1.了解勾股定理的內(nèi)容，理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（重點）2.能夠運用勾股定理進行簡單的計算．（難點）
如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問我們來一起探索吧.
（圖中每一格代表 一平方厘米）
（1）正方形P的面積是 平方厘米；
（2）正方形Q的面積是 平方厘米；
（3）正方形R的面積是 平方厘米.
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三個正方形的面積之間有什么關(guān)系？
做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.
填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表（每個小正方形的面積為單位1）.
4
怎樣計算正方形C的面積呢？
9
16
分割為四個直角三角形和一個小正方形.
補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積.
將幾個小塊拼成若干個小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形.
分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作出一個直角三角形ABC，測量斜邊的長度，然后驗證上述關(guān)系對這個直角三角形是否成立.
幾何語言：∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.
定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.
　直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2．
求下列直角三角形中未知邊的長:
解：由勾股定理可得： 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15
解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13
我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：
穿越畢達哥拉斯做客現(xiàn)場
例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根據(jù)三角形面積公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= .
由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．
例2 如圖，已知AD是△ABC的中線． 求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
證明：如圖，過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， ∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時，通常沿著這個思路去分析問題．
解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.
例3 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．
題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．
當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.
解析：因為AE＝BE，所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.又因為AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝ AB2＝ ；同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.又因為AC2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為 AB2＝ .
例4 如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．
求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．
求下列圖形中未知正方形的面積及未知邊的長度（口答）：
已知直角三角形兩邊，求第三邊.
1.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .
2. 求下列圖中未知數(shù)x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 即:x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 即:y2=25 y=5
3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，則c= . （2）若c=13，b=12，則a= .4.若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三 邊長的平方為（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25
5.一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖),這時梯腳與墻的距離是多少?
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得：BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7.答：梯腳與墻的距離是0.7米.
6.求斜邊長17 cm、一條直角邊長15 cm的直角三角形的面積.
解：設(shè)另一條直角邊長是x cm. 由勾股定理得:152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64，所以 x=±8（負值舍去），所以另一直角邊長為8 cm，
直角三角形的面積是:
S5=S1+S2=4，
S7=S5+S6=10.
已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.
S6=S3+S4=6，
如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為 c ，那么a2+b2=c2

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1 探索勾股定理

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