第二十二章二次函數單元過關檢測01-2022-2023學年九年級數學上冊同步考點知識清單＋例題講解＋課后練習（人教版）-試卷下載-教習網

?2022—2023學年九年級上學期第二單元過關檢測（1）
一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應題目答案標號涂黑）
1．（4分）下列各式中，y是x的二次函數的是（　?。?br /> A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】根據二次函數的定義逐個判斷即可．
【解答】解：A．y是x的一次函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
C．y是x的二次函數，故本選項符合題意；
D．當a＝0時，y不是x的二次函數，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．（4分）拋物線y＝﹣5x2可由y＝﹣5（x+2）2﹣6如何平移得到（　?。?br /> A．先向右平移2個單位，再向下平移6個單位
B．先向左平移2個單位，再向上平移6個單位
C．先向左平移2個單位，再向下平移6個單位
D．先向右平移2個單位，再向上平移6個單位
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律求則可．
【解答】解：將拋物線y＝﹣5（x+2）2﹣6先向右平移2個單位，再向上平移6個單位即可得到拋物線y＝﹣5x2．
故選：D．
3．（4分）畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
0
1
0
﹣3
﹣8
…
關于此函數有下列說法：①函數圖象開口向上；②當x＞2時，y隨x的增大而減小；③當x＝0時，y＝﹣3；其中正確的是（　?。?br /> A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先由表中數據可知，y隨x的增大先增大后減小，得到函數圖象開口向下；利用y＝0時，x＝1或x＝3，得到函數的對稱軸，再結合開口方向得到函數的增減性；利用對稱軸為直線x＝1和x＝4時y＝﹣3得到x＝0時的函數值．
【解答】解：由表中數據可知，y隨x的增大先增大后減小，
∴函數圖象開口向下，故①錯誤，不符合題意；
∵y＝0時，x＝1或x＝3，
∴函數的對稱軸為直線x＝2，
∵開口向下，
∴當x＞2時，y隨x的增大而減小，故②正確，符合題意；
∵對稱軸為直線x＝1，當x＝4時y＝﹣3，
∴x＝0時，y＝﹣3，故③正確，符合題意；
故選：C．
4．（4分）若關于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有實數根x1、x2，且x1≠x2，則下列結論中錯誤的是（　　）
A．二次函數y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）
B．當m＞0時，2＜x1＜x2＜3
C．m＞﹣
D．當m＝0時，x1＝2，x2＝3
【分析】由二次方程的根與系數的關系，結合二次函數的圖象可判斷A；由二次不等式的解法可判斷B；由二次函數的配方可得最小值，即可判斷C；由m＝0，解二次方程可判斷D．
【解答】解：關于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有實數根x1，x2，且x1＜x2，可得x1，x2為方程x2﹣5x+6﹣m＝0的兩根，
可得x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m，
二次函數y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，即為y＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+6，
其圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0），故A正確．
由m＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，解得x＞3或x＜2，即有x1＜2＜3＜x2，故B錯誤；
由y＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣≥﹣，當x＝時，取得最小值﹣，由于x1＜x2，可得m＞﹣，故C正確；
由m＝0可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得x1＝2，x2＝3，故D正確；
故選：B．
5．（4分）如圖，在期末體育測試中，小朱擲出的實心球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系大致滿足二次函數，則小朱本次投擲實心球的成績?yōu)椋ā　。?br />
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【分析】根據實心球落地時，高度y＝0，把實際問題可理解為當y＝0時，求x的值即可．
【解答】解：在中，令y＝0得：
﹣x2+x+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴小朱本次投擲實心球的成績?yōu)?米，
故選：C．
6．（4分）函數y＝ax+1與y＝ax2+ax+1（a≠0）的圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據圖象與系數的關系，看兩個函數的系數符號是否一致，即可判斷．
【解答】解：由函數y＝ax+1與拋物線y＝ax2+ax+1可知兩函數圖象交y軸上同一點（0，1），拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，在y軸的左側，
A、拋物線的對稱軸在y軸的右側，故選項不合題意；
B、拋物線的對稱軸在y軸的右側，故選項不合題意；
C、由一次函數的圖象可知a＞0，由二次函數的圖象知道a＞0，且交于y軸上同一點，故選項符合題意；
D、由一次函數的圖象可知a＞0，由二次函數的圖象知道a＜0，故選項不合題意；
故選：C．
7．（4分）二次函數y＝2x2的圖象如圖所示，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在函數圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠AOB＝30°，則點C的坐標為（　?。?br />
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣1，） D．（﹣1，）
【分析】連接BC交OA于D，如圖，根據菱形的性質得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得OD＝BD，設BD＝t，則OD＝t，B（t，t），利用二次函數圖象上點的坐標特征得2t2＝t，得出BD＝，OD＝，然后根據菱形的性質得出C點坐標．
【解答】解：連接BC交OA于D，如圖，
∵四邊形OBAC為菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠AOB＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴OD＝BD，
設BD＝t，則OD＝t，
∴B（t，t），
把B（t，t）代入y＝2x2得2t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴BD＝，OD＝，
故C點坐標為：（﹣，）．
故選：B．

8．（4分）關于x的二次函數y＝ax2+2ax+b+1（a?b≠0）與x軸只有一個交點（k，0），下列正確的是（　　）
A．若﹣1＜a＜1，則 B．若，則0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，則 D．若，則0＜a＜1
【分析】求二次函數與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程，根據Δ＝0，一元二次方程有兩個相等的實數根，求出a、b的數量關系，再進一步求出k的值，進而選出正確答案．
【解答】解：∵關于x的二次函數y＝ax2+2ax+b+1（a?b≠0）與x軸只有一個交點（k，0），
令y＝0，
∴ax2+2ax+b+1＝0，
∴（2a）2﹣4a（b+1）＝0，
∴4a2﹣4ab﹣4a＝0，
4a（a﹣b﹣1）＝0，
∵關于x的二次函數，
∴a≠0，
∴a﹣b﹣1＝0，
∴a＝b+1，
∴（b+1）x2+2（b+1）x+b+1＝0，
∵因為方程有兩個相等的實數根，
∴x+x＝﹣＝﹣2，
解得x1＝x2＝﹣1，
∴k＝﹣1，
＝，
A、當﹣1＜a＜0時，a﹣1＜0，a（a﹣1）＞0，
∴﹣＞0，
∴＞，
當0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
﹣＜0，
∴＜，
∴無法確定大小，
∴A、C錯誤；
當0＜a＜1，a﹣1＜0，a（a﹣1）＜0，
＜，
∴B、錯誤；D、正確；
故選：D．
9．（4分）使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉角度x（單位：度）近似滿足函數關系式y(tǒng)＝ax2+bx+c（a≠0），如圖記錄了某種家用節(jié)能燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕的旋轉角度x與燃氣量y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕的旋較角度約為（　?。┒龋?br />
A．36 B．45 C．50 D．42
【分析】根據題意和二次函數的性質，可以確定出對稱x的取值范圍，從而可以解答本題．
【解答】解：由圖象可知，物線開口向上，
從18和72兩個點可以看出對稱軸x＜，
所以最終對稱軸的范圍是36＜x＜45，
即對稱軸位于直線x＝36與直線x＝45之間，
所以此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕的旋轉角度約為42°．
故選：D．
10．（4分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，AC與BD交于點O，E，F分別為邊BC，CD上的點（點E，F不與線段BC，CD的端點重合），BE＝CF，連接OE，OF，EF．關于以下三個結論，下列判斷正確的是（　?。?br /> 結論Ⅰ：∠EOF始終是90°；
結論Ⅱ：△OEF面積的最小值是2；
結論Ⅲ：四邊形OECF的面積始終是8．
A．結論Ⅰ和Ⅱ都對，結論Ⅲ錯 B．結論Ⅰ和Ⅲ都對，結論Ⅱ錯
C．結論Ⅱ和Ⅲ都對，結論Ⅰ錯 D．三個結論都對
【分析】由題意可證明△BOE≌△COF，從而可證明∠EOF＝90°，且OE＝OF，所以四邊形OECF的面積始終等于△BOC的面積4，當OE⊥BC（OE＝2）時，△OEF面積取最小值2．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵BE＝CF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，
即∠EOF＝∠BOC＝90°，
且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，
即S四邊形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
由垂線段最短可得，
當OE⊥BC時，OE＝BC＝×4＝2，
△OEF面積取最小值為×2×2＝2，
∴結論Ⅰ和Ⅱ都對，結論Ⅲ錯，
故選：A．
11．（4分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在拋物線y＝﹣x2+2mx+n上，其中y2＝2m+n，下列說法正確的是（　?。?br /> A．若y1＞y3≥y2，則|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
B．若y1＞y3≥y2，則|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
C．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，則y2＞y3≥y1
D．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，則y2＞y3≥y1
【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x＝2，從而可得點B為頂點，由m＜0拋物線開口向上可判斷C，D選項，由點到對稱軸的距離與函數值的關系可判斷A，B．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx+n，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，
把x＝2代入y＝﹣x2+2mx+n得y＝2m+n，
∴B（x2，y2）為拋物線頂點，x2＝2，
當m＜0時，拋物線開口向上，y2為函數最小值，
∴選項C，D錯誤．
若y1＞y3≥y2，則拋物線開口向上，距離對稱軸越近的點的縱坐標越小，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，選項A錯誤，選項B正確．
故選：B．
12．（4分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，它的對稱軸為直線x＝2，則下列說法中正確的有（　?。?br /> ①abc＜0；
②；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一個解的取值范圍為﹣2＜x＜﹣1．
A．1個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】由拋物線開口方向、對稱軸以及與y軸的交點即可判斷①；根據拋物線與x軸的交點情況以及a的符號即可判斷②；由16a+4b+c＝c即可判斷③；由x＝5時，y＜0，即可判斷④；由拋物線與x軸的交點即可判斷⑤．
【解答】解：由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點在x軸的上方，可知c＞0，
又﹣＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正確；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正確；
當x＝5時，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④錯誤；
∵拋物線對稱軸為直線x＝2，其中一個交點的橫坐標在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一個解的取值范圍為﹣1＜x＜0，故⑤錯誤．
故選：B．
二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應的位置上）
13．（4分）形狀與開口都與拋物線y＝﹣2x2+3x﹣1相同，頂點坐標是（0，﹣5）的拋物線對應的函數解析式為　 ?。?br /> 【分析】設拋物線的解析式為y＝a（x+h）2+k，由條件可以得出a＝﹣2，再將頂點坐標代入解析式就可以求出結論．
【解答】解：設拋物線的解析式為y＝ax2﹣5，且該拋物線的形狀與開口方向和拋物線y＝﹣2x2+3x﹣1相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2﹣5，
故答案為：y＝﹣2x2﹣5．
14．（4分）若拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝2交于A、B兩點，則AB＝　 ?。?br /> 【分析】拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝2交于A、B兩點橫坐標為一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2的兩個解，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝2交于A、B兩點橫坐標為一元二次方程x2﹣2x﹣3＝2的兩個解，
，，
則AB＝x1﹣x2＝2，
故答案為：2．
15．（4分）二次函數y＝（x+1）2﹣5，當m≤x≤n，且mn＜0時，y的最小值是2m，最大值是2n，則m﹣n＝　 ?。?br /> 【分析】根據題意和二次函數的性質，利用分類討論的方法可以求得m、n的值，然后即可求出m﹣n的值．
【解答】解：∵m≤x≤n，且mn＜0，
∴m＜0，n＞0，
∵二次函數y＝（x+1）2﹣5，
∴當x＝﹣1時，取得最小值，當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，
當﹣1＜m＜0時，x＝m時取得最小值2m，x＝n時取得最大值2n，
即，
解得m＝±2（不合題意，舍去），n＝±2（不合題意，舍去）；
當m≤﹣1時，x＝﹣1時，取得最小值2m，x＝n時取得最大值2n或x＝﹣1時，取得最小值2m，x＝m時取得最大值2n，
即2m＝﹣5，（n+1）2﹣5＝2n或2m＝﹣5，（m+1）2﹣5＝2n，
解得m＝﹣，n＝2或n＝﹣2（不合題意，舍去）；m＝﹣，n＝﹣（不合題意，舍去），
由上可得，m＝﹣，n＝2，
∴m﹣n＝﹣﹣2＝﹣，
故答案為：﹣
16．（4分）如圖，已知點A1，A2，…，A2014在函數y＝x2位于第二象限的圖象上，點B1，B2，…，B2014在函數y＝x2位于第一象限的圖象上，點C1，C2，…，C2014在y軸的正半軸上，若四邊形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2013A2014C2014B2014都是正方形，則正方形C2013A2014C2014B2014的邊長為　 ?。?br />
【分析】根據正方形對角線平分一組對角可得OB1與y軸的夾角為45°，然后表示出OB1的解析式，再與拋物線解析式聯立求出點B1的坐標，然后求出OB1的長，再根據正方形的性質求出OC1，表示出C1B2的解析式，與拋物線聯立求出B2的坐標，然后求出C1B2的長，再求出C1C2的長，然后表示出C2B3的解析式，與拋物線聯立求出B3的坐標，然后求出C2B3的長，從而根據邊長的變化規(guī)律解答即可．
【解答】解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1與y軸的夾角為45°，
∴OB1的解析式為y＝x，
聯立方程組得：，
解得或，
∴B點的坐標是：（1，1）；
OB1＝＝，
同理可得：正方形C1A2C2B2的邊長C1B2＝2；
…
依此類推，正方形則正方形C2013A2014C2014B2014的邊長為2014．
故答案為：2014．

三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應的位置上，解答時應寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）
17．（8分）已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是關于x的函數
（1）當m為何值時，它是y關于x的一次函數；
（2）當m為何值時，它是y關于x的二次函數．
【分析】（1）根據形如y＝kx+b （k≠0）是一次函數，可得答案；
（2）根據形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函數，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是關于x的一次函數，
得
解得m＝2，
當m＝2時，它是y關于x的一次函數
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是關于x的二次函數，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
綜上所述，當m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1時，它是y關于x的二次函數．
18．（8分）已知拋物線y＝﹣x2+2x+2．
（1）寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）當x為何值時，函數y＝﹣x2+2x+2取得最大值，請求出這個最大值．
【分析】（1）利用配方法得到y(tǒng)＝﹣（x﹣1）2+3，然后根據二次函數的性質解決問題；
（2）根據二次函數的性質即可求出答案．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
所以拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，3）；
（2）由（1）可知，當x＝1時，函數y＝﹣x2+2x+2取得最大值，最大值是3．
19．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點，（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．
（1）直接寫出A，B，C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M與點A，點B不重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，若點P在點Q的左側，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積．

【分析】（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y＝0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標；
（2）設M點橫坐標為m，則PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長＝﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x＝m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．
【解答】解：（1）由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3可知點C（0，3），
令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；
（2）由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4可知，對稱軸為直線x＝﹣1，
設點M的橫坐標為m，則PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長＝2（PM+MN）＝2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴當m＝﹣2時矩形的周長最大．
∵點A（﹣3，0），C（0，3），
∴設直線AC：y＝kx+3，
代入（﹣3，0）得0＝﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直線AC的函數表達式為y＝x+3，
當x＝﹣2時，y＝﹣2+3＝1，則點E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴△AEM的面積＝AM?EM＝．
20．（10分）根據下列條件，選取你認為合適的方法求出二次函數的解析式．
（1）拋物線y＝ax2+bx+c經過點（1，0），（﹣3，0），（0，﹣2）三點．
（2）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象過（2，3），（﹣2，﹣5）兩點，并且以x＝1為對稱軸．
（3）已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過一次函數y＝﹣x+3圖象與x軸、y軸的交點，且過（1，1）．
【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3），代入（0，﹣2）求得a即可；
（2）利用對稱軸方程和把兩已知點的坐標代入y＝ax2+bx+c中可得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；
（3）先求出直線與坐標軸的交點坐標，然后利用一般式求拋物線解析式．
【解答】解：（1）設y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，﹣2）代入得：﹣2＝﹣3a，
解得：a＝，
則拋物線的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+x﹣2；
（2）根據題意可知：，
解得，
則二次函數的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（3）當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則直線與y軸的交點坐標為（0，3），
當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝2，則直線與x軸的交點坐標為（2，0），
設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，
把（0，3），（2，0），（1，1）代入得，解得，
所以拋物線解析式為y＝x2﹣x+3．
21．（12分）浙江省溫州市是全國旅游勝地，2020年受新冠疫情的影響，來溫的外來游客在逐年下降．某景區(qū)外來游客人數從2019年的2.25萬下降到2021年的1.44萬．
（1）求2019年到2021年該景區(qū)外來游客人數平均每年降低的百分率；
（2）該景區(qū)要建一個游樂場（如圖所示），其中AD、CD分別靠現有墻DM、DN（墻DM長為27米，墻DN足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆DE將游樂場隔成等腰直角△CED和長方形ADEB兩部分，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為54米．
①當AB多長時，游樂場的面積為320平方米？
②當AB＝　　米時，游樂場的面積達到最大，最大為　　平方米．
【分析】（1）設2019年到2021年該景區(qū)外來游客人數平均每年降低的百分率為x，利用2021年的單價＝2019年的單價×（1﹣平均每年降低的百分率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論；
（2）根據矩形和等腰直角三角形的性質得出AB＝x米，AD＝BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米，①根據矩形和三角形的性質列方程即可得到結論；②再由矩形和三角形的面積公式可得y關于x的函數解析式，由函數的性質求最值．
【解答】解：（1）設2019年到2021年該景區(qū)外來游客人數平均每年降低的百分率x，
依題意得：2.25（1﹣x）2＝1.44，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝（不合題意，舍去），
答：2019年到2021年該景區(qū)外來游客人數平均每年降低的百分率為20%；
（2）設AB＝x米，
∵四邊形ABED是矩形，
∴AB＝DE，∠ADE＝∠DEC＝90°，
∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠EDC＝∠DCE＝45°，
∴CE＝DE＝（x﹣2）米，
∴BE＝[54﹣x﹣2（x﹣2）+2]米＝（60﹣3x）米，
①根據題意得：x（60﹣3x）＝320，
解得x1＝8，x2＝16，
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
答：當AB為8米或16米時，游樂場的面積為320平方米；
②設面積為y平方米，
根據題意得：y＝x（60﹣3x）+x2＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣12）2+360，
∵60﹣3x≤20，
∴11≤x≤20，
∴當x＝12時，y有最大值，最大值為360．
故答案為：12，360．
22．（12分）“水都數學建模”興趣小組對某超市一種熱賣的商品做了市場調查，發(fā)現該商品的進價為每件30元，開始到3月底的一段時間，超市以每件40元售出，每天可以賣出120件．從4月1日開始，該商品每天比前一天漲價1元，銷售量每天比前一天減少2件；從5月1日起到5月30日當天，該商品價格一直穩(wěn)定在每件70元，銷售量一直持續(xù)每天比前一天減少2件，設從4月1日起的第x天的銷售量為y件，銷售該商品的每天利潤為w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的銷售價為每件　　元，這段時間每天的銷售量y（件）與x（天）的函數關系式為　 ?。?br /> （2）問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于2000元？
【分析】（1）第x（1≤x≤30）天的銷售價為每件（40+x）元，銷售量y（件）與x（天）的函數關系式為y＝120﹣2x；
（2）根據每件利潤乘以銷售量為總利潤可得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，由二次函數性質可得從4月1日起，銷售該商品第25天時，當天銷售利潤最大，最大利潤2450元；
（3）當1≤x≤60時，y＝120﹣2x，分兩種情況：①當1≤x≤30時，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000可得當10≤x≤30時，每天銷售利潤不低于2000元，共21天；②當31≤x≤60時，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000可得當31≤x≤35時，每天銷售利潤不低于2000元，共5天；即得該商品在銷售過程中，共有26天，每天銷售利潤不低于2000元．
【解答】解：（1）根據題意得：第x（1≤x≤30）天的銷售價為每件（40+x）元，
這段時間每天的銷售量y（件）與x（天）的函數關系式為y＝120﹣2x，
故答案為：（40+x），y＝120﹣2x；
（2）根據題意得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴x＝25時，w取最大值2450，
答：從4月1日起，銷售該商品第25天時，當天銷售利潤最大，最大利潤2450元；
（3）∵從5月1日起到5月30日當天，銷售量一直持續(xù)每天比前一天減少2件，
∴當1≤x≤60時，y＝120﹣2x，
①當1≤x≤30時，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000得：x1＝10，x2＝40，
∴當10≤x≤30時，每天銷售利潤不低于2000元，共21天；
②當31≤x≤60時，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000得：x≤35，
∴當31≤x≤35時，每天銷售利潤不低于2000元，共5天；
綜上所述，該商品在銷售過程中，共有26天，每天銷售利潤不低于2000元．
23．（12分）平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，其中m為常數．
（1）求b的值，并用含m的代數式表示c；
（2）若拋物線y＝x2+bx+c與x軸有公共點，求m的值；
（3）設（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線y＝x2+bx+c上的兩點，請比較y2﹣y1與0的大小，并說明理由．
【分析】（1）利用待定系數法解答即可；
（2）利用配方法求得拋物線的頂點坐標，結合拋物線的性質列出方程即可；
（3）利用分類討論的方法結合拋物線的性質解答即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，
∴，
解得：．
∴b＝2，c＝m2+2m+2；
（2）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴拋物線y＝x2+bx+c的頂點為（﹣1，（m+1）2），
∵（m+1）2≥0，1＞0，
∴拋物線y＝x2+bx+c在x軸上火x軸的上方，
∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸有公共點，
∴（m+1）2＝0，
∴m＝﹣1．
（3）∵y＝x2+2x+m2+2m+2＝（x+1）2+（m+1）2，
∴拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1．
∴當a＜﹣2時，點（a，y1）在點（a+2，y2）的上方，
此時，y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0；
當a＝﹣2時，點（a，y1）與點（a+2，y2）關于拋物線的對稱軸x＝﹣1對稱，
此時，y1＝y(tǒng)2，
∴y1﹣y2＝0；
當a＞﹣2時，點（a，y1）在點（a+2，y2）的下方，
此時y1＜y2，
∴y1﹣y2＜0．
綜上，當a＜﹣2時，y1﹣y2＞0，當a＝﹣2時，y1﹣y2＝0，當a＞﹣2時，y1﹣y2＜0．
24．（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點A（﹣4，0），B（x2，0），與y軸交于點C．經過點B的直線y＝kx+b與y軸交于點D（0，2），與拋物線交于點E．
（1）求拋物線的表達式及B，C兩點的坐標；
（2）若點P為拋物線的對稱軸上的動點，當△AEP的周長最小時，求點P的坐標；
（3）若點M是直線BE上的動點，過M作MN∥y軸交拋物線于點N，判斷是否存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）先利用待定系數法求出拋物線解析式，再求出點B、C坐標；
（2）利用待定系數法可求出一次函數解析式，由A、B關于對稱軸對稱，則BE與拋物線對稱軸交點，即為△AEP的周長最小時，點P的坐標；
（3）由MN∥CD可知MN為平行四邊形的邊，設點M的坐標為（m，﹣m+2），則點N的坐標為（m，），利用MN＝CD，可得到關于m的方程，從而求出點M的坐標．
【解答】解：（1）∵點A（﹣4，0）在拋物線y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝，
∴y＝．
令y＝0，得＝0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴點B的坐標為（2，0），
令x＝0，則y＝4，
∴點C的坐標為（0，4）；
（2）如圖，

由y＝，
可得對稱軸為：，
∵△AEP的邊AE是定長，
∴當PE+PA的值最小時，△AEP的周長最小．
點A關于x＝﹣1的對稱點為點B，
∴當點P是BE與直線x＝﹣1的交點時，PE+PA的值最?。?br /> ∵直線BE經過點B（2，0），D（0，2），
∴，解得，
∴直線BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴當△AEP的周長最小時，點P的坐標為（﹣1，3）；

（3）存在點M，使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形．
∵MN∥CD，
∴要使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵點M在直線y＝﹣x+2上，
∴可設點M的坐標為（m，﹣m+2），則點N的坐標為（m，），

∴，
即，
當時，
解得，
此時點M的坐標為：（，）或（，），
當時，
解得m＝0（舍去），
綜上所述，存在點M使以點M，N，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，此時點M的坐標為：（，）或（，）．

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