一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼犝n時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題20 概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類
【目錄】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157087000" PAGEREF _Tc157087000 \h 2
\l "_Tc157087001" PAGEREF _Tc157087001 \h 3
\l "_Tc157087002" PAGEREF _Tc157087002 \h 4
\l "_Tc157087003" PAGEREF _Tc157087003 \h 5
\l "_Tc157087004" PAGEREF _Tc157087004 \h 8
\l "_Tc157087005" 考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 PAGEREF _Tc157087005 \h 8
\l "_Tc157087006" 考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 PAGEREF _Tc157087006 \h 8
\l "_Tc157087007" 考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合 PAGEREF _Tc157087007 \h 10
\l "_Tc157087008" 考點(diǎn)四：非線性擬合處理 PAGEREF _Tc157087008 \h 11
\l "_Tc157087009" 考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) PAGEREF _Tc157087009 \h 12
\l "_Tc157087010" 考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc157087010 \h 13
\l "_Tc157087011" 考點(diǎn)七：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc157087011 \h 15
\l "_Tc157087012" 考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc157087012 \h 16
\l "_Tc157087013" 考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 PAGEREF _Tc157087013 \h 16
\l "_Tc157087014" 考點(diǎn)十：古典概型 PAGEREF _Tc157087014 \h 16
\l "_Tc157087015" 考點(diǎn)十一：條件概率與全概率 PAGEREF _Tc157087015 \h 17
\l "_Tc157087016" 考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題 PAGEREF _Tc157087016 \h 17
\l "_Tc157087017" 考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc157087017 \h 18
\l "_Tc157087018" 考點(diǎn)十四：新賽制概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc157087018 \h 19
\l "_Tc157087019" 考點(diǎn)十五：遞推型概率命題 PAGEREF _Tc157087019 \h 20
概率與統(tǒng)計(jì)小題是每年高考必考的內(nèi)容．一是求統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)；二是求古典概型；三是相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．多以選擇、填空題的形式考查，難度容易或中等．
1、加強(qiáng)識(shí)圖能力，理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢(shì)以及波動(dòng)性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計(jì)算、判斷．
2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的，小矩形的面積，所有小矩形的面積之和為1．
3、求回歸方程
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線性相關(guān)．
（2）利用公式，求出回歸系數(shù)．
（3）待定系數(shù)法：利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)．
4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．
5、比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法
（1）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
（2）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
6、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表．
（2）根據(jù)公式，計(jì)算的觀測(cè)值．
（3）比較與臨界值的大小關(guān)系，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷．
7、概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力
（1）與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（2）與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（3）與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（4）與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（5）與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法正確的是
A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性
B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)
C．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245
2．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為
A．B．C．D．
3．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為
A．B．C．D．
4．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述錯(cuò)誤的是
A．從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大
B．從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小
5．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為
A．B．C．D．
6．（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則
A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大
7．（2022?甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為
A．B．C．D．
8．（2022?甲卷）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖：
則
A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
9．（2021?甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為
C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元
D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間
10．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是
A．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在與落在的概率相等
11．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
12．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為 ；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為 ．
考點(diǎn)一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表
【例1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選
取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。? ）
A．8人B．6人C．4人D．2人
【變式1-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（ ）
A．08B．02C．63D．01
【變式1-2】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校考階段練習(xí)）某飲料廠生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的飲料，每小時(shí)可生產(chǎn)兩種飲料共1000瓶，質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000瓶中抽取了60瓶進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，其中抽到A型號(hào)飲料15瓶，則每小時(shí)B型號(hào)飲料的產(chǎn)量為（ ）
A．600瓶B．750瓶C．800瓶D．900瓶
考點(diǎn)二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征
【例2】（多選題）（2024·江西·高三玉山一中校聯(lián)考階段練習(xí)）江西省2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（ ）
A．江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值
B．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬(wàn)
C．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為4527.98萬(wàn)
D．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數(shù)為4647.60萬(wàn)
【變式2-1】（多選題）（2024·廣東惠州·高三惠州一中校考階段練習(xí)）某地環(huán)境部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質(zhì)量指數(shù)均不大于100，則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，否則認(rèn)為該地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).根據(jù)連續(xù)10天檢測(cè)所得數(shù)據(jù)的數(shù)字特征推斷，環(huán)境治理一定達(dá)標(biāo)的地區(qū)是（ ）
A．甲地區(qū)：平均數(shù)為90，方差為10B．乙地區(qū)：平均數(shù)為60，眾數(shù)為50
C．丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為70D．丁地區(qū)：極差為20，80%分位數(shù)為80
【變式2-2】（多選題）（2024·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？计谀┠硢挝粸榱私饴毠そ】登闆r，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從5000名職工中抽取了一個(gè)容量為100的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．樣本為該單位的職工B．每一位職工被抽中的可能性為
C．該單位職工平均體重D．單位職工的方差
【變式2-3】（多選題）（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過(guò)搜索引擎，以搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)．“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多，對(duì)與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高．如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢(shì)圖．
根據(jù)該走勢(shì)圖，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．這半年中，網(wǎng)民對(duì)與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化
B．這半年中，網(wǎng)民對(duì)與該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱
C．從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D．從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
【變式2-4】（多選題）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績(jī)前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績(jī)和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（ ）
A．90后考生比00后考生多150人B．筆試成績(jī)的60%分位數(shù)為80
C．參加面試的考生的成績(jī)最低為86分D．筆試成績(jī)的平均分為76分
考點(diǎn)三：傳統(tǒng)線性擬合
【例3】某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個(gè)）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為 個(gè).
【變式3-1】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)收集了變量，的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
為了研究，的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，則 ．
【變式3-2】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):
由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為
考點(diǎn)四：非線性擬合處理
【例4】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A．B．C．35D．21
【變式4-1】（2024·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）下表為某外來(lái)生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個(gè)月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過(guò)相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測(cè)第7個(gè)月該物種的繁殖數(shù)量為（ ）
A．百只B．百只
C．百只D．百只
【變式4-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到楊梅銷售價(jià)格（單位：Q元/千克）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選取一個(gè)描述楊梅銷售價(jià)格Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：.利用你選取的函數(shù)模型，在以下四個(gè)日期末，楊梅銷售價(jià)格最低的日期為（ ）
A．6月5日B．6月15日C．6月25日D．7月5日
考點(diǎn)五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)
【例5】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了解喜愛足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查，抽取女性人數(shù)是男性的2倍，男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的，女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的，若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性至少有（ ）人
A．11B．12C．13D．14
【變式5-1】（2024·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對(duì)部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)
B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)
C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多
D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)
【變式5-2】（2024·浙江溫州·高三蒼南中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的模式，即語(yǔ)數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）
試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（ ）
附:
A．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)
B．選物理與性別無(wú)關(guān)，選生物與性別有關(guān)
C．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無(wú)關(guān)
D．選物理與性別無(wú)關(guān)，選生物與性別無(wú)關(guān)
考點(diǎn)六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)
【例6】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了解某考生的成績(jī)?cè)谌w考生成績(jī)中的位置，通常將考生的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)．定義標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，其中為原始分?jǐn)?shù)，為原始分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，為原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差．已知某校的一次數(shù)學(xué)考試，全體考生的平均成績(jī)，標(biāo)準(zhǔn)差，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，記平均成績(jī)?yōu)?，?biāo)準(zhǔn)差為，則( )
A．B．C．D．
【變式6-1】（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“數(shù)”為：在點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，若點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)的“數(shù)”的平均值為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-2】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差.下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖
根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
【變式6-3】（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）恩格爾系數(shù)(Engel’sCefficien)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費(fèi)支出和儲(chǔ)蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國(guó)2013年至2019年全國(guó)恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖.
給出三個(gè)結(jié)論：
①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；
②一個(gè)國(guó)家的恩格爾系數(shù)越小，說(shuō)明這個(gè)國(guó)家越富裕；
③一個(gè)家庭收入越少，則家庭收入中用來(lái)購(gòu)買食品的支出所占的比重就越小.
其中正確的是（ ）
A．①B．②C．①②D．②③
考點(diǎn)七：正態(tài)分布
【例7】已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（ ）
A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748
【變式7-1】（2024·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）阿鑫上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大
C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大
D．
【變式7-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)后，每天小籠包的銷售量（單位：個(gè)），估計(jì)300天內(nèi)小籠包的銷售量約在950到1100個(gè)的天數(shù)大約是（ ）
（若隨機(jī)變量，則，，）
A．236B．246C．270D．275
考點(diǎn)八：超幾何分布與二項(xiàng)分布
【例8】（2023上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為 （結(jié)果精確到0.01）．
【變式8-1】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為 ．
【變式8-2】（2023上·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大．
考點(diǎn)九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
【例9】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)參加學(xué)校數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每個(gè)同學(xué)答20道題，已知該同學(xué)每道題答對(duì)的概率為0.6，每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立．若答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)一題扣1分，則該同學(xué)總得分的數(shù)學(xué)期望為 ，方差為 ．
【變式9-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則 ， ．
【變式9-2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一批產(chǎn)品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數(shù)記為X，則次品件數(shù)X的期望為 ．
考點(diǎn)十：古典概型
【例10】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某藝術(shù)展覽會(huì)的工作人員要將A，B，C三幅作品排成一排，則A，B這兩幅作品排在一起的概率為 ．
【變式10-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三個(gè)開關(guān)控制著號(hào)四盞燈，其中開關(guān)控制著號(hào)燈，開關(guān)控制著號(hào)燈，開關(guān)控制著1，2，4號(hào)燈．開始時(shí)，四盞燈都亮著．現(xiàn)先后按動(dòng)這三個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)不同的開關(guān)，則其中1號(hào)燈或2號(hào)燈亮的概率為 ．

【變式10-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國(guó)拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國(guó)際貴賓們感受中國(guó)飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設(shè)在上菜的過(guò)程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為 ．
考點(diǎn)十一：條件概率與全概率
【例11】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則
【變式11-1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件A，B滿足，，，則 .
【變式11-2】某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學(xué)生對(duì)勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率則為 ；在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率 ．
考點(diǎn)十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題
【例12】（2024·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板．上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi)．若小球下落過(guò)程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則小球最終落入④號(hào)球槽的的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式12-1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)實(shí)行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老年、中年、青年員工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的情況，再?gòu)倪@6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式12-2】（2024·四川綿陽(yáng)·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知、的對(duì)應(yīng)值如下表所示:
與具有較好的線性相關(guān)關(guān)系，可用回歸直線方程近似刻畫，則在的取值中任取兩個(gè)數(shù)均不大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問(wèn)題
【例13】（2024·浙江寧波·效實(shí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）盒中有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)記為，則（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【變式13-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是
A．B．C．D．
【例14】（2024·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，c個(gè)白球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)十四：新賽制概率問(wèn)題
【例15】（2024·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)與法國(guó)隊(duì)在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經(jīng)過(guò)四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊(duì)以總分戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國(guó)隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的期望為（ ）
A．B．C．D．2
【變式15-1】通過(guò)核酸檢測(cè)可以初步判定被檢測(cè)者是否感染新冠病毒，檢測(cè)方式分為單檢和混檢.單檢，是將一個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中單獨(dú)檢測(cè)；混檢，是將多個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中合為一個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)這多個(gè)人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測(cè)，以確定當(dāng)中的陽(yáng)性樣本.混檢按一個(gè)采樣管中放入的采集拭子個(gè)數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等.調(diào)查研究顯示，在群體總陽(yáng)性率較低（低于0.1%）時(shí)，混檢能較大幅度地提高檢測(cè)效力、降低檢測(cè)成本.根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市居民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對(duì)該城市全體居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，記采用“10合1”混檢方式共需檢測(cè)X次，采用“5合1”混檢方式共需檢測(cè)Y次，已知當(dāng)時(shí)，，據(jù)此計(jì)算的近似值為（ ）
A．B．C．D．
【變式15-2】（2024·遼寧本溪·高二?？计谀┮咔槠陂g，甲、乙、丙三人均來(lái)自高風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)，需要進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)每個(gè)人的檢測(cè)結(jié)果是否為陽(yáng)性相互獨(dú)立，若甲和乙都不是陽(yáng)性的概率為，甲和丙都不是陽(yáng)性的概率為，乙和丙都不是陽(yáng)性的概率為，則甲、乙、丙三人中最多有2人是陽(yáng)性的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式15-3】（2023下·江蘇常州·高二江蘇省溧陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為.
①當(dāng)時(shí)， ；
②已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有98%的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在0.4與0.6之間，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的最小值為 .
考點(diǎn)十五：遞推型概率命題
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù)
2023年上海卷第14題，4分
2022年甲卷第2題，5分
2021年甲卷第2題，5分
2021年I卷第9題，5分
【命題預(yù)測(cè)】
預(yù)測(cè)2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立．具體估計(jì)為：
（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng)．
（2）熱點(diǎn)是古典概型.
古典概型
2023年乙卷第9題，5分
2023年甲卷第4題，5分
2022年I卷第5題，5分
2022年甲卷第6題，5分
相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
2022年乙卷第10題，5分
2021年天津卷第14題，5分
回歸方程、正態(tài)分布
2023年天津卷第7題，5分
2021年II卷第5題，5分
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
溫度
4
8
10
18
微生物數(shù)量（個(gè)）
30
22
18
14
x
0.5
2
3
3.5
4
5
y
15
單價(jià)(元)
銷量(件)
第個(gè)月
1
2
3
繁殖數(shù)量
時(shí)間t/（單位：天）
10
20
70
銷售價(jià)格Q（單位：元/千克）
100
50
100
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
選物理
不選物理
總計(jì)
男生
340
110
450
女生
140
210
350
總計(jì)
480
320
800
表一
選生物
不選生物
總計(jì)
男生
150
300
450
女生
150
200
350
總計(jì)
300
500
800
表二
x
y

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