?第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值

[考綱傳真]　1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．

1．增函數(shù)、減函數(shù)

增函數(shù)
減函數(shù)
定
義
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖
象
描
述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的

　函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
(1)對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D上是增函數(shù)，＜0?f(x)在D上是減函數(shù)．
(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．
(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．
(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)． (　　)
(2)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)
(3)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)． (　　)
(4)函數(shù)y＝x2－2x在區(qū)間[3，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．(教材改編)如圖是函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,3]上的圖象，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．f(x)在[－4，－1]上是減函數(shù)，在[－1,3]上是增函數(shù)
B．f(x)在區(qū)間(－1,3)上的最大值為3，最小值為－2
C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．當(dāng)直線y＝t與y＝f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)－1＜t＜2
C　[由圖象知，函數(shù)f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故選C.]
3．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．
2　　[可判斷函數(shù)f(x)＝在[2,6]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]
4．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________．
　[由題意知2k＋1＜0，得k＜－.]
5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______，f(x)max＝________.
[1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]


確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

【例1】　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，－2)　　　　　 B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　[由x2－2x－8>0，得x>4或xf(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
A　[法一：分析f(x)的奇偶性和單調(diào)性，然后對(duì)所給不等式作出等價(jià)轉(zhuǎn)化．
∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)遞增，y＝－也遞增，
根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
綜上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1

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