第五章   二元一次方程組5. 應(yīng)用二元一次方程組——里程碑上的數(shù) 【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)目標(biāo)1）用二元一次方程式組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場(chǎng)景中的數(shù)字問(wèn)題和行程問(wèn)題。      2）歸納出用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。2.能力目標(biāo)讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)            世界的有效數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。情感目標(biāo)在本節(jié)課上讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志和勇氣，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神。【教學(xué)重點(diǎn)】用二元一次方程組刻畫(huà)學(xué)問(wèn)題和行程問(wèn)題，初步體會(huì)列方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。【教學(xué)難點(diǎn)】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型。【教學(xué)過(guò)程】第一環(huán)節(jié)  課前熱身1.一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是ｘ，個(gè)位數(shù)字是ｙ，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為：10ｘ＋ｙ.2.一個(gè)三位數(shù)，若百位數(shù)字為ａ，十位數(shù)字為ｂ，個(gè)位數(shù)字為ｃ，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100ａ＋10ｂ＋ｃ.3.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為ａ，個(gè)位數(shù)字為ｂ，若在這兩位數(shù)中間加一個(gè)０，得到一個(gè)三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100ａ＋ｂ.已知ａ是一個(gè)兩位數(shù)，ｂ是一個(gè)三位數(shù)。若把ａ放在ｂ的左邊，得到一個(gè)五位數(shù)，則這個(gè)五位數(shù)可表示為： 1000ａ＋ｂ. 第二環(huán)節(jié)  情境引入（學(xué)生表演，情景展示）有一對(duì)父子，他們的年齡都是一個(gè)兩位數(shù)。下面是父子兩人對(duì)話：    爸爸說(shuō): “咱倆的年齡之和才68歲，爸爸還是很年輕的！”    兒子說(shuō):“若把你的年齡寫(xiě)在我的年齡的左邊，得到一個(gè)四位數(shù)；若把你的年齡寫(xiě)在我的年齡的右邊，同樣得到一個(gè)四位數(shù)?！?/span>     爸爸說(shuō):“如果這樣的話，前一個(gè)四位數(shù)會(huì)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，這樣看來(lái)爸爸已經(jīng)很老了！”    聰明的同學(xué)們，聽(tīng)完他們的對(duì)話，你認(rèn)為爸爸是很年輕還是很老呢？你能求出這對(duì)父子的年齡嗎？【分析】列方程（組）解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系。本題有兩個(gè)等量關(guān)系：        1.（父親年齡）+（兒子年齡）= 68        2.（前一個(gè)四位數(shù)）-（后一個(gè)四位數(shù)）= 2178解：設(shè)爸爸年齡為x歲，兒子年齡為y歲，根據(jù)題意得：　　   x＋y＝68　　　    （100x+y）－（100y+x）＝ 2178整理得：   x＋y ＝68     解方程組得：  x = 45               x-y ＝22                    y = 23答：爸爸的年齡為45歲，兒子的年齡為23歲。 第三環(huán)節(jié)  學(xué)以致用一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為7.如果將這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)小27，求原來(lái)的兩位數(shù)。【分析】此數(shù)字問(wèn)題應(yīng)考慮設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)數(shù)位上的數(shù)字。解：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意，得：    x＋y ＝7               解得：   x=5        10x+y-27＝ 10y+x                y=2答：原來(lái)的兩位數(shù)為52。 第四環(huán)節(jié)  例題賞析例1   甲、乙二人在一環(huán)形場(chǎng)地上從 A點(diǎn)同時(shí)同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分鐘后兩人首次相遇此時(shí)乙還需要跑 300米才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)。【分析】1.行程問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：路程=速度×時(shí)間2.環(huán)形問(wèn)題中同向追及問(wèn)題的等量關(guān)系是：快者路程-慢者路程=1圈解：設(shè)乙的速度為x米/分，則甲的速度為2.5x米/分，環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為y米。根據(jù)題意，得:   y=2.5x×4-4x     解得：   x=150                    y=4x+300                 y=900所以，2.5x=2.5*150=375答：甲、乙二人的速度分別為375米/分，150米/分，環(huán)形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為900米。 例2  小明爸爸騎著摩托車(chē)帶著小明在公路上勻速行駛，下圖是小明每隔1小時(shí)看到的里程情況。你能確定小明在12:00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)嗎？      12:00是一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和為7；13:00十位與個(gè)位數(shù)字與12:00所看到的正好顛倒了；14:00比12:00時(shí)看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0．【分析】設(shè)小明在12:00看到的數(shù)十位數(shù)字是ｘ，個(gè)位數(shù)字是y，那么 時(shí)刻百位數(shù)字十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字表達(dá)式12:00 xy10x+y13:00 yx10y+x14:00x0y100x+y 相等關(guān)系：1. 12:00看到的數(shù)，兩個(gè)數(shù)字之和是7，　　　　　2. 每隔一小時(shí)的路程差相等?！　　　　　?/span> 解：設(shè)小明在12:00時(shí)看到的數(shù)的十位數(shù)字是x ，個(gè)位數(shù)字是y ,根據(jù)題意，得:　　   x＋y＝7　，　　　    （10y＋x）－（10x＋y）＝ （100x＋y）－（10y＋x）解方程組：   x＋y ＝7，（10y＋x）－（10x＋y）＝ （100x＋y）－（10y＋x）.整理得：  x＋y＝7，     解得：  x = 1          y＝6x.                y = 6因此，小明在12:00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是16．提示：要學(xué)會(huì)在圖表中用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出要分析的量；然后根據(jù)等量關(guān)系列方程。【小結(jié)】對(duì)較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)列表格的方法幫助理清題中的未知量，已知量之間的數(shù)，以便根據(jù)等量關(guān)系列方程（組）。 第五環(huán)節(jié)  鞏固提高甲、乙兩人分別從相距 30千米的 A，B兩地同時(shí)相向而行,經(jīng)過(guò)3小時(shí)后相距3千米，再經(jīng)過(guò)2小時(shí)，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙兩人的速度嗎？解：設(shè)甲的速度為為x千米/時(shí)，乙的速度為y千米/時(shí)。   （1）當(dāng)兩人相遇之前相距3千米時(shí)，根據(jù)題意，得:         3x＋3y＝30-3                 解得：    x=4         30-5x＝2(30-5y)                        y=5(2）當(dāng)兩人相遇之后相距3千米時(shí)，根據(jù)題意，得:         3x＋3y＝30+3                 解得：    x=         30-5x＝2(30-5y)                        y=綜上，甲的速度為 4千米/時(shí)，乙的速度為 5千米/時(shí)；或甲的速度為千米/時(shí)，乙的速度為   千米/時(shí)。【小結(jié)】解有關(guān)行程問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，要注意分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。 第六環(huán)節(jié)  能力升華你愿意當(dāng)一次編題小老師嗎？    請(qǐng)以小組為單位開(kāi)展討論，根據(jù)實(shí)際背景編一道應(yīng)用題，使得其中的未知數(shù)滿(mǎn)足方程組：x+y=3600=50   試試看，比比誰(shuí)做得更好！ 第七環(huán)節(jié)  課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？關(guān)于數(shù)字問(wèn)題的應(yīng)用題，一般情況下要設(shè)間接未知數(shù)（設(shè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字），用這些未知數(shù)表示相關(guān)數(shù)量，再根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)。    2.對(duì)較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)列表格的方法理清題中的未知量，已知量之間的數(shù)，以便根據(jù)等量關(guān)系列方程（組）。3.解有關(guān)行程問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，要注意分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。4.用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：①審清題意； ②找出等量關(guān)系； ③設(shè)未知數(shù)x,y；  ④列出二元一次方程組；      ⑤解方程組； ⑥檢驗(yàn)； ⑦作答。 第八環(huán)節(jié)  課后作業(yè)A組：1）小亮和小明做加法游戲，小明在第一個(gè)加數(shù)的后面多寫(xiě)一個(gè)0，所得和是242；小亮在另一個(gè)加數(shù)的后面多寫(xiě)一個(gè)0，所得和是341，求原來(lái)的兩個(gè)加數(shù)分別是多少? 2）甲、乙兩人相距42km，如果兩人從兩地相向而行，2小時(shí)后相遇，如果二人同時(shí)從兩地出發(fā)，同向而行，14小時(shí)后乙追上甲，求二人的速度。3）汽車(chē)在上坡時(shí)速度為28km/h，下坡時(shí)速度42km/h，從甲地到乙地用了4小時(shí)30分，返回時(shí)用了4小時(shí)40分，從甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？B組：1）一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1.這個(gè)兩位數(shù)是多少？2）A、B兩地相距36千米，甲從A地步行到B地，乙從B地步行到A地，兩人同時(shí)相向出發(fā)，4小時(shí)后兩人相遇，6小時(shí)后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？3）兒子問(wèn)父親今年多大，父親笑著對(duì)兒子說(shuō)：“我像你這么大時(shí)，你才1歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng) 67歲了！”你知道父子倆今年各多少歲嗎？你有幾種解決問(wèn)題的方法？

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