第09講解三角形(判斷三角形形狀)-2023-2024高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點分類培優(yōu)講義(蘇教版必修第二冊)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第09講判斷三角形形狀【必備知識】1.公式總結(jié)1.余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍,即中推論$2.正弦定理在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即在中,3.正弦定理變形及推廣(1);(2)為的外接圓半徑);(3)(R為的外接圓半徑).4.三角形中內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系在中,,則(1).(2)(3) (4)5.三角形中的邊角關(guān)系(大邊對大角,大角對大邊).6.三角形面積公式 2.三角形解的形狀判斷三角形的形狀, 應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考, 看其是不是特殊三角形, 要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別. 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系進行判斷時,主要有如下兩條途徑:(1) 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀.(2) 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用"在中, "在使用以上兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,以免漏解. 【典例剖析】類型一:化角為邊判斷三角形形狀1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則的形狀（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【詳解】由，可得，即則，又，則則的形狀為鈍角三角形故選：C2．已知a，b，c分別為△三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則△是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】由余弦定理得：，所以，整理得，當(dāng)時，△是等腰三角形；當(dāng)時，△是直角三角形.故選：D3．設(shè)的三個內(nèi)角滿足，又，則這個三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【詳解】因的三個內(nèi)角，而，則，又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等邊三角形.故選：B4．已知的三個內(nèi)角、、滿足，則的形狀是______．【答案】直角三角形【詳解】解：由二倍角公式，可化為1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin2C，即sin2A+sin2C＝sin2B．設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由正弦定理可得a2+c2＝b2．根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．故答案為：直角三角形5．在中，，則的形狀為________（填“銳角三角形”、“鈍角三角形”或“直角三角形“）【答案】鈍角三角形【詳解】因為，結(jié)合正弦定理得，設(shè)，則，所以,結(jié)合余弦定理，又，所以，即為鈍角，所以為鈍角三角形，故答案為：鈍角三角形.6．在△中，已知，試判斷△的形狀.【答案】直角三角形【詳解】由，，∴，結(jié)合已知條件知：，即，∴△為直角三角形. 類型二:化邊為角判斷三角形形狀1．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，若，則為（）A．等腰非等邊三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【詳解】解：，所以.在中，，故，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形.故選：C．2．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A．正三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【詳解】由已知可得，即．由正弦定理得：．在中，，從而有，即．在中，，所以．由此得，故為直角三角形.故選：B.4．已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足，則的形狀是______．【答案】等腰三角形或直角三角形【詳解】在中，由余弦定理得：，所以可化為：.由正弦定理得：,所以.所以或，即或.所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故答案為：等腰三角形或直角三角形.5．在中，若，則的形狀是___________.【答案】直角三角形【詳解】解：因為，所以，即，由于在中，，所以，因為，，所以，所以，即三角形為直角三角形.故答案為：直角三角形6．在中，已知，判斷的形狀．【答案】直角三角形或等腰三角形.【詳解】因為，結(jié)合正弦定理可得,因此,即，故，從而，所以或，即或，故為直角三角形或等腰三角形. 【過關(guān)檢測】一、單選題1．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不對【答案】B【詳解】∵a＝7，b＝10，c＝6，即b>a>c，∴∠B為最大角．由余弦定理，得：cos B＝，∴∠B為鈍角．故選：B.2．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則為（）A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【詳解】由，可得，所以，所以.在中，，故，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形.故選：B3．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【詳解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形狀一定是等腰三角形，故選：A．4．在中，角A，，的對邊分別是，，，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】解：因為，所以，因為，整理得，即，所以，所以或，因為，，，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.故選：C.5．在中，角，，的對邊分別是，，，已知，則的形狀是（）．A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【詳解】解：，，即，又，，整理得，所以為直角三角形．故選：C.6．在中，若，則的形狀為（）.A．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】由正弦定理和余弦定理可得：即為，化簡可得：，故或即，故為等腰三角形或直角三角形.故選：D.二、多選題7．對于，有如下命題，其中正確的有（）A．若，則為等腰三角形B．若，則為直角三角形C．若，則為鈍角三角形D．若，則的面積為或【答案】ACD【詳解】對于A：是等腰三角形，A正確；對于B：或不一定是直角三角形，B錯誤；對于C：，為鈍角三角形，正確；對于D：由正弦定理，得而或或當(dāng)時，，當(dāng)時，，或D正確.故選：ACD.8．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列四個命題中正確的命題是（）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】AC【詳解】對于A．若，則，，即，即△ABC是等邊三角形，故A正確；對于B，若，則由正弦定理得，，則或，即或，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，若，則即，則△ABC是等腰三角形，故C正確；對于D，△ABC中，∵，∴，所以角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故D錯誤．故選：AC．三、填空題9．在中，若，則是________三角形．【答案】直角【詳解】依題意，，由正弦定理得，所以三角形是直角三角形.故答案為：直角10．在中，若，則這個三角形是________．【答案】等腰或直角三角形##直角或等腰三角形【詳解】因為，所以，，，則，所以，，即，所以，，，即，整理可得，即或，因此，為等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形.11．在中，已知，且，確定的形狀___________.【答案】等邊三角形【詳解】由三角形的內(nèi)角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA∴sinAcosB-sinBcosA=0，∴sin（A-B）=0，∴A=B∵∴即由余弦定理可得cosC= ，∵，∴，∴A=B=C=，故△ABC為等邊三角形．故答案為：等邊三角形．12．在中，角??所對的邊分別為??，若，且，則的形狀是___________.【答案】等邊三角形【詳解】，由于，故.由于，∴ .∴ ，利用正弦定理得，所以，故，所以為等邊三角形.故答案為; 等邊三角形.四、解答題13．中，，且，判斷的形狀．【答案】直角三角形【詳解】由，得；由，得，，，，又，則，所以的形狀為：直角三角形.14．在中，若試判斷的形狀.【答案】等腰三角形或直角三角形【詳解】由已知條件及正弦定理可得，，，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理得，即，或，或，為等腰三角形或直角三角形.15．已知，，分別為的內(nèi)角，，的對邊，且滿足，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（1）證明：；（2）若，判斷的形狀.【答案】（1）證明見解析；（2）等邊三角形.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴.又∵（為的外接圓半徑），∴，，，∴，∴.（2）由題意知，∴，∴∴，又∵，∴，由余弦定理知，∴.∵，∴，即，∴，又∵，∴為等邊三角形.16．在中，角，，所對邊長為，，，.（1）求角的大??；（2）若，證明：是直角三角形.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）解：，由正弦定理有：，，，因為所以因為所以，因為，所以．（2）證明：因為，所以，即，又因為，可得，即，即，而，解得，所以，由故，即是直角三角形．得證．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多