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1．雙曲線定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時，P點不存在．2．雙曲線的標(biāo)準方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)圖形
性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±xy＝±x離心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝.三種常見雙曲線方程的設(shè)法(1)若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設(shè)方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設(shè)雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)．(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦長為.[基礎(chǔ)自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線． ( )(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線． ( )(3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0. ( )(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．雙曲線－＝1的焦距為( )A．5 B. C．2 D．1C [由雙曲線－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以雙曲線－＝1的焦距為2.]3．(教材題改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝( )A．2 B. C. D．1D [依題意，e＝＝＝2，∴＝2a，則a2＝1，a＝1.]4．設(shè)P是雙曲線－＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.17 [由題意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P點在雙曲線的左支，則有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為________．－y2＝1 [由題意可得解得a＝2，則b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1.]
雙曲線的定義及應(yīng)用1. 已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝( )A. B. C. D.C [∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，則cos∠F1PF2＝＝＝.選C.]2．若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是( )A．8 B．9 C．10 D．12B [由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標(biāo)為(－4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號．][規(guī)律方法] 雙曲線定義的兩個應(yīng)用一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程；二是在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|，|PF2|的聯(lián)系. 
雙曲線的標(biāo)準方程 【例1】 設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準方程是________．－＝1 [法一：橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求雙曲線的標(biāo)準方程為－＝1.法二：橢圓＋＝1的焦點坐標(biāo)是(0，±3)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，①又點(，4)在雙曲線上，所以－＝1，②聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的標(biāo)準方程為－＝1.法三：設(shè)雙曲線的方程為＋＝1(27<λ<36)，由于雙曲線過點(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，經(jīng)檢驗λ1＝32，λ2＝0都是方程的根，但λ＝0不符合題意，應(yīng)舍去，所以λ＝32.故所求雙曲線的標(biāo)準方程為－＝1.][規(guī)律方法] 求雙曲線標(biāo)準方程的一般方法?1?待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值.與雙曲線
＝1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為?λ≠0?.?2?定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點位置確定c的值.
(1)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為( )A.－＝1 B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝1(2)(2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點重合，其一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的標(biāo)準方程為( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1(1)D (2)B [(1)由題意知，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，因為雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，所以＝，由雙曲線的一個焦點為F(2,0)可得a2＋b2＝4，所以|b|＝，即b2＝3，所以a2＝1，故雙曲線的方程為x2－＝1.(2)∵x2＝24y，∴焦點為(0,6)，∴可設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)．∵漸近線方程為y＝±x，其中一條漸近線的傾斜角為30°，∴＝，c＝6，∴a2＝9，b2＝27.其方程為－＝1.]
雙曲線的幾何性質(zhì)?考法1 求雙曲線的離心率的值(或范圍)【例2】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是( )A．(，＋∞) B．(，2)C．(1，) D．(1,2)
(2)(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )A. B．2 C. D.(1)C (2)C [(1)由題意得雙曲線的離心率e＝.∴e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.故選C.(2)不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，則F2到y＝x的距離d＝＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a.又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中，根據(jù)余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.]?考法2 雙曲線的漸近線問題【例3】 (1)(2019·合肥質(zhì)檢)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________．(2)已知F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是________．(1)y＝±x (2)x±y＝0 [(1)因為e＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，則此雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.(2)由題意，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則根據(jù)雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0.]?考法3 求雙曲線的方程【例4】 已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1B [由離心率為，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由題意知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以雙曲線的方程為－＝1.][規(guī)律方法] 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略?1?求雙曲線的離心率或范圍.依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.?2?求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程. (1)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是( )A．(－1,3) B．(－1，)C．(0,3) D．(0，)(2)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．(1)A (2)2 [(1)若雙曲線的焦點在x軸上，則又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴∴－1<n<3.若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準方程為－＝1，即即n>3m2且n<－m2，此時n不存在．故選A.(2)由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，兩邊同除以a2，得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.]
1．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±xA [因為雙曲線的離心率為，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化簡得2a2＝b2，所以＝.因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以y＝±x.故選A]2．(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為( )A. B．2 C. D．2D [法一：由離心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點到直線的距離公式，得點(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D.法二：離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點到直線的距離公式得點(4,0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D.]
3．(2017·全國卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________.5 [∵雙曲線的標(biāo)準方程為－＝1(a>0)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.又雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5.]
這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練教案8.5 雙曲線（含解析），共25頁。
這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第8章_第5節(jié)_橢圓（含答案解析），共10頁。
這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第8章_第3節(jié)_圓的方程（含答案解析），共8頁。
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