?第四節(jié)　數(shù)列求和
[考綱傳真]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法．

1．公式法
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：

2．分組轉化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．
3．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解．
5．倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．
6．并項求和法
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

1．一些常見的數(shù)列前n項和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．常用的裂項公式
(1)＝；
(2)＝＝；
(3)＝－；
(4)loga＝loga(n＋1)－logan.
[基礎自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝. (　　)
(2)當n≥2時，＝. (　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得． (　　)
(4)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C. D.
B　[∵an＝＝－，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.]
3．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，則S50＝________.
－25　[S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.]
4．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于________．
n2＋1－　[Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
＝n2＋＝n2＋1－.]
5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.
4－　[設S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，則S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.
兩式相減得S＝3×＋－.
∴S＝3＋－
＝3＋－
＝4－.]


分組轉化求和
【例1】　(2019·黃山模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．
[解]　(1)當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
[拓展探究]　在本例(2)中，如何求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解]　由本例(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.
當n為偶數(shù)時，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；
當n為奇數(shù)時，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]
＝2n＋1－2＋－n
＝2n＋1－－.
所以Tn＝
[規(guī)律方法]　分組轉化法求和的常見類型,(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和；,(2)通項公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法求和.
等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)令cn＝設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
[解]　(1)設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，
由
得解得
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1，
得Sn＝＝n(n＋2)，
則cn＝
即cn＝
∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋
＝＋(4n－1)．

錯位相減法求和

【例2】　(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和(n∈N*)．
[解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因為q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8. ①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16. ②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n.
(2)設數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為Tn，由a2n＝6n－2，
b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故
Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， ①
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，②
①－②，得
－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8，
得Tn＝×4n＋1＋.
所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為×4n＋1＋.
[規(guī)律方法]　錯位相減法求和時的3個注意點
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式，同時應注意差式中成等比數(shù)列的項數(shù).
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
(2019·阜陽模擬)設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)當d＞1時，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
[解]　(1)由題意得
即
解得或
故或
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是
Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋. ②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.

裂項相消法求和
?考法1　形如an＝型
【例3】　(2019·濟南模擬)已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足4Sn＝a＋2an－3對任意的正整數(shù)n都成立．
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項公式；
(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解]　(1)當n＝1時，4S1＝a＋2a1－3，即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3或a1＝－1(舍去)，
由4Sn＝a＋2an－3，得當n≥2時，4Sn－1＝a＋2an－1－3，兩式相減，
得4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又an＞0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1，得Sn＝·n＝n(n＋2)，
∴bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
＝＝－.
?考法2　形如an＝型
【例4】　已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 019＝________.
2－1　[由f(4)＝2，可得4α＝2，
解得α＝，則f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1＝2－1.]
[規(guī)律方法]　利用裂項相消法求和的注意事項
(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項；
(2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.如：若{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，則,.
(2019·山西八校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a1＋a4＋a7＝30，其前n項和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
[解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.
法一：由已知可得
即解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
法二：由等差數(shù)列的性質可得a1＋a4＋a7＝3a4＝30，解得a4＝10，
所以d＝＝＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×3＝3n－2.
(2)由(1)知Sn＝，
所以Sn＋2n＝＋2n＝＝，
所以＝＝.
所以Tn＝×＋×＋…＋＝＝.

1．(2017·全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
[解]　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
兩式相減得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由題設可得a1＝2，滿足上式，
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知＝＝－，
則Sn＝－＋－＋…＋－＝.
2．(2014·全國卷Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
[解]　(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，
由題意得a2＝2，a4＝3.
設數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，
從而a1＝.
所以{an}的通項公式為an＝n＋1.
(2)設的前n項和為Sn.由(1)知＝，則
Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋.
兩式相減得
Sn＝＋－
＝＋－.
所以Sn＝2－.

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