?第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù)
[考綱傳真]　1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．

1．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)；
零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)．
(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
圖象


定義域
R
值域


單調(diào)性
在上減，
在上增
在上增，
在上減
奇偶性
當(dāng)b＝0時為偶函數(shù)
對稱性
函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱


2．冪函數(shù)
(1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
(2)五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)特征性質(zhì)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
圖象





定義域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增
(－∞，0)減，
(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和
(0，＋∞)減
公共點(diǎn)
(1,1)

1．與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則
(1)f(x)＞0恒成立的充要條件是；
(2)f(x)＜0恒成立的充要條件是；
(3)f(x)＞0(a＜0)在區(qū)間[m，n]恒成立的充要條件是；
(4)f(x)＜0(a＞0)在區(qū)間[m，n]恒成立的充要條件是.
2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖象特征
(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性．
(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
(3)當(dāng)α＞0時，y＝xα在[0，＋∞)上為增函數(shù)；
當(dāng)α＜0時，y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù)．
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)． (　　)
(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
(3)冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)． (　　)
(4)當(dāng)n＞0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改編)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(4,2)，若f(m)＝3，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.　　　　　　　　 B．±
C．± D．9
D　[由題意可知4α＝22α＝2，所以α＝.
所以f(x)＝x＝，
故f(m)＝＝3?m＝9.]
3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
C　[由題意知即得a＞.]
4．(教材改編)如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)

A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b
D　[由圖象知②③的指數(shù)大于零且b＞c，①的指數(shù)小于零，因此b＞c＞a，故選D.]
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.
4　[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函數(shù)知a－4＝0，所以a＝4.]


冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(8,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　)

A　　　　　B　 　　C　　　　D
C　[令f(x)＝xα，由f(8)＝2得8α＝2，
即23α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，故選C.]
2．若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　　 B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D　[a＝＝，b＝＝，c＝，由＜＜得b＜a＜c，故選D.]
3．(2019·蘭州模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α等于(　　)
A. B．1
C. D．2
C　[由冪函數(shù)的定義知k＝1.
又f＝，
所以＝，解得α＝，從而k＋α＝.]
4．若(a＋1) ＜(3－2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
　[易知函數(shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得－1≤a＜.]
[規(guī)律方法]　冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系
(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.
(2)判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷.
(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0.


求二次函數(shù)的解析式
【例1】　(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________.
(2)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.
(1)－4x2＋4x＋7　(2)x2＋2x　[(1)法一(利用一般式)：
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得
解得∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用頂點(diǎn)式)：
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴拋物線的圖象的對稱軸為x＝＝.
∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，
解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
(2)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，
由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.]
[規(guī)律方法]　求二次函數(shù)解析式的方法

(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.
(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.
(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4　[(1)由題意知解得
從而f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，所以－a＝－，即b＝－2或a＝0，
當(dāng)a＝0時，則f(x)＝bx2，值域?yàn)?－∞，0]或[0，＋∞), 不滿足已知值域(－∞，4]，∴a＝0舍去，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，
所以2a2＝4，
故f(x)＝－2x2＋4.]


二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

?考法1　二次函數(shù)的圖象
【例2】　已知abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)

D　[A項(xiàng)，因?yàn)閍＜0，－＜0，
所以b＜0.又因?yàn)閍bc＞0，所以c＞0，
而f(0)＝c＜0，故A錯．
B項(xiàng)，因?yàn)閍＜0，－＞0，所以b＞0.
又因?yàn)閍bc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B錯．
C項(xiàng)，因?yàn)閍＞0，－＜0，所以b＞0.
又因?yàn)閍bc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C錯．
D項(xiàng)，因?yàn)閍＞0，－＞0，所以b

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