第三節(jié)　圓的方程[考綱傳真]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．課前3.TIF1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圓心，半徑2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．圓的三個性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．2．兩個圓系方程具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b為定值，r是參數(shù)；(2)半徑相等的圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)．[基礎(chǔ)自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (　　)(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．    (　　)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.????????????? ????????????? (　　)(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.  (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改編)已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　)A．x2＋y2＝2　　　　　　 B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1   D．x2＋y2＝4A　[AB的中點坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝＝2，所以圓的方程為x2＋y2＝2.]3．點(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　)A．點在圓外          B．點在圓內(nèi)C．點在圓上   D．不能確定A　[將點(m2,5)代入圓方程，得m4＋25>24.故點在圓外，故選A.]4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)A．R          B．(－∞，1)C．(－∞，1]   D．[1，＋∞)B　[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圓，則5－5k>0，解得k<1.故實數(shù)k的取值范圍是(－∞，1)．故選B.]5．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1         B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1   D．(x－3)2＋(y－1)2＝1A　[由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又圓與直線4x－3y＝0相切，∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選A.]課堂3.TIF題型1.TIF求圓的方程 2-51.tif1. 過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4　　 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4   D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C　[AB的中垂線方程為y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交點得圓心(1,1)，半徑為2，因此圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故選C.]2．已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________．(x－1)2＋(y＋4)2＝8　[過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．所以半徑r＝＝2，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．x2＋y2－2x＝0　[法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴ 解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.法二：畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]KT19+307.tif[規(guī)律方法]　求圓的方程的方法?1?直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.?2?待定系數(shù)法①若已知條件與圓心?a，b?和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值. 題型2.TIF與圓有關(guān)的最值問題 ?考法1　斜率型最值問題【例1】　已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則的最大值為________，最小值為________．?。?/span>　[原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±.(如圖所示)KT19+308.tif所以的最大值為，最小值為－.?考法2　截距型最值問題【例2】　已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．[解]　設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1.?考法3　距離型最值問題【例3】　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)．求|MQ|的最大值和最小值；[解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.又|QC|＝＝4，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.[規(guī)律方法]　與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法?1?形如形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.?2?形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.?3?形如m＝?x－a?2＋?y－b?2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.跟蹤練習(xí).TIF (1)如果實數(shù)x，y滿足圓(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范圍是________．(2)由直線y＝x＋1上的一點向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為________．(1)　(2)　[(1)(x，y)在圓上，表示的是圓上的點(x，y)與點(1，－3)連線的斜率，結(jié)合圖象(圖略)，求出過點(1，－3)與圓相切的一條切線的斜率不存在，另一條切線斜率設(shè)為k，切線方程為kx－y－3－k＝0，圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，k＝，故取值范圍是.(2)切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝＝2，圓的半徑為1，故切線長的最小值為＝＝.] 題型3.TIF與圓有關(guān)的軌跡問題    【例4】　已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．[解]　(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.[規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法?1?直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.?2?定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.?3?幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.?4?代入法?相關(guān)點法?：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解.跟蹤練習(xí).TIF 已知點A(－1,0)，點B(2,0)，動點C滿足|AC|＝|AB|，求點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程．[解]　由題意可知：動點C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9.設(shè)M(x0，y0)，則由中點坐標(biāo)公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入點C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9，化簡得x＋(y0－2)2＝，故點M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝.真題3.TIF1．(2015·全國卷Ⅱ)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝(　　)A．2　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．10C　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C.]2．(2015·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.]2017-Ⅲ-20理.tif3．(2017·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．[解]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐標(biāo)原點O在圓M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝.由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.當(dāng)m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.當(dāng)m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為＋＝. 

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