n是方程x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，求的值．
【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝﹣2，ab＝k，再利用通分和同分母的減法運算得到原式＝
，然后利用整體代入的方法計算，最后約分即可．
（2）由題意知，m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，將轉(zhuǎn)化為，代值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得a+b＝﹣2，ab＝k，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝1；
（2）∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，
∴m2＝1﹣3m，
∴原式＝
＝
＝1．
21．（12分）在九年級學(xué)長斗志昂揚迎戰(zhàn)體考的氛圍帶動下，某校八年級同學(xué)對體育鍛煉越來越重視．同學(xué)們在八上期末、八下開學(xué)、八下半期舉行的三次體育測試中獲得滿分的人數(shù)逐漸增多，從八上期末的75人滿分，到八下半期滿分人數(shù)上升至108人．
（1）如果每次測試滿分人數(shù)增加的百分率相同，求這個百分率；
（2）已知體測滿分50分，該年級共340名學(xué)生，其中有5名同學(xué)因身體原因每次測試只能得到30分．年級計劃通過一系列舉措，力爭在下次測試時滿分人數(shù)比半期滿分人數(shù)增加25%．那么除了滿分同學(xué)和5名特殊情況同學(xué)之外，其余同學(xué)至少平均得到多少分，才能使全年級平均分不低于46分？
【分析】（1）設(shè)每次測試滿分的人數(shù)增加的百分率為x，利用期末滿分人數(shù)＝開學(xué)初滿分人數(shù)×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)其他同學(xué)平均成績?yōu)閥分，根據(jù)全校平均分不低于46分，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)每次測試滿分的人數(shù)增加的百分率為x，
依題意得：75（1+x）2＝108，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：每次測試滿分的人數(shù)增加的百分?jǐn)?shù)為20%．
（2）設(shè)其他同學(xué)平均成績?yōu)閥分，
依題意得：50×108×（1+25%）+30×5+[340﹣108×（1+25%）﹣5]y≥46×340，
解得：y≥43.7，
答：其他同學(xué)平均成績至少為43.7分．
22．（12分）在學(xué)習(xí)了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的應(yīng)用后，李老師提出問題：求代數(shù)式﹣x2+2x+2的最大值．同學(xué)們經(jīng)過探索、合作交流，最后得到如下的解法：
解：﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）+2＝﹣（x﹣1）2+3
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+3≤3．
當(dāng)﹣（x﹣1）2＝0時，﹣（x﹣1）2+3的值最大，最大值為3．
∴﹣x2+2x+2的最大值是3．
請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：
（1）求代數(shù)式﹣y2﹣6y+2的最大值．
（2）求代數(shù)式﹣2a2+8a﹣3的最大值．
（3）若x2﹣3x+y﹣10＝0，求y﹣x的最大值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可；
（3）由x2﹣3x+y﹣10＝0，可得y﹣x＝﹣x2+2x+10，再將等式右邊利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
【解答】解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，
∵﹣（y+3）2≤0，
∴﹣（y+3）2+11≤11．
∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．
（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，
∵﹣2（a﹣2）2≤0，
∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．
∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．
（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+11≤11．
∴y﹣x的最大值是11．
23．（12分）近幾年，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加．某商場從廠家購進了A，B兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息如表：
A型銷售數(shù)量（臺）
B型銷售數(shù)量（臺）
總利潤（元）
5
10
2500
10
5
2750
（1）每臺A型空氣凈化器的銷售利潤是　　元；
每臺B型空氣凈化器的銷售利潤是　　元；
（2）該商場計劃一次購進兩種型號的空氣凈化器共80臺，其中B型空氣凈化器的進貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，為使該商場銷售完這80臺空氣凈化器后的總利潤最大，那么應(yīng)該購進A型空氣凈化
器　　臺；B型空氣凈化器　臺．
（3）已知A型空氣凈化器的凈化能力為300m3/小時，B型空氣凈化器的凈化能力為200m3/小時．某長方體室內(nèi)活動場地的總面積為300m2，室內(nèi)墻高3m．該場地負(fù)責(zé)人計劃購買7臺空氣凈化器，每天花費30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，如不考慮空氣對流等因素，他至少要購買A型空氣凈化器多少臺？
【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求解；
（2）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）根據(jù)題意列不等式求解．
【解答】解：（1）設(shè)每臺A型空氣凈化器的銷售利潤是x元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤是 y元，
根據(jù)題意得：，
解得：
故答案為：200，150；
（2）設(shè)購進a臺A型空氣凈化器，總利潤為w元，
則：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，
∵80﹣a≥2a，
∴a≤26，
∴a的最大值為：26，
∵w隨a的增大而增大，
∴當(dāng)a＝26時，w有最大值，
此時．80﹣a＝54，
故答案為：26，54；
（3）設(shè)要購買A型空氣凈化器a臺，
由題意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，
解得：a≥4，
所以a的最小值為：4，
答：至少要購買A型空氣凈化器4臺．
24．（14分）應(yīng)用題
（1）如圖，有一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞合的一邊利用長為12m的墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于墻的一邊CD上留一個1m寬的門．
①矩形的邊長分別為多少時，雞舍面積為80m2？
②雞舍面積能否達到86m2？
（2）某商場用12000元購進大、小書包各200個，每個小書包比大書包的進價少20元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，小書包每天的銷量y1（單位：個）與其銷售單價x（單位：元）有如下關(guān)系：
y1＝﹣x+76，大書包每天的銷量y2（單位：個）與其銷售單價z（單位：元）有如下關(guān)系：
y2＝﹣z+80，其中x，z均為整數(shù)．商場按照每個小書包和每個大書包的利潤率相同的標(biāo)準(zhǔn)確定銷售單價，并且銷售單價均高于進價（利潤率＝）
①求兩種書包的進價；
②當(dāng)小書包的銷售單價為多少元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同．
【分析】（1）①設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的一邊長為am，則矩形雞舍的另一邊長為（26﹣2a）m，根據(jù)雞舍面積為80m2，列出方程并解答；
②利用雞舍面積得出S＝86，得出一元二次方程，根據(jù)判別式可得出答案；
（2）①根據(jù)某商場用12000元購進大、小書包各200個，每個小書包比大書包的進價少20元，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得兩種書包的進價；
②根據(jù)商場按照每個小書包和每個大書包的利潤率相同的標(biāo)準(zhǔn)確定銷售單價，兩種書包每天銷售的總利潤相同，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到當(dāng)小書包的銷售單價為多少元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同；
【解答】解：（1）①設(shè)矩形雞舍垂直于房墻的一邊AB長為am，則矩形雞舍的另一邊BC長為（26﹣2a）m．
依題意，得x（26﹣2a）＝80，
解得a1＝5，a2＝8．
當(dāng)a＝5時，26﹣2a＝16＞12（舍去），
當(dāng)a＝8時，26﹣2a＝10＜12．
答：矩形雞舍的長為10m，寬為8m；
②當(dāng)S＝86m2，
則a（26﹣2a）＝86，
整理得：a2﹣13a+43＝0，
則Δ＝b2﹣4ac＝169﹣172＝﹣3＜0，
故所圍成雞舍面積不能為86平方米；
（2）①設(shè)大書包的進價為a元/個，則小書包的進價為（a﹣20）元/個，
200a+200（a﹣20）＝12000，
解得a＝40，
∴a﹣20＝20，
答：大書包的進價為40元/個，小書包的進價為20元/個；
②∵商場按照每個小書包和每個大書包的利潤率相同的標(biāo)準(zhǔn)確定銷售單價，
∴＝，
∴z＝2x，
∵兩種書包每天銷售的總利潤相同，
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（z﹣40）（﹣z+80），
∴（x﹣20）（﹣x+76）＝（2x﹣40）（﹣2x+80），
解得x1＝20，x2＝28，
∵銷售單價均高于進價，
∴x＝20不合題意，
∴x＝28，
答：當(dāng)小書包的銷售單價為28元時，兩種書包每天銷售的總利潤相同．

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