?2022—2023學(xué)年九年級上學(xué)期第一單元過關(guān)檢測（1）
一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號涂黑）
1．（4分）以下各方程中，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（　?。?br /> A．x+2＝0 B．x2﹣5x＝2020
C．3x3+6x＝1 D．﹣5x﹣2021＝0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．
【解答】解：A．x+2＝0，是一元一次方程，故選項(xiàng)不合題意；
B．x2﹣5x＝2020，符合一元二次方程的定義，選項(xiàng)符合題意；
C．3x3+6x＝1，未知數(shù)最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故選項(xiàng)不合題意．
D．﹣5x﹣2021＝0，不是整式方程，故選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
2．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化為（　?。?br /> A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+11＝0，
∴x2﹣10x＝﹣11，
則x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，
故選：A．
3．（4分）已知a，b，c為常數(shù)，點(diǎn)P（a，c）在第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根
C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判斷
【分析】先利用第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到ac＜0，則判斷Δ＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：∵點(diǎn)P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
4．（4分）一個等腰三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2﹣16x+55＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則這個等腰三角形周長為（　　）
A．11 B．27 C．5或11 D．21或27
【分析】可先解出x的值，然后根據(jù)等腰可知三角形三邊為5，5，11或11，11，5，然后看兩組數(shù)是否符合三角形的性質(zhì)，最后解出周長的值．
【解答】解：x2﹣16x+55＝0，
解得：x1＝11，x2＝5，
如果11是等腰三角形的底邊，5為腰長，此時根據(jù)三角形三邊關(guān)系，不合題意；
如果11是等腰三角形的腰長，5為底邊，則三角形的周長為27．
故選：B．
5．（4分）小兵在暑假調(diào)查了某工廠得知，該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計(jì)2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，設(shè)2020年至2022年該產(chǎn)品的預(yù)計(jì)年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程得（　?。?br /> A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345
C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345
【分析】根據(jù)該工廠2020年全年某產(chǎn)品的產(chǎn)量為234萬噸，經(jīng)該廠的技術(shù)人員預(yù)計(jì)2022年全年該產(chǎn)品的產(chǎn)量為345萬噸，列方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得234（1+x）2＝345，
故選：A．
6．（4分）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，則a2+b2的值為（　　）
A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
【分析】設(shè)a2+b2＝m，則原方程化為：m2﹣8m﹣48＝0，解出m的值即可確定a2+b2的值．
【解答】解：設(shè)a2+b2＝m，
則原方程化為：m2﹣8m﹣48＝0，
解得m＝﹣4（不符合題意，舍去）或m＝12，
∴a2+b2＝12，
故選：A．
7．（4分）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個根，則（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（　　）
A．2008 B．8002 C．2009 D．2020
【分析】根據(jù)m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個根，可得m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，化簡（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步計(jì)算即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2016x+7＝0的兩個根，
∴m2+2016m+7＝0，n2+2016n+7＝0，m+n＝﹣2016，mn＝7，
∴m2+2015m+m+7＝0，n2+2017n﹣n+7＝0，
∴m2+2015m＝﹣m﹣7，n2+2017n＝n﹣7，
∴（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）
＝（﹣m﹣7+6）（n﹣7+8）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝﹣7+2016﹣1
＝2008，
故選：A．
8．（4分）如圖，在寬為20m，長為38m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬．如果設(shè)小路寬為xm，根據(jù)題意，所列方程正確的是（　?。?br /> A．（20﹣x）（38﹣x）＝540
B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540
C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540
【分析】由小路的寬為xm，可得出種植草坪的部分可合成長為（38﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，再利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵小路寬為xm，
∴種植草坪的部分可合成長為（38﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．
依題意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．
故選：A．
9．（4分）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的兩個根，則的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．3 D．2
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求得ab＝3，然后將其代入整理后的代數(shù)式求值即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的兩個根，
∴a+b＝﹣5＜0，ab＝3＞0．
∴a、b同為負(fù)數(shù)．
∴
＝﹣﹣
＝﹣2
＝﹣2．
故選：A．
10．（4分）不論x、y取何有理數(shù)，x2+y2﹣10x+8y+41的值均為（　　）
A．正數(shù) B．零 C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)
【分析】根據(jù)完全平方公式對代數(shù)式整理，然后再根據(jù)平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【解答】解：x2+y2﹣10x+8y+41
＝x2﹣10x+25+y2+8y+16
＝（x﹣5）2+（y+4）2，
∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，
∴（x﹣5）2+（y+4）2≥0．
故選：D．
11．（4分）關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（　?。?br /> A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根據(jù)x1＝2x2+3，可得關(guān)于m的方程，解方程可求m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故選：C．
12．（4分）《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來解形如x（x+5）＝24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25＝121，邊長為11，故得x（x+5）＝24的正數(shù)解為x＝＝3．小明按此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（　?。?br /> A．﹣1 B．+1 C． D．﹣1
【分析】把方程變形得到x（x+m）＝n，設(shè)圖中長方形的長為（x+m），寬為x，則圖中小正方形的邊長為x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的邊長為x+m+x ＝2x+m＝，解得x＝2，然后計(jì)算x（x+2）即可．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴圖中長方形的長為（x+m），寬為x，
∴圖中小正方形的邊長為x+m﹣x ＝m＝＝2，
大正方形的邊長為x+m+x ＝2x+m＝，
∴x＝＝﹣1，
故選：A．
二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上）
13．（4分）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，則m的值為 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得：m2+1＝2且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由題意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m≠﹣1，
故答案為：﹣1．
14．（4分）若|b﹣1|+|a﹣4|＝0，且關(guān)于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0（k≠0）有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 ?。?br /> 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的不等式即可解答．
【解答】解：∵|b﹣1|+|a﹣4|＝0，
∴b＝1，a＝4，
∴原方程為kx2+4x+1＝0，
∵該一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范圍是：k≤4且k≠0，
故答案為：k≤4且k≠0．
15．（4分）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，可得x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1變形再整體代入可得＝4﹣k，解出k的值，并檢驗(yàn)即可得k＝2．
【解答】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
當(dāng)k＝2時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；
當(dāng)k＝5時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；
∴k＝2，
故答案為：2．
16．（4分）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，再沿過點(diǎn)A的直線折疊使AD落在線段AF上，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為AG，點(diǎn)G在邊CD上，連接GH，GF，線段BF、DG、CG和GF中，長度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一個正根的線段為 　 　．

【分析】首先根據(jù)方程x2+x﹣1＝0解出正根為，再判斷這個數(shù)值和題目中的哪條線段接近．線段BF＝0.5排除，其余三條線段可以通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系．利用正方形的面積等于圖中各個三角形的面積和，列等量關(guān)系．設(shè)DG＝m，則GC＝1﹣m，從而可以用m表示等式．
【解答】解：設(shè)DG＝m，則GC＝1﹣m．
由題意可知：△ADG≌△AHG，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴DG＝GH＝m，F(xiàn)C＝0.5，
根據(jù)勾股定理得AF＝．
∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解為：x＝，
∴取正值為x＝．
∴這條線段是線段DG．
故答案為：DG．
三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）
17．（8分）解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣25＝0． （2）2x2﹣7x﹣2＝0（公式法）．
（3）（x+2）2＝3（x+2）． （4）x2+8x﹣9＝0（配方法）．
【分析】（1）根據(jù)方程特點(diǎn)，應(yīng)采用直接開平方法解答即可．
（2）根據(jù)方程的系數(shù)特點(diǎn)，應(yīng)準(zhǔn)確確定各個項(xiàng)系數(shù)，利用求根公式求得即可．
（3）可以先移項(xiàng)，然后利用提取公因式法將方程的左邊分解因式，利用因式分解法解答即可．
（4）利用配方法解答即可．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
移項(xiàng)得，（2x+3）2＝25，
∴2x+3＝5或2x+3＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣4；
（2）2x2﹣7x﹣2＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝49+16＝65，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（3）（x+2）2＝3（x+2），
移項(xiàng)得，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
因式分解得，（x+2）（x+2﹣3）＝0，
∴x+2＝0或x+2﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（4）x2+8x﹣9＝0，
x2+8x＝9，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
∴x+4＝5或x+4＝﹣5，
解得：x1＝1，x2＝﹣9．
18．（8分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？
【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
依題意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．
（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元，
依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元．
19．（10分）關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于12？若存在，求k；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）顯然k≠0，用一元二次方程根的判別式Δ＞0，即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）存在．我們知道關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它們對應(yīng)的根是倒數(shù)關(guān)系，即若ax2+bx+c＝0的兩根為x1.x2，則cx2+bx+a＝0的兩根為，．，與kx2﹣（k﹣2）x+k＝0的根互為倒數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意，﹣＝12，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0，Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4k?＝k2﹣4k+4﹣k2＞0，
∴k＜1且k≠0，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＜1且k≠0；
（2）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0與cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它們對應(yīng)的根是倒數(shù)關(guān)系，即若ax2+bx+c＝0的兩根為x1.x2，則cx2+bx+a＝0的兩根為，，
∵方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于12，
∴關(guān)于x的方程kx2﹣（k﹣2）x+k＝0，
根據(jù)題意有，﹣＝12，
∴，
∴k＝﹣1，顯然k＜1且k≠0，
∴存在實(shí)數(shù)k，k＝﹣1．
20．（10分）某新建公園需要綠化的面積為24000m2，施工隊(duì)在綠化了12000m2后將每天的工作量增加為原來的1.2倍，結(jié)果提前5天完成了該項(xiàng)目的綠化工程．
（1）求該公園綠化工程原計(jì)劃每天完成多少平方米？
（2）如圖所示，該公園內(nèi)有一塊長30米，寬20米的矩形空地，準(zhǔn)備將其修建成一個矩形花壇，要求在花壇中修建三條等寬的矩形小道（圖中陰影部分），剩余地方種植花草，要使得種植花草的面積為468m2，那么小道的寬應(yīng)為多少米？

【分析】（1）設(shè)該公園綠化工程原計(jì)劃每天完成x平方米，則增加工作效率后每天完成1.2x平方米，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合結(jié)果提前5天完成了該項(xiàng)目的綠化工程，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)小道的寬為y米，則種植花草部分可合成長為（30﹣2y）米，寬為（20﹣y）米的矩形，根據(jù)種植花草的面積為468m2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該公園綠化工程原計(jì)劃每天完成x平方米，則增加工作效率后每天完成1.2x平方米，
依題意得：﹣＝5，
解得：x＝400，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝400是原方程的解，且符合題意．
答：該公園綠化工程原計(jì)劃每天完成400平方米．
（2）設(shè)小道的寬為y米，則種植花草部分可合成長為（30﹣2y）米，寬為（20﹣y）米的矩形，
依題意得：（30﹣2y）（20﹣y）＝468，
整理得：y2﹣35y+66＝0，
解得：y1＝2，y2＝33（不符合題意，舍去）．
答：小道的寬應(yīng)為2米．
21．（12分）超市銷售某種商品，每件盈利50元，平均每天可達(dá)到30件．為盡快減少庫存，現(xiàn)準(zhǔn)備降價以促進(jìn)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：一件商品每降價1元平均每天可多售出2件．
（1）當(dāng)一件商品降價5元時，每天銷售量可達(dá)到 　 　件，每天共盈利 　 　元；
（2）在上述條件不變，銷售正常情況下，每件商品降價多少元時超市每天盈利可達(dá)到2100元？
（3）在上述條件不變，銷售正常情況下，超市每天盈利最高可以達(dá)到k元，請你利用學(xué)過的Δ判別式，或利用暑假預(yù)習(xí)函數(shù)配方法，求出k的值？
【分析】（1）降價1元，可多售出2件，降價5元，可多售出2×5件，盈利的錢數(shù)＝原來的盈利﹣降低的錢數(shù)；
（2）根據(jù)日盈利＝每件商品盈利的錢數(shù)×（原來每天銷售的商品件數(shù)30+2×降價的錢數(shù)），列出方程求解即可；
（3）根據(jù)題意列出方程，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：（1）降價5元，銷售量達(dá)到30+2×5＝40件，
當(dāng)天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案為：40，1800；
（2）根據(jù)題意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵該商場為了盡快減少庫存，
∴降的越多，越吸引顧客，
∴選x＝20，
答：每件商品降價20元，商場日盈利可達(dá)2100元；
（3）根據(jù)題意可得（30+2x）（50﹣x）＝k，
整理得到：2x2﹣70x+k﹣1500＝0．
則Δ＝b2﹣4ac＝4900﹣4×2（k﹣1500）＝16900﹣8k≥0，
解得k≤2112.5．
故超市每天盈利最高可以達(dá)到2112.5元．
22．（12分）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實(shí)數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣1則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．
（1）（2分）通過計(jì)算，判斷下面的方程是否為“鄰根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值．
【分析】（1）①解一元二次方程，由兩根之差不為1，即可得出一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“鄰根方程”；
②解一元二次方程，由兩根之差為1，即可得出一元二次方程2x2﹣2x+1＝0是“鄰根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的兩根，由該方程是“鄰根方程”，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．
【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，
即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵3﹣（﹣2）＝5≠1，
∴一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“鄰根方程”；
②方程2x2﹣2x+1＝0的兩個根是x1＝，x2＝，
即x1＝，x2＝，
∵﹣＝1，
∴一元二次方程2x2﹣2x+1＝0是“鄰根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
即（x+1）（x﹣m）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝m．
∵關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，
∴﹣1﹣m＝1或m﹣（﹣1）＝1，
∴m＝﹣2或m＝0，
∴m的值為﹣2或0．
23．（12分）閱讀材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，則m＝　 　，n＝　 　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求x y的值；
（3）已知Rt△ABC的三邊長a，b，c，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周長．
【分析】（1）根據(jù)m2+n2﹣4m+4＝0，，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（m﹣2）2+n2＝0，應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)便可求得結(jié)果；
（2）對已知方程左邊多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得求解便可；
（3）對已知方程左邊多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得求得a、b的值，最后分兩種情況求得三角形的周長．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案為：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
當(dāng)∠C＝90°時，c＝，
此時△ABC的周長為3+4+5＝12，
當(dāng)∠B＝90°時，c＝，
此時△ABC的周長為3+4+＝7+，
綜上，△ABC的周長為12或7+．

24．（14分）如圖，菱形ABCD中，m、n、t分別是菱形ABCD的兩條對角線和邊長，這時我們把關(guān)于x的形如mx2+2t x+n＝0的一元二次方程稱為“菱系一元二次方程”．請解決下列問題：
（1）填空：①當(dāng)m＝2，n＝4時，t＝　 ?。?br /> ②用含m、n的代數(shù)式表示t2＝　 ?。?br /> （2）求證：關(guān)于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+n＝0必有實(shí)數(shù)根．

【分析】（1）由菱形的對角線互相垂直平分得出AO、DO的長，再利用勾股定理可得AD，從而得出答案；
（2）此方程的判別式Δ＝（2t）2﹣2mn＝4t2﹣2mn，結(jié)合t2＝m2+n2可得答案．
【解答】（1）解：①菱形ABCD中，m、n、t分別是菱形ABCD的兩條對角線和邊長，
當(dāng)m＝2，n＝4時，則AO＝2，DO＝1，
則AD＝＝＝，即t＝，
故答案為：；
②由題意知AO＝AC＝m，DO＝BD＝n，
則AD＝＝＝，
∴t2＝m2+n2，
故答案為：m2+n2；
（2）證明：mx2+2tx+n＝0，
這里，a＝m，b＝2t，c＝n，
∴Δ＝（2t）2﹣4m?n＝4t2﹣2mn，
∵t2＝m2+n2，
∴Δ＝m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2≥0，
∴關(guān)于x的“菱系一元二次方程”mx2+2tx+n＝0必有實(shí)數(shù)根．


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