1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系：屬于或不屬于，分別記為∈和?.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．
(4)常見數(shù)集的記法
2.集合間的基本關系
3.集合的基本運算
eq \([常用結論])
1．若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1.
2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.
[基礎自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)任何集合都至少有兩個子集．( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.( )
(3)若{x2，x}＝{－1,1}，則x＝－1.( )
(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.( )
[解析] (1)錯誤．空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的．
(2)錯誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集．因此A，B，C不相等．
(3)正確．
(4)錯誤．當A＝?時，B，C可為任意集合．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(10)}，a＝2eq \r(2)，則下列結論正確的是( )
A．{a}?A B．a(chǎn)?A
C．{a}∈A D．a(chǎn)?A
D [由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq \r(2)知，a?A.]
3．設集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
A [A∪B＝{1,2,3,4}．]
4．設集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
C [?AB＝{0,2,6,10}．]
5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]
1．設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數(shù)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [因為集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以當b＝4，a＝1,2,3時，x＝5,6,7.
當b＝5，a＝1,2,3時，x＝6,7,8.
由集合元素的互異性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4個元素．]
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8) C．0 D．0或eq \f(9,8)
D [若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．
當a＝0時，x＝eq \f(2,3)，符合題意；
當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq \f(9,8)，
所以a的取值為0或eq \f(9,8).]
3．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2 019＋b2 019為( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1
C [由已知得a≠0，則eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]
4．設集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝________.
1 [由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.
解得a＝1.]
[規(guī)律方法] 與集合中的元素有關的問題的求解策略
?1?確定集合中的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集.
?2?看這些元素滿足什么限制條件.
?3?根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.
【例1】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則( )
A．B?A B．A＝B
C．AB D．BA
(2)(2019·大慶模擬)集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x－3)≤0))))，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則集合B的子集個數(shù)為( )
A．5 B．8 C．3 D．2
(3)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的取值集合為________．
(1)C (2)B (3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0)) [(1)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，則AB，故選C.
(2)由eq \f(x＋1,x－3)≤0得－1≤x＜3，則A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的個數(shù)為23＝8個．
(3)A＝{－3,2}，若a＝0，則B＝?，滿足B?A，
若a≠0，則B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，由B?A知，eq \f(1,a)＝－3或eq \f(1,a)＝2，故a＝－eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,2)，因此a的取值集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0)).]
[規(guī)律方法] 1.集合間基本關系的兩種判定方法
?1?化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關系.
?2?用列舉法?或圖示法等?表示各個集合，從元素?或圖形?中尋找關系.
2.根據(jù)集合間的關系求參數(shù)的方法,已知兩集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解.
易錯警示：B?A?A≠??，應分B＝?和B≠?兩種情況討論.
(1)(2018·長沙模擬)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________．
(1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A?C?B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故選C.
(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A?B，則a≥2.]
?考法1 集合的運算
【例2】 (1)(2018·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
(2)(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
(3)(2019·桂林模擬)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，則下列關系正確的是( )
A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}
C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}
(1)C (2)B (3)B [(1)由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1,2}．
(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.
法二：因為A＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.
(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故選B.]
?考法2 利用集合的運算求參數(shù)
【例3】 (1)設集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是( )
A．－1＜a≤2 B．a(chǎn)＞2
C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)＞－1
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為( )
A．0 B．1 C．2 D．4
(3)(2019·廈門模擬)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1
C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)＞2
(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠?知，集合A，B有公共元素，作出數(shù)軸，如圖所示：
易知a＞－1，故選D.
(2)由題意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故選D.
(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B?A，則a≥2，故選C.]
[規(guī)律方法] 解決集合運算問題需注意以下三點：
?1?看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.
?2?看集合能否化簡，集合能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于求解.
?3?要借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，并注意端點值的取舍.
(1)(2019·東北三省四市聯(lián)考)設集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，則A∪B＝( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－1,3) D．(1,3)
(2)(2019·西安模擬)設集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，則(?RA)∩B＝( )
A．{1} B．{2} C．{1,2} D．?
(3)(2017·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
(4)(2019·長沙模擬)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝lg3x，x∈A}，則A∩B＝( )
A．{1,3} B．{1,3,9}
C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}
(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故選C.
(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，則?RA＝{x|1＜x＜2}．
又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(?RA)∩B＝?，故選D.
(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故選C.
(4)因為A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝lg3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{1,3}．]
1．(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A [由題意知A∩B＝{0,2}．]
2．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－eq \r(3)≤x≤eq \r(3)，－eq \r(3)≤y≤eq \r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數(shù)為9，故選A.]
3．(2017·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x0}，則( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) B．A∩B＝?
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) D．A∪B＝R
A [因為B＝{x|3－2x＞0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2)))))，A∪B＝{x|x＜2}．
故選A.]
4．(2015·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為( )
A．5 B．4 C．3 D．2
D [分析集合A中元素的特點，然后找出集合B中滿足集合A中條件的元素個數(shù)即可．
集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.故選D.]集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
關系
文字語言
符號語言
記法
基本關系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A?x∈B
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于A
A?B，?x0∈B，x0?A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A?B，B?A?A＝B
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
?x，x??，??A
?
表示
運算
文字語言
符號語言
圖形語言
記法
交集
屬于A且屬于B的元素組成的集合
{x|x∈A且x∈B}
A∩B
并集
屬于A或屬于B的元素組成的集合
{x|x∈A或x∈B}
A∪B
補集
全集U中不屬于A的元素組成的集合
{x|x∈U，x?A}
?UA
集合的含義與表示
集合間的基本關系
集合的基本運算

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