高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第8章_第5節(jié)_橢圓（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第五節(jié)　橢圓
[考綱傳真]　1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)．

1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓．
(2)若a＝c，則集合P為線段．
(3)若a＜c，則集合P為空集．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形

性質(zhì)

范圍
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
離心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

與橢圓定義有關(guān)的結(jié)論
以橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時，S△PF1F2取最大值，為bc.
(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．
(5)已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓． (　　)
(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)． (　　)
(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． (　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．(教材改編)設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　B．5　　　　C．8　　　　D．10
D　[依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
3．若方程＋＝1表示橢圓，則m的取值范圍是(　　)
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
C　[由方程表示橢圓知解得－30，故m＝3.]
5．(教材改編)已知橢圓的一個焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
＋＝1　[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．因?yàn)闄E圓的一個焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率e＝，所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.]

橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是(　　)
A．2　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．12
C　[由橢圓的方程得a＝.設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.]
2．(2019·濟(jì)南調(diào)研)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D　[設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1.]
3．(2019·徐州模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
3　[設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
4．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為________．
＋＝1　[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由解得m＝，n＝. ∴橢圓方程為＋＝1.]
[規(guī)律方法]　1.橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．
(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．
2．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多采用定義法和待定系數(shù)法．
(2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．

橢圓的幾何性質(zhì)
?考法1　求離心率的值或取值范圍
【例1】　(1)(2017·浙江高考)橢圓＋＝1的離心率是(　　)
A. B.
C. D.
(2)若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
(1)B　(2)D　[(1)∵橢圓方程為＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.
故選B.
(2)設(shè)P到兩個焦點(diǎn)的距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k＝2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差的最大值為2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥.又∵00，即－3