【同步教案】北師大版數(shù)學八年級上冊--1.1 勾股定理的圖形驗證教案-教案下載-教習網

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理（第2課時）一、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生在上節(jié)課已經通過測量和數(shù)格子的方法，對特殊的直角三角形進行了探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進行一般性的驗證.學生活動經驗基礎：學生具有了一定的自主探究經驗和合作學習的經驗，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；尤其在在七年級《圖案設計》的學習中已經具備了一定的拼圖活動經驗.二、教學任務分析本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內容，具體學習任務：通過拼圖驗證勾股定理并體會其中數(shù)形結合的思想；應用勾股定理解決一些實際問題，體會勾股定理的應用價值并逐步培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決實際問題意識和能力，為后面的學習打下基礎.為此本節(jié)課的教學目標是：1.了解勾股定理的歷史,感受數(shù)學文化;2.探究驗證勾股定理的三類方法:(1)等面積,兩算法;(2) 無字的證明;(3)歐氏幾何證明;3.能初步應用勾股定理解決一些實際問題.4.經歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結合的思想和從特殊到一般的思想, 培養(yǎng)學生的探究能力和合作精神.教學重點: 探究驗證勾股定理的三類方法教學難點: 驗證勾股定理的三類方法三、教學過程本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：（一）史話勾股定理；（二）探究勾股定理的三類證明方法；（三）例題講解,勾股定理的初步應用;（四）課堂練習;（五）拓展延伸；（六）反思小結；（七）布置作業(yè)第一環(huán)節(jié): 史話勾股定理1．觀看關于勾股定理歷史的視頻視頻大致內容：3000多年前，古巴比倫人和古埃及人都已經對發(fā)現(xiàn)了勾股定理，在我國1000多年前，周朝數(shù)學家商高在提出了：“勾廣三，股修四，經隅五”的勾股定理的特例，最早給出證明的是公元前6世紀古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯，公元前4世紀，歐幾里德在?幾何原本?中給出了一種很好的證明，在我國最早給出證明的是公元前三世紀的數(shù)學家趙爽，稍后一時期的劉徽在?九章算術?用“青朱出入圖”這種無字的證明方法驗證了勾股定理。直到現(xiàn)在有500多種證明方法，今天就讓我們沿著歷史的足跡探究勾股定理。第二環(huán)節(jié): 探究勾股定理的證明方法第一種類型：等面積兩算法方法一：畢達哥拉斯的證明1 問題背景

相傳有一天，畢達哥拉斯去朋友家里做客，發(fā)現(xiàn)朋友家的地磚是方磚，他在方磚上畫了一個等腰直角三角形，并以三條邊向外做了三個正方形，聰明的畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)：以直角邊為邊的兩個正方形的面積的和等于以斜邊為邊的正方形的面積。由此，他猜想：任意一個直角三角形，兩條直角邊的平方和都等于斜邊的平方。2. 探究思路與方法

圖1 （1）如圖1你能表示兩個大正方形的面積嗎？（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（板書） a2+b2+4×

ab =c2+4×

ab2,并得到

方法二：趙爽弦圖1歷史背景

在我國最早給出證明的是公元前三世紀的數(shù)學家趙爽，他在周髀算經中用一張他所謂的弦圖證明了勾股定理，2002年全世界數(shù)學家大會的會徽就是這張弦圖，以此紀念這位偉大的數(shù)學家。2 探究趙爽弦圖的思路與方法

圖2(1) 如圖2，用幾何畫板演示將兩個小正方形拼成趙爽弦圖；(2) 小組交流拼出趙爽弦圖，你能用兩種方法表示這個圖形的面積嗎？（學生板書并講解）(b-a)2+4×

ab =c2,得到

第二種類型：無字證明方法三：青朱出入圖（無字的證明）1 歷史背景

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比趙爽稍微晚些的數(shù)學家劉徽在?九章算術?用“青朱出入圖”驗證了勾股定理，由于證明過程沒有用一個字，因此把這種證明又稱為無字的證明。2 探究青朱出入圖的與方法

圖3 如圖3，用幾何畫板演示青朱出入圖驗證勾股定理的過程。第三種類型：歐氏幾何證明方法四：歐幾里得證明1歷史背景

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公元前4世紀，歐幾里德在?幾何原本?中給出了一種很好的證明2 探究歐幾里德證明的思路與方法

圖4(1) 如圖4：教師分析思路并給出輔助線方法，從Rt△ABC的三邊向外各作一個正方形（如圖4），作AN⊥BC交AB于N，那么正方形ABED被分成兩個矩形．連結AH和EC．（2）小組交流驗證方法（多媒體展示） ∵由于矩形BNHM和△ABH同底等高∴S矩形BNHM＝2S△ABH 又∵正方形ABED和△EBC同底等高∴S正方形ABED＝2S△EBC．又∴△EBC≌△ABH．由此可得S矩形BHMN＝S正方形ABED 同理可證S矩形NCMK＝S正方形AFGC ∴S矩形BHMN＋S矩形NCMK＝S正方形ABED＋S正方形AFGC 即S正方形BHCK＝S正方形ABED＋S正方形AFGC，也就是 a2+b2=c2．總結勾股定理的證明方法:分三種類型第一種類型：等面積兩算法以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，一圖兩算來證明代數(shù)式之間的恒等關系；第二種類型：無字證明以劉徽的“青朱出入圖”為代表，“無字證明”。第三種類型：歐氏幾何證明歐氏幾何證明以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明；第三環(huán)節(jié): 勾股定理的應用

例1: 如圖5，飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂上方4 km處，過了20 s，飛機距離這個男孩子頭頂5 km，飛機每小時飛行多少千米？解：Rt △ ABC中，由勾股定理得： AB2 = BC2 + AC2 即 52 = BC2 + 42，所以 BC=3 飛機20 s飛行了3 km,那么1小時飛行的距離為： 3 x 3 x 60= 540 km，即：飛機每小時飛行540 km。圖5第四環(huán)節(jié): 課堂練習1.如圖6,三個正方形中其中兩個面積S2、S3分別為 144、169,則第三個正方形的面積S1為____。

圖6 圖72.如圖7，是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經濟發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接B，C，E三城市的沿江高速，已知沿江高速的建設成本是100萬元/ km，該沿江高速的造價預計是多少？解：Rt △ ABC中，由勾股定理得： BC2 =A B2 + AC2 即BC 2 =30 2 + 402，所以 BC=50 Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2 即CE 2 =50 2 + 1202，所以 CE=130 所以 BE=BC+CE=180 KM 180 x 100=18000 萬元即：該沿江高速的造價預計是18000 萬元第五環(huán)節(jié): 拓展延伸以小組為單位，用幾何畫板探究以下問題：(1) 如圖8，在前面已經討論了直角三角形三邊滿足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關系呢？

圖8 圖9(2) 如圖9，在任意一個三角形中,如果一個角是銳角,那么這個三角形中夾這個銳角兩邊的平方和與第三邊的平方有怎樣的大小關系呢?如果這個角是鈍角呢?(以圖中的∠ P 為例來探討) 第六環(huán)節(jié):課堂小結1.驗證勾股定理的三類方法: 第一種類型：等面積兩算法第二種類型：無字證明第三種類型：歐氏幾何證明2.勾股定理的初步應用3．欣賞美麗的勾股樹在幾何畫板中欣賞動態(tài)勾股樹,感受數(shù)學中的美!