一、單選題
1．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重慶·三模）已知，向量為單位向量，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西·三模）已知鈍角的面積為，則的值是（ ）
A．B．C．或D．或6
4．（2024·河南·三模）在菱形中，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江蘇南通·三模）已知三個(gè)單位向量滿足，則向量的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·山西·三模）向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
7．（2024·陜西渭南·三模）已知向量，，若與共線且反向，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．4B．2C．D．或4
8．（2024·河北·三模）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．與有關(guān)
9．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·浙江·三模）已知單位向量滿足，則（ ）
A．0B．C．D．1
11．（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．內(nèi)心
13．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（ ）
A．1B．C．D．2
14．（2024·黑龍江·三模）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，則的最小值為（ ）
A．0B．C．D．
15．（2024·廣東廣州·三模）設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：
①若，，則；
②若且，則；
③若，則對(duì)于任意向量，都有；
④若，則對(duì)于任意向量，都有；
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
16．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（ ）
A．3B．C．D．
17．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)D滿足，且，則（ ）
A．B．2C．D．4
18．（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（ ）
A．B．16C．D．9
19．（2024·遼寧·三模）已知平面非零向量，，滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．0
20．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，則向量在向量方向上的投影是（ ）
A．B．1C．D．
21．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知向量，若與的夾角為，則（ ）
A．10B．C．5D．
22．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
23．（2024·四川·三模）已知單位向量滿足，則夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
24．（2024·河南·三模）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若，則可能是（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．一定可以作為一個(gè)基底
B．一定有最小值
C．一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得
D．的夾角的取值范圍是
26．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開(kāi)口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開(kāi)口ABCDEF，它的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．若P為EF的中點(diǎn)，則在上的投影向量為
D．的最大值為
27．（2024·安徽·三模）已知向量，則（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量為
三、填空題
28．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐標(biāo)為，則與的夾角為 .
29．（2024·山東濰坊·三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)
30．（2024·上海·三模）設(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個(gè)基底，則 ．
31．（2024·黑龍江·三模）已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是 ，為坐標(biāo)原點(diǎn)的取值范圍為 .
32．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知，則的最小值為 .
33．（2024·寧夏銀川·三模）已知是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則在上的投影為 .
34．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類(lèi)比 “趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在 內(nèi) (含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為 .
35．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知單位向量的夾角為，，則 .
【答案】或
36．（2024·全國(guó)·三模）在中，，.若，則的面積為 .
37．（2024·山東聊城·三模）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且恒成立，則的離心率的取值范圍為 ．
38．（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為 ．
39．（2024·福建莆田·三模）已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是 .
40．（2024·安徽合肥·三模）在中，若，則 .
一、單選題
1．（2024·江西南昌·三模）我們平時(shí)登錄各類(lèi)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的密碼中的不同符號(hào)都各自對(duì)應(yīng)一個(gè)字節(jié)數(shù)，若某個(gè)密碼使用的符號(hào)對(duì)應(yīng)的字節(jié)數(shù)分別為7，2，4，4，6，1，8，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A．1B．2C．8D．7
2．（2024·河北保定·三模）若是一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為4，若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．6B．2C．3D．4
3．（2024·江西·三模）已知3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)7，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲?乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī)，甲班的十個(gè)人成績(jī)分別為，乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同?方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（ ）
A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大
B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大
C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小
D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小
5．（2024·山西太原·三模）數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（ ）
A．2B．C．3D．
6．（2024·福建莆田·三模）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．（2024·山西·三模）某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)置了教師足球射門(mén)比賽:教師射門(mén)，學(xué)生守門(mén).已知參與射門(mén)比賽的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2，則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（ ）
A．15B．16C．17D．18
8．（2024·浙江金華·三模）樣本數(shù)據(jù)12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位數(shù)是（ ）
A．33B．35C．46D．51
9．（2024·河南·三模）已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計(jì)劃采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（ ）
A．16B．30C．24D．18
10．（2024·天津·三模）按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：7，11，14，m，22；乙組：5，10，n，18，20，若這兩組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)、第80百分位數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，則=（ ）
A．28B．29C．30D．32
11．（2024·江蘇南通·三模）某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫分別為（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則（ ）
A．2B．3C．6D．7
12．（2024·安徽安慶·三模）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．的大小關(guān)系不確定
13．（2024·四川眉山·三模）采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是國(guó)際上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)?預(yù)警作用.綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)是PMI指標(biāo)體系中反映當(dāng)期全行業(yè)（制造業(yè)和非制造業(yè)）產(chǎn)出變化情況的綜合指數(shù)，指數(shù)高于時(shí)，反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月擴(kuò)張；低于，則反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月收縮.2023年我國(guó)綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)折線圖如下圖所示：

根據(jù)該折線圖判斷，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2023年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的中位數(shù)高于
B．2023年各月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)擴(kuò)張
C．2023年第3月至12月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)收縮
D．2023年上半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差小于下半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差
14．（2024·四川成都·三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開(kāi)始計(jì)算， 每九天為一個(gè)單位，冬至后的第 81 天， “數(shù)九”結(jié)束， 天氣就變得溫暖起來(lái). 如圖， 以溫江國(guó)家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了 2023 一 2024 年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫” (單位: )，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升
B．“四九” 成都市“平均氣溫” 較“多年平均氣溫” 低 0.1 ”
C．“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差
D．“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差
15．（2024·四川成都·三模）已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若，均小于4，則的值為（ ）

A．2B．3C．4D．5
二、多選題
16．（2024·黑龍江·三模）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則對(duì)于所得新數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．平均數(shù)是B．中位數(shù)是
C．方差是D．極差是
17．（2024·浙江杭州·三模）南丁格爾是一位英國(guó)護(hù)士、統(tǒng)計(jì)學(xué)家及社會(huì)改革者，被譽(yù)為現(xiàn)代護(hù)理學(xué)的奠基人．1854年，在克里米亞戰(zhàn)爭(zhēng)期間，她在接到英國(guó)政府的請(qǐng)求后，帶領(lǐng)由38名志愿女護(hù)士組成的團(tuán)隊(duì)前往克里米亞救治傷員，并收集士兵死亡原因數(shù)據(jù)繪制了如下“玫瑰圖”．圖中圓圈被劃分為12個(gè)扇形，按順時(shí)針?lè)较虼硪荒曛械母鱾€(gè)月份．每個(gè)扇形的面積與該月的死亡人數(shù)成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因?qū)е碌乃劳觯疑糠执硪驊?zhàn)爭(zhēng)受傷導(dǎo)致的死亡．右側(cè)圖像為1854年4月至1855年3月的數(shù)據(jù)，左側(cè)圖像為1855年4月至1856年3月的數(shù)據(jù)．下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵遠(yuǎn)少于戰(zhàn)場(chǎng)上因傷死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至來(lái)年2月）死亡人數(shù)相較其他季節(jié)顯著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因?qū)е碌乃劳鋈藬?shù)總體上相較之前顯著下降
D．此玫瑰圖可以佐證，通過(guò)改善軍隊(duì)和醫(yī)院的衛(wèi)生狀況，可以大幅度降低不必要的死亡
18．（2024·廣東廣州·三模）在某次學(xué)科期末檢測(cè)后，從全部考生中選取100名考生的成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（ ）
A．圖中a的值為0.005B．低于70分的考生人數(shù)約為40人
C．考生成績(jī)的平均分約為73分D．估計(jì)考生成績(jī)第80百分位數(shù)為83分
19．（2024·全國(guó)·三模）在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：
記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為，總方差為，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（ ）
A．這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3B．這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6
C．這組新數(shù)據(jù)的方差為D．這組新數(shù)據(jù)的方差為
21．（2024·湖北黃石·三模）已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3， 5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等
B．這兩組數(shù)據(jù)的極差相等
C．這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變
D．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散
22．（2024·遼寧·三模）甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問(wèn)答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．得分的中位數(shù)甲比乙要小B．兩人的平均數(shù)相同
C．兩人得分的極差相同D．得分的方差甲比乙小
三、填空題
23．（2024·河南·三模）若一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，方差為64，則另一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，方差為 .
24．（2024·河北·三模）某校為調(diào)查高三年級(jí)的體育成績(jī)情況，隨機(jī)調(diào)查了高三一班10名學(xué)生，體育成績(jī)平均分是90，方差是3；高三二班15名學(xué)生，體育成績(jī)平均分是85，方差是5，則這25名學(xué)生體育成績(jī)的方差為 ．
25．（2024·上?！と＃┠承８呷昙?jí)10名男生的身高數(shù)據(jù)（單位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為 ．
26．（2024·安徽·三模）從安徽省體育局獲悉：第四屆長(zhǎng)三角體育節(jié)將于4月至9月在安徽省宣城市舉辦.據(jù)介紹，本屆體育節(jié)以“綠色?健康?融合?共享”為主題，共設(shè)置山水生態(tài)類(lèi)?快樂(lè)時(shí)尚類(lèi)?傳統(tǒng)體育類(lèi)共21項(xiàng)賽事.下表是4月8日安徽代表隊(duì)傳統(tǒng)跳繩項(xiàng)目8位選手每分鐘跳繩個(gè)數(shù)：
則跳繩個(gè)數(shù)的第60百分位數(shù)是 .
27．（2024·遼寧·三模）某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)整理成頻率分布直方圖后，將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來(lái)，并將小矩形擦去，得到頻率分布折線圖（如圖所示）．已知該同學(xué)繪制頻率分布直方圖時(shí)確定的極差為60，組距為10，據(jù)此估計(jì)此次考試成績(jī)的平均數(shù)是 ．

28．（2024·河北石家莊·三模）為了解全市高三學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這1000名學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖．則直方圖中實(shí)數(shù)的值為 ．
一、單選題
1．（2024·江西南昌·三模）我們平時(shí)登錄各類(lèi)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的密碼中的不同符號(hào)都各自對(duì)應(yīng)一個(gè)字節(jié)數(shù)，若某個(gè)密碼使用的符號(hào)對(duì)應(yīng)的字節(jié)數(shù)分別為7，2，4，4，6，1，8，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A．1B．2C．8D．7
2．（2024·河北保定·三模）若是一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為.已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，方差為4，若將這兩組數(shù)據(jù)混合形成一組新的數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．6B．2C．3D．4
3．（2024·江西·三模）已知3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)7，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（2024·陜西榆林·三模）在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲?乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī)，甲班的十個(gè)人成績(jī)分別為，乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同?方差也相同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后（ ）
A．中位數(shù)一定不變，方差可能變大
B．中位數(shù)可能改變，方差可能變大
C．中位數(shù)一定不變，方差可能變小
D．中位數(shù)可能改變，方差可能變小
5．（2024·山西太原·三模）數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（ ）
A．2B．C．3D．
6．（2024·福建莆田·三模）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，方差為，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．（2024·山西·三模）某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)置了教師足球射門(mén)比賽:教師射門(mén)，學(xué)生守門(mén).已知參與射門(mén)比賽的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13，其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和8，女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2，則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（ ）
A．15B．16C．17D．18
8．（2024·浙江金華·三模）樣本數(shù)據(jù)12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位數(shù)是（ ）
A．33B．35C．46D．51
9．（2024·河南·三模）已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計(jì)劃采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（ ）
A．16B．30C．24D．18
10．（2024·天津·三模）按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：7，11，14，m，22；乙組：5，10，n，18，20，若這兩組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)、第80百分位數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，則=（ ）
A．28B．29C．30D．32
11．（2024·江蘇南通·三模）某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫分別為（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則（ ）
A．2B．3C．6D．7
12．（2024·安徽安慶·三模）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．的大小關(guān)系不確定
13．（2024·四川眉山·三模）采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是國(guó)際上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)?預(yù)警作用.綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)是PMI指標(biāo)體系中反映當(dāng)期全行業(yè)（制造業(yè)和非制造業(yè)）產(chǎn)出變化情況的綜合指數(shù)，指數(shù)高于時(shí)，反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月擴(kuò)張；低于，則反映企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)較上月收縮.2023年我國(guó)綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)折線圖如下圖所示：

根據(jù)該折線圖判斷，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2023年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的中位數(shù)高于
B．2023年各月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)擴(kuò)張
C．2023年第3月至12月，我國(guó)企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)景氣水平持續(xù)收縮
D．2023年上半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差小于下半年各月綜合PMI產(chǎn)出指數(shù)的方差
14．（2024·四川成都·三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開(kāi)始計(jì)算， 每九天為一個(gè)單位，冬至后的第 81 天， “數(shù)九”結(jié)束， 天氣就變得溫暖起來(lái). 如圖， 以溫江國(guó)家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了 2023 一 2024 年從“一九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫” (單位: )，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升
B．“四九” 成都市“平均氣溫” 較“多年平均氣溫” 低 0.1 ”
C．“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差
D．“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差
15．（2024·四川成都·三模）已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若，均小于4，則的值為（ ）

A．2B．3C．4D．5
16．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）某學(xué)習(xí)小組對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點(diǎn)的中心為.乙同學(xué)對(duì)甲的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·上?！と＃┰O(shè)一組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r，線性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的為（ ）.
A．越大，則r越大B．越大，則r越小
C．若r大于零，則一定大于零D．若r大于零，則一定小于零
18．（2024·四川成都·三模）如圖，由觀測(cè)數(shù)據(jù) 的散點(diǎn)圖可知， 與 的關(guān)系可以用模型 擬合，設(shè) ，利用最小二乘法求得 關(guān)于 的回歸方程 . 已知 ， ，則 （ ）
A．B．C．1D．
19．（2024·四川涼山·三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高和體重得到如圖所示散點(diǎn)圖，其中身高和體重相關(guān)系數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．學(xué)生身高和體重沒(méi)有相關(guān)性
B．學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)
C．學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
20．（2024·廣西桂林·三模）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（，，2，…，5），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（ ）
A．40B．32C．8D．12.8
二、多選題
21．（2024·黑龍江·三模）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則對(duì)于所得新數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．平均數(shù)是B．中位數(shù)是
C．方差是D．極差是
22．（2024·浙江杭州·三模）南丁格爾是一位英國(guó)護(hù)士、統(tǒng)計(jì)學(xué)家及社會(huì)改革者，被譽(yù)為現(xiàn)代護(hù)理學(xué)的奠基人．1854年，在克里米亞戰(zhàn)爭(zhēng)期間，她在接到英國(guó)政府的請(qǐng)求后，帶領(lǐng)由38名志愿女護(hù)士組成的團(tuán)隊(duì)前往克里米亞救治傷員，并收集士兵死亡原因數(shù)據(jù)繪制了如下“玫瑰圖”．圖中圓圈被劃分為12個(gè)扇形，按順時(shí)針?lè)较虼硪荒曛械母鱾€(gè)月份．每個(gè)扇形的面積與該月的死亡人數(shù)成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因?qū)е碌乃劳?，灰色部分代表因?zhàn)爭(zhēng)受傷導(dǎo)致的死亡．右側(cè)圖像為1854年4月至1855年3月的數(shù)據(jù)，左側(cè)圖像為1855年4月至1856年3月的數(shù)據(jù)．下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵遠(yuǎn)少于戰(zhàn)場(chǎng)上因傷死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至來(lái)年2月）死亡人數(shù)相較其他季節(jié)顯著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因?qū)е碌乃劳鋈藬?shù)總體上相較之前顯著下降
D．此玫瑰圖可以佐證，通過(guò)改善軍隊(duì)和醫(yī)院的衛(wèi)生狀況，可以大幅度降低不必要的死亡
23．（2024·廣東廣州·三模）在某次學(xué)科期末檢測(cè)后，從全部考生中選取100名考生的成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則（ ）
A．圖中a的值為0.005B．低于70分的考生人數(shù)約為40人
C．考生成績(jī)的平均分約為73分D．估計(jì)考生成績(jī)第80百分位數(shù)為83分
24．（2024·全國(guó)·三模）在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：
記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為，總方差為，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（ ）
A．這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3B．這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6
C．這組新數(shù)據(jù)的方差為D．這組新數(shù)據(jù)的方差為
26．（2024·湖北黃石·三模）已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3， 5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等
B．這兩組數(shù)據(jù)的極差相等
C．這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變
D．甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散
27．（2024·遼寧·三模）甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問(wèn)答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．得分的中位數(shù)甲比乙要小B．兩人的平均數(shù)相同
C．兩人得分的極差相同D．得分的方差甲比乙小
28．（2024·山西晉中·三模）下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（ ）
A．在樣本數(shù)據(jù)中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為，去除一個(gè)樣本點(diǎn)后，得到的新線性回歸方程一定會(huì)發(fā)生改變
B．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為那么越大，之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
C．若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非的直線上，則決定系數(shù)
D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高
29．（2024·浙江金華·三模）某班主任用下表分析高三前5次考試中本班級(jí)在年級(jí)中的成績(jī)排名y與考試次數(shù)x的相關(guān)性時(shí)，忘記了第二次和第四次考試排名，但他記得平均排名，于是分別用和得到了兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，，對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，，排名y對(duì)應(yīng)的方差分別為，，則（ ）
附：，，．
A．B．
C．D．
30．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)的頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率
B．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的極差?平均數(shù)都相同
C．若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，則A組數(shù)據(jù)比組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)
D．已知關(guān)于的回歸直線方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為-1.9
三、填空題
31．（2024·河南·三模）若一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，方差為64，則另一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，方差為 .
32．（2024·河北·三模）某校為調(diào)查高三年級(jí)的體育成績(jī)情況，隨機(jī)調(diào)查了高三一班10名學(xué)生，體育成績(jī)平均分是90，方差是3；高三二班15名學(xué)生，體育成績(jī)平均分是85，方差是5，則這25名學(xué)生體育成績(jī)的方差為 ．
33．（2024·上?！と＃┠承８呷昙?jí)10名男生的身高數(shù)據(jù)（單位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為 ．
34．（2024·安徽·三模）從安徽省體育局獲悉：第四屆長(zhǎng)三角體育節(jié)將于4月至9月在安徽省宣城市舉辦.據(jù)介紹，本屆體育節(jié)以“綠色?健康?融合?共享”為主題，共設(shè)置山水生態(tài)類(lèi)?快樂(lè)時(shí)尚類(lèi)?傳統(tǒng)體育類(lèi)共21項(xiàng)賽事.下表是4月8日安徽代表隊(duì)傳統(tǒng)跳繩項(xiàng)目8位選手每分鐘跳繩個(gè)數(shù)：
則跳繩個(gè)數(shù)的第60百分位數(shù)是 .
35．（2024·遼寧·三模）某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)整理成頻率分布直方圖后，將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來(lái)，并將小矩形擦去，得到頻率分布折線圖（如圖所示）．已知該同學(xué)繪制頻率分布直方圖時(shí)確定的極差為60，組距為10，據(jù)此估計(jì)此次考試成績(jī)的平均數(shù)是 ．

36．（2024·河北石家莊·三模）為了解全市高三學(xué)生的體能素質(zhì)情況，在全市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這1000名學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖．則直方圖中實(shí)數(shù)的值為 ．
四、解答題
37．（2024·山東濟(jì)南·三模）近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車(chē)制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）
(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；
(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．
參考公式及數(shù)據(jù)；
，，
，，，，
38．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)展改革委等部門(mén)共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開(kāi)發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比：
(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比．
（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
附：樣本相關(guān)系數(shù)，．
39．（2024·四川眉山·三模）某公司為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)對(duì)近5年來(lái)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)情況進(jìn)行分析.收集了近5年的利潤(rùn)（單位：億元）與年份代碼共5組數(shù)據(jù)（其中年份代碼分別指2019年，2020年，年），并得到如下值：.
(1)若用線性回歸模型擬合變量與的相關(guān)關(guān)系，計(jì)算該樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷變量與的相關(guān)程度（精確到0.01）；
(2)求變量關(guān)于的線性回歸方程，并求2024年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值.
附：①；②若，相關(guān)程度很強(qiáng)；，相關(guān)程度一般；，相關(guān)程度較弱；③一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；相關(guān)系數(shù).
40．（2024·山東聊城·三模）今年五一節(jié)期間，聊城百貨大樓有限公司搞促銷(xiāo)活動(dòng)，下表是該公司5月1號(hào)至10號(hào)（日期簡(jiǎn)記為1，2，3，……，10）連續(xù)10天的銷(xiāo)售情況：
由上述數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到銷(xiāo)售額和日期的線性回歸方程為，日期的方差約為3.02，銷(xiāo)售額的方差約為2.59.
(1)根據(jù)線性回歸方程，分析銷(xiāo)售額隨日期變化趨勢(shì)的特征，并計(jì)算第4天的殘差；
(2)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并分析銷(xiāo)售額和日期的相關(guān)程度（精確到0.001）；
(3)該公司為了促銷(xiāo)，擬打算對(duì)電視機(jī)實(shí)行分期付款方式銷(xiāo)售，假設(shè)顧客購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電視機(jī)選擇分期付款的期數(shù)及相應(yīng)的概率和公司獲得的利潤(rùn)（單位：元）情況如下表：
已知成等比數(shù)列.
設(shè)該公司銷(xiāo)售兩臺(tái)電視機(jī)所獲得的利潤(rùn)為（單位：元），當(dāng)?shù)母怕嗜〉米畲笾禃r(shí)，求利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：.相關(guān)數(shù)據(jù).
41．（2024·四川南充·三模）近年來(lái)，國(guó)內(nèi)掀起了全民新中式熱潮，新中式穿搭，新中式茶飲，新中式快餐，新中式烘焙等，以下為某紡織廠生產(chǎn)“新中式”面料近5個(gè)月的利潤(rùn)（y萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)表.
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r（精確到0.001），并利用r說(shuō)明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系：（若，則認(rèn)為兩個(gè)變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性）；
(2)從這5個(gè)月的利潤(rùn)中任選2個(gè)月的利潤(rùn)，分別記為m，n，求事件“m，n均不小于20萬(wàn)元”的概率.
附：參考數(shù)據(jù)：
相關(guān)系數(shù).
42．（2024·四川攀枝花·三模）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和數(shù)字化技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)直播成為了一種新型的營(yíng)銷(xiāo)形式，因其更低的營(yíng)銷(xiāo)成本，更快捷的營(yíng)銷(xiāo)覆蓋而深受商家青睞．某電商統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月某商品的網(wǎng)絡(luò)直播線上月銷(xiāo)售量y（單位：千件）與售價(jià)x（單位：元/件）的情況如下表所示．
(1)求相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；否則，沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）（精確到0.01）；
(2)建立關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)當(dāng)售價(jià)為52元/件時(shí)，該商品的線上月銷(xiāo)售量為多少千件？
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：．
參考數(shù)據(jù)：．
43．（2024·四川瀘州·三模）隨著全國(guó)新能源汽車(chē)推廣力度的加大，新能源汽車(chē)消費(fèi)迎來(lái)了前所未有的新機(jī)遇.某公司生產(chǎn)了A、兩種不同型號(hào)的新能源汽車(chē)，為了解大眾對(duì)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)的接受程度，公司在某地區(qū)采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行調(diào)查，對(duì)A、兩種不同型號(hào)的新能源汽車(chē)進(jìn)行綜合評(píng)估（得分越高接受程度就越高），綜合得分按照，，，分組，繪制成評(píng)估綜合得分的頻率分布直方圖（如圖）：
(1)以綜合得分的平均數(shù)為依據(jù)，判斷A、兩種不同型號(hào)的新能源汽車(chē)哪種型號(hào)更受大眾喜歡；
(2)為進(jìn)一步了解該地區(qū)新能源汽車(chē)銷(xiāo)售情況，某機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到該地區(qū)新能源汽車(chē)銷(xiāo)量（單位：萬(wàn)臺(tái)）關(guān)于年份的線性回歸方程為，且銷(xiāo)量的方差，年份的方差為，求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷該地區(qū)新能源汽車(chē)銷(xiāo)量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱.
參考公式：（?。┚€性回歸方罡：，其中，；
（ⅱ）相關(guān)系數(shù)（若，則相關(guān)性較弱：若，則相關(guān)性較強(qiáng)；若，則相關(guān)性很強(qiáng)）.
44．（2024·四川德陽(yáng)·三模）某公司為了確定下季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集并整理了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如表(其中有些數(shù)據(jù)污損不清)：
他們分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型?
(2)殘差絕對(duì)值大于2 的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．
（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；
（ii）若廣告投入量x=19，則（1）中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少萬(wàn)元?(精確到0.01)
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù) 其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： .

一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：
附：（），
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)
B．甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率
C．表中的值為15，的值為50
D．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”
二、解答題
2．（2024·四川內(nèi)江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024?內(nèi)江市中區(qū)新春極光焰火草地狂歡節(jié)”在川南大草原舉行，共舉行了8場(chǎng)精彩的煙花秀節(jié)目．前5場(chǎng)的觀眾人數(shù)（單位：萬(wàn)人）與場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
(1)已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的線性回歸方程；
(2)若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個(gè)等次的票價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場(chǎng)200位觀眾的性別與購(gòu)票情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為該煙花秀節(jié)目的觀眾是否購(gòu)買(mǎi)A等票與性別有關(guān)．
參考公式及參考數(shù)據(jù)：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，其中．
3．（2024·安徽·三模）某校為了給高三學(xué)生舉辦“18歲成人禮”活動(dòng)，由團(tuán)委草擬了活動(dòng)方案，并以問(wèn)卷的形式調(diào)查了部分同學(xué)對(duì)活動(dòng)方案的評(píng)分（滿分100分），所得評(píng)分統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)以頻率估計(jì)概率，若在所有的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記評(píng)分在的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.
(2)為了解評(píng)分是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了部分問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)？
(3)若將（2）中表格的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論是否一致？直接給出結(jié)論即可，不必書(shū)寫(xiě)計(jì)算過(guò)程.
參考數(shù)據(jù)：
4．（2024·甘肅酒泉·三模）為促進(jìn)全面閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，鼓勵(lì)學(xué)生參加閱讀活動(dòng)，某校隨機(jī)抽查了男、女生各200名，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谑罴倨陂g每天閱讀時(shí)長(zhǎng)，并把每天閱讀時(shí)長(zhǎng)超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀達(dá)標(biāo)”，時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)的記為“閱讀不達(dá)標(biāo)”，閱讀達(dá)標(biāo)與閱讀不達(dá)標(biāo)的人數(shù)比為，閱讀達(dá)標(biāo)的女生與男生的人數(shù)比為．
(1)完成下面的列聯(lián)表：
(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“閱讀達(dá)標(biāo)情況”與“性別”有關(guān)聯(lián)？
(3)從閱讀達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@5人中任選2人，記這2人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：，．
5．（2024·湖南永州·三模）綠化祖國(guó)要擴(kuò)綠、興綠、護(hù)綠并舉.某校植樹(shù)節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹(shù)苗各500株.甲地土質(zhì)含有元素，乙地土質(zhì)不含有元素，其它土質(zhì)情況均相同，一段時(shí)間后，為了弄清楚該品種樹(shù)苗的成活情況與元素含量是否有關(guān)聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機(jī)抽取樹(shù)苗各50株作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲地成活45株，乙地成活40株.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表（單位：株），并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該品種樹(shù)苗成活與元素含量有關(guān)聯(lián)？
列聯(lián)表
(2)從樣本中不成活的樹(shù)苗中隨機(jī)抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為，求的分布列及方差
參考公式：，
參考數(shù)據(jù)：
6．（2024·安徽·三模）近年來(lái)，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺(tái)了各類(lèi)相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：
(1)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01（小概率值）的前提下，能否認(rèn)為學(xué)段與對(duì)增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)；
(2)以頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記“喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間”的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
7．（2024·貴州畢節(jié)·三模）2023年12月30日8時(shí)13分，長(zhǎng)征二號(hào)丙/遠(yuǎn)征一號(hào)S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道.由中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司研制的運(yùn)載火箭48次宇航任務(wù)全部取得圓滿成功．也代表著中國(guó)航天2023年完美收官.某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個(gè)容量為的樣本，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下列聯(lián)表：
(1)完成上述列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)聯(lián)，求樣本容量n的最小值；
(2)用頻率估計(jì)概率，從本市大學(xué)生和高中生中隨機(jī)選取3人，用X表示不關(guān)注的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
，其中．
一、單選題
1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）邵陽(yáng)市二中高一、高二、高三年級(jí)的優(yōu)秀團(tuán)員各兩名站成一排拍照，恰有一個(gè)年級(jí)的團(tuán)員相鄰的站法有（ ）
A．144種B．240種C．288種D．336種
2．（2024·河北保定·三模）某火鍋店在每周的周一、周三、周五、周日會(huì)安排員工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，隨機(jī)選擇兩天到該店吃火鍋，則該人能欣賞到舞蹈“科目三”的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·廣西桂林·三模）某校組織社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，將參加活動(dòng)的3名老師與6名同學(xué)分成三組，每組1名老師與2名同學(xué)，不一樣的分法共有（ ）
A．45種B．90種C．180種D．270種
4．（2024·湖南永州·三模）為迎接2024年在永州舉行的中國(guó)龍舟公開(kāi)賽，一位熱情好客的永州市民準(zhǔn)備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（ ）
A．26B．25C．24D．23
5．（2024·廣西·三模）已知這個(gè)數(shù)字，從中取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)字放在個(gè)位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有（ ）
A．55個(gè)B．70個(gè)C．40個(gè)D．35個(gè)
6．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高從低到高，互不相同，將他們排成相對(duì)身高為“高低高低高”或“低高低高低”的隊(duì)形，則甲、丁不相鄰的不同排法種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．16D．18
7．（2024·河北·三模）小李買(mǎi)了新手機(jī)后下載了4個(gè)APP，已知手機(jī)桌面上每排可以放4個(gè)APP，現(xiàn)要將它們放成兩排，且和放在同一排，則不同的排列方式有（ ）
A．288種B．336種C．384種D．672種
8．（2024·黑龍江·三模）現(xiàn)有紅色?黃色?藍(lán)色的小球各4個(gè)，從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同，則不同取法有（ ）
A．160種B．208種C．256種D．472種
9．（2024·福建廈門(mén)·三模）某校5名同學(xué)到A、B、C三家公司實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學(xué).若同學(xué)甲去A公司，則不同的安排方法共有（ ）
A．18種B．30種C．42種D．60種
10．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請(qǐng)參加同一個(gè)時(shí)間段的兩個(gè)晚會(huì)，若兩個(gè)晚會(huì)都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個(gè)晚會(huì)，則不同的去法有（ ）
A．8種B．12種C．16種D．24種
11．（2024·寧夏銀川·三模）現(xiàn)將包含甲、乙在內(nèi)的5名老師全都安排到3個(gè)不同的班級(jí)，每個(gè)班級(jí)必須至少有1名老師，且甲、乙必須去同一個(gè)班級(jí)，則不同的選派方案共有（ ）
A．144種B．72種C．36種D．18種
12．（2024·安徽·三模）某年級(jí)在元旦活動(dòng)中要安排6個(gè)節(jié)目的表演順序，其中有3個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，要求第一個(gè)和最后一個(gè)都必須安排舞蹈節(jié)目，且不能連續(xù)安排3個(gè)歌唱節(jié)目，則不同的安排方法有（ ）
A．144種B．72種C．36種D．24種
13．（2024·安徽·三模）2024年3月22日國(guó)家文物局在北京公布2023年《全國(guó)十大考古新發(fā)現(xiàn)》，安徽省皖南地區(qū)郎溪縣磨盤(pán)山遺址成功入選并排名第三，經(jīng)初步確認(rèn)，該遺址現(xiàn)存馬家浜文化區(qū)?崧澤文化區(qū)?良渚文化區(qū)?錢(qián)山漾文化區(qū)四大區(qū)域，總面積約6萬(wàn)平方米.該遺址延續(xù)時(shí)間長(zhǎng)?譜系完整，是長(zhǎng)江下游地區(qū)少有的連續(xù)時(shí)間近4000年的中心性聚落.對(duì)認(rèn)識(shí)多元化一體中華文明在皖南地區(qū)的演進(jìn)方式具有重要的價(jià)值，南京大學(xué)歷史學(xué)院趙東升教授團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在對(duì)該遺址四大區(qū)域進(jìn)行考古發(fā)掘，現(xiàn)安排包含甲?乙在內(nèi)的6名研究生同學(xué)到這4個(gè)區(qū)域做考古志愿者，每人去1個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域至少安排1個(gè)人，則甲?乙兩人安排在相同區(qū)域的方法種數(shù)為（ ）
A．96B．144C．240D．360
14．（2024·浙江金華·三模）在義烏，婺劇深受民眾喜愛(ài).某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是（ ）
A．36B．48C．60D．72
15．（2024·四川眉山·三模）四名同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐，他們中的每個(gè)人都可以從三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，且每人的選擇相互獨(dú)立.這三個(gè)項(xiàng)目中恰有一個(gè)項(xiàng)目沒(méi)有被任何人選擇的概率為（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·四川南充·三模）某大學(xué)開(kāi)學(xué)時(shí)選擇選修課程，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)準(zhǔn)備在音樂(lè)鑒賞、影視鑒賞、相聲藝術(shù)鑒賞、戲曲鑒賞四門(mén)課程中每人選擇一門(mén)課程，每門(mén)選修課程至少有一人選擇，甲、乙都不選音樂(lè)鑒賞，但能選擇其他三門(mén)選修課程，丙、丁、戊可選擇四門(mén)選修課程的任何一門(mén)課程，則不同的選擇方法有（ ）種．
A．324B．234C．216D．126
二、填空題
17．（2024·山西·三模）清明小長(zhǎng)假期間，某學(xué)校打算安排甲、乙、丙等6位教師值班.從4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教師到學(xué)校值班，每位教師只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，則不同的值班安排方式共有 種(請(qǐng)用數(shù)字作答).
18．（2024·山東聊城·三模）兩本相同的圖畫(huà)書(shū)和兩本不同的音樂(lè)書(shū)全部分給三個(gè)小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫(huà)書(shū)不分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法共有 種.
19．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙 3 人站到共有 6 級(jí)的臺(tái)階上， 若每級(jí)臺(tái)階最多站 2 人且甲、乙不站同一個(gè)臺(tái)階，同一臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 種. (用數(shù)字作答)
20．（2024·全國(guó)·三模）在龍年元宵節(jié)的一項(xiàng)無(wú)人機(jī)飛行表演中，將7架不同的“焰火”無(wú)人機(jī)和架不同的“燈光”無(wú)人機(jī)排成一列.已知每一架“焰火”無(wú)人機(jī)都至少和另一架“焰火”無(wú)人機(jī)相鄰，設(shè)這7架“焰火”無(wú)人機(jī)至少有5架連在一起的概率為p，要使得，則n的最小值為 .
21．（2024·陜西銅川·三模）有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有 種.
22．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人參加A，B，C這三項(xiàng)活動(dòng)，要求每人只參加一項(xiàng)活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，若甲，乙不參加同一項(xiàng)活動(dòng)，且只有1人參加A活動(dòng)，則他們參加活動(dòng)的不同方案有 種.
一、單選題
1．（2024·江西·三模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．96B．144C．180D．216
2．（2024·北京·三模）已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．240C．60D．
3．（2024·山東濟(jì)南·三模）展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．B．5C．15D．35
4．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱(chēng)為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．D．
5．（2024·四川涼山·三模）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（ ）
A．10B．20C．40D．80
6．（2024·山東濰坊·三模）已知 ，則 （ ）
A．8B．10C．D．
7．（2024·河南·三模）在的展開(kāi)式中，第8項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．144C．18D．
8．（2024·浙江溫州·三模）已知，和的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值分別為和，則（ ）
A．B．
C．D．的大小關(guān)系與有關(guān)
9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是280，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）
A．1B．2C．D．
10．（2024·山東濟(jì)寧·三模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．120D．160
11．（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果保留一位小數(shù)）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（ ）
A．168B．C．1512D．
13．（2024·廣西桂林·三模）若，則（ ）
A．18B．C．12D．
14．（2024·山東聊城·三模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足表示從個(gè)不同元素中任取個(gè)元素的組合數(shù)，則（ ）
A．512B．1024C．5120D．10240
15．（2024·福建漳州·三模）二項(xiàng)式展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·湖南永州·三模）的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540，則的值為（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·貴州遵義·三模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．8B．12C．10D．15
二、多選題
18．（2024·遼寧·三模）關(guān)于二項(xiàng)式的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．第三項(xiàng)系數(shù)為270B．的系數(shù)為90
C．二項(xiàng)式系數(shù)和為D．系數(shù)和為
19．（2024·山西臨汾·三模）在的展開(kāi)式中（ ）
A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)
C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)
D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為
20．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為
C．D．的個(gè)位數(shù)字是1
21．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，則
B．
C．的展開(kāi)式的第6項(xiàng)的系數(shù)是
D．的展開(kāi)式中的系數(shù)為
三、填空題
22．（2024·河北保定·三模）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為75，則 .
23．（2024·重慶·三模）已知，則 .
24．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
25．（2024·福建福州·三模）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ．
26．（2024·甘肅酒泉·三模）若的展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和為 ．
27．（2024·安徽·三模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
28．（2024·河南·三模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
29．（2024·廣東廣州·三模）在的展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)的和為，則的系數(shù)為 ．
30．（2024·寧夏銀川·三模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）故宮的角樓是中國(guó)古建筑藝術(shù)的巔峰之作，它被譽(yù)為故宮最美的建筑，角樓的建造者也將中國(guó)古代的陰陽(yáng)觀和吉數(shù)的思想融入在角樓的設(shè)計(jì)之中.中國(guó)古代常把奇數(shù)稱(chēng)為“陽(yáng)數(shù)”，偶數(shù)稱(chēng)為“陰數(shù)”，9的整數(shù)倍稱(chēng)為“吉數(shù)”.若從1，3，5，7，9這五個(gè)陽(yáng)數(shù)，2，4，6，8這四個(gè)陰數(shù)中各取一個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)恰好是“吉數(shù)”的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·貴州畢節(jié)·三模）某學(xué)生的QQ密碼是由前兩位是大寫(xiě)字母，第三位是小寫(xiě)字母，后六位是數(shù)字共九個(gè)符號(hào)組成．該生在登錄QQ時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過(guò)兩次就輸對(duì)密碼的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·內(nèi)蒙古·三模）三人被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì)，若晚會(huì)必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會(huì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西·三模）A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南·三模）某地博物館所展示的甲骨文十二生肖圖如圖所示，其中，馬?牛?羊?雞?狗?豬為六畜，若從圖中每行任意選取1個(gè)生肖，則所選的3個(gè)生肖中至少有1個(gè)屬于六畜的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河南鄭州·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面骰子（骰子為正四面體，四個(gè)面上的數(shù)字分別為1，2，3，4），若骰子與桌面接觸面上的數(shù)字為1或2，則再拋鄭一次，否則停止拋擲（最多拋擲2次）．則拋擲骰子所得的點(diǎn)數(shù)之和至少為4的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）某同學(xué)參加社團(tuán)面試，已知其第一次通過(guò)面試的概率為0.7，第二次面試通過(guò)的概率為0.5．若第一次未通過(guò)，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過(guò)，則面試失敗，否則視為面試通過(guò)，則該同學(xué)通過(guò)面試的概率為（ ）
A．0.85B．0.7C．0.5D．0.4
8．（2024·福建廈門(mén)·三模）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·河南·三模）有以下6個(gè)函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對(duì)立事件分別為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·陜西渭南·三模）已知盒子中有6個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩球，每次取一球，記第一次取出的球的數(shù)字是，第二次取出的球的數(shù)字是．若事件“為偶數(shù)”，事件“，中有偶數(shù)且”，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·安徽馬鞍山·三模）甲、乙等5名學(xué)生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)，每個(gè)人從“檢錄組”“計(jì)分組”“宣傳組”三個(gè)崗位中隨機(jī)選擇一個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·四川涼山·三模）涼山地區(qū)學(xué)生中有50%的同學(xué)愛(ài)好羽毛球，60%的同學(xué)愛(ài)好乒乓球，70%的同學(xué)愛(ài)好羽毛球或乒乓球．在涼山地區(qū)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好羽毛球，則該同學(xué)也愛(ài)好乒乓球的概率為（ ）
A．0.4B．0.5C．0.8D．0.9
13．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）六位爸爸站在幼兒園門(mén)口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒園門(mén)口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過(guò)插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·安徽·三模）托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問(wèn)題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱(chēng)為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱(chēng)為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自地區(qū)的概率是（ ）
A．0.25B．0.27C．0.48D．0.52
15．（2024·甘肅酒泉·三模）有甲、乙兩臺(tái)車(chē)床加工同一種零件，且甲、乙兩臺(tái)車(chē)床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的，甲、乙兩臺(tái)車(chē)床的正品率分別為．現(xiàn)從一批零件中任取一件，則取到正品的概率為（ ）
A．0.93B．0.934C．0.94D．0.945
16．（2024·四川內(nèi)江·三模）文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名片．自內(nèi)江市開(kāi)展“讓文明出行成為甜城靚麗風(fēng)景”文明實(shí)踐日活動(dòng)以來(lái)，全市廣大學(xué)子以實(shí)際行動(dòng)提升城市文明形象，助力全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作．在活動(dòng)中，甲、乙兩名同學(xué)利用周末時(shí)間到交通路口開(kāi)展文明勸導(dǎo)志愿服務(wù)工作，他們可以從四個(gè)路口中隨機(jī)選擇一個(gè)路口，設(shè)事件為“甲和乙至少有一人選擇了路口”，事件為“甲和乙選擇的路口不相同”，則（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·寧夏石嘴山·三模）寒假期間，甲、乙、丙、丁名同學(xué)相約到4個(gè)不同的社區(qū)參加志愿服務(wù)活動(dòng)，每人只去一個(gè)社區(qū)，設(shè)事件“個(gè)人去的社區(qū)各不相同”，事件“甲獨(dú)自去一個(gè)社區(qū)”，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
18．（2024·貴州遵義·三模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.現(xiàn)有甲、乙、丙三臺(tái)車(chē)床加工同一件零件，甲車(chē)床加工的次品率為，乙車(chē)床加工的次品率，丙車(chē)床加工的次品率為，加工出來(lái)的零件混放在一起，且甲、乙、丙3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，設(shè)事件，，分別表示取到的零件來(lái)自甲、乙、丙車(chē)床，事件B表示任取一個(gè)零件為次品，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·云南昆明·三模）在一個(gè)有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．A與相互獨(dú)立
C．D．
20．（2024·江西宜春·三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．事件A與事件B對(duì)立B．事件A與事件B相互獨(dú)立
C．事件A與事件C相互獨(dú)立D．
三、填空題
21．（2024·山東濟(jì)寧·三模）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有6個(gè)球，其中甲箱子中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱子中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，然后從該箱子中隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的球是白球的概率為 .
22．（2024·湖北荊州·三模）天道酬勤，勤能補(bǔ)拙，努力的人得到的結(jié)果也許不盡如人意，雖然問(wèn)心無(wú)愧的他們往往能平靜看待生活中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，后悔這個(gè)詞離他們似乎很遙遠(yuǎn)，但面對(duì)不順時(shí)，他們有時(shí)候也會(huì)反思一些細(xì)節(jié)，情不自禁的流下悔恨的淚水.其實(shí)每個(gè)人在生活中都曾有過(guò)后悔的經(jīng)歷，即便是懶惰成性，不思進(jìn)取的人，遇到挫折時(shí)，他們中也會(huì)有人會(huì)反思過(guò)去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往會(huì)流下悔恨的淚水.某位經(jīng)驗(yàn)豐富的班主任老師，從高一開(kāi)始，一直在反復(fù)告誡自己的學(xué)生：珍惜當(dāng)下，積極進(jìn)取，爭(zhēng)做高考后無(wú)怨無(wú)悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年過(guò)去了，這位班主任老師結(jié)合學(xué)生三年的表現(xiàn)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，自己任教的班級(jí)勤懶生人數(shù)之比為，結(jié)合自己對(duì)以前畢業(yè)于自己班的學(xué)生高考后的表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，勤生高考后流下悔恨的淚水的概率為0.001，而懶生高考后流下悔恨的淚水的概率為0.020.展望本屆學(xué)生高考，他清楚地知道，自己班上一定有學(xué)生會(huì)在高考后流下悔恨的淚水，若真如該老師所料，有一位學(xué)生流下了悔恨的淚水，則這個(gè)學(xué)生恰好是一名懶生的概率為 （結(jié)果用既約分?jǐn)?shù)表示）
23．（2024·廣東廣州·三模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里，當(dāng)抽獎(jiǎng)人選擇了某個(gè)箱子后，在箱子打開(kāi)之前，主持人先隨機(jī)打開(kāi)了另一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的箱子，并問(wèn)抽獎(jiǎng)人是否愿意更改選擇以便增加中獎(jiǎng)概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號(hào)箱，用表示號(hào)箱有獎(jiǎng)品（），用表示主持人打開(kāi)號(hào)箱子（），則 ，若抽獎(jiǎng)人更改了選擇，則其中獎(jiǎng)概率為 ．
24．（2024·重慶·三模）設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則 ．
25．（2024·陜西榆林·三模）在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)每次成功的概率為.則在至少成功1次的條件下，4次試驗(yàn)全部成功的概率為 .
26．（2024·安徽安慶·三模）一個(gè)不透明的袋子裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字后放回，乙再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球記下所標(biāo)數(shù)字，若摸出的球上所標(biāo)數(shù)字大即獲勝（若所標(biāo)數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號(hào)球的概率為 ．
27．（2024·遼寧·三模）一個(gè)書(shū)包中有標(biāo)號(hào)為“”的張卡片.一個(gè)人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標(biāo)號(hào)的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書(shū)包中卡片全部被拿走，則操作結(jié)束.記書(shū)包中卡片全部被拿走的概率為，則 . .
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）若隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則（ ）
A．0B．C．D．2
2．（2024·湖北荊州·三模）上周聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且，負(fù)責(zé)命題的王老師考后隨機(jī)抽取了個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，設(shè)這個(gè)學(xué)生中得分在的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的方差為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·遼寧·三模）在調(diào)查對(duì)某大型活動(dòng)滿意度比例為0.9的人員中抽取10人，設(shè)當(dāng)中持有滿意態(tài)度的人數(shù)為，隨機(jī)變量，則的方差的值為（ ）
A．21B．6.6C．3.6D．4.8
4．（2024·江西宜春·三模）下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位數(shù)為5
B．一組數(shù)據(jù)，3，2，5，7的中位數(shù)為3，則的取值范圍是
C．若隨機(jī)變量，則方差
D．若隨機(jī)變量，且，則
二、多選題
5．（2024·山東聊城·三模）在美國(guó)重壓之下，中國(guó)芯片異軍突起，當(dāng)前我們國(guó)家生產(chǎn)的最小芯片制程是7納米.某芯片生產(chǎn)公司生產(chǎn)的芯片的優(yōu)秀率為0.8，現(xiàn)從生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取5件，其中優(yōu)秀產(chǎn)品的件數(shù)為.另一隨機(jī)變量，則（ ）
A．B．
C．D．隨的增大先增大后減小
6．（2024·山東濟(jì)南·三模）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
7．（2024·江蘇南通·三模）已知隨機(jī)變量．若，則 ，若，則的方差為 ．
四、解答題
8．（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個(gè)小球，其中有個(gè)紅球.
(1)若，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的方差
(2)從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個(gè)小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量，若的期望，方差，求;
(3)若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個(gè)小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率.
參考數(shù)據(jù):
9．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）古樓雪峰茶，產(chǎn)于洞口縣古樓，1991年被評(píng)為湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶過(guò)程中，在采摘后還需要經(jīng)過(guò)殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某雪峰茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為，，每道工序的加工都相互獨(dú)立，且茶葉加工中三道工序至多有兩道工序合格的概率為.三道工序加工都合格的雪峰茶為特級(jí)雪峰茶，恰有兩道工序加工合格的雪峰茶為一級(jí)雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶為二級(jí)雪峰茶，其余的為不合格雪峰茶.
(1)在雪峰茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率；
(2)每盒雪峰茶原材料及制作成本為20元，其中特級(jí)雪峰茶、一級(jí)雪峰茶、二級(jí)雪峰茶的出廠價(jià)分別為100元，70元，50元，而不合格雪峰茶則不進(jìn)入市場(chǎng).記經(jīng)過(guò)三道工序制成的一盒雪峰茶的利潤(rùn)為元，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
10．（2024·河北保定·三模）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)n次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)1的次數(shù)為X.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量Y，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有96％的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在0.3與0.7之間，試估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)n的最小值.
11．（2024·重慶·三模）重慶一中被評(píng)為“全國(guó)最美校園書(shū)屋”，學(xué)校和重慶大學(xué)圖書(shū)館簽訂了合作共享協(xié)議，重慶大學(xué)圖書(shū)館對(duì)重慶一中所有學(xué)生開(kāi)放圖書(shū)借閱.已知小張同學(xué)在重慶大學(xué)的圖書(shū)借閱規(guī)律如下:他在重慶大學(xué)圖書(shū)館只借閱“期刊雜志”和“文獻(xiàn)書(shū)籍”兩類(lèi)書(shū)籍.第一次隨機(jī)選擇一類(lèi)圖書(shū)借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為.
(1)設(shè)小張同學(xué)在兩次借閱過(guò)程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若小張同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書(shū)籍”，試分析他第一次借哪類(lèi)圖書(shū)的可能性更大，并說(shuō)明理由.
12．（2024·寧夏石嘴山·三模）2023年9月23日至10月8日，第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在我國(guó)杭州舉行，這是我國(guó)繼北京、廣州亞運(yùn)會(huì)后第三次舉辦亞運(yùn)會(huì). 某電信公司為了解當(dāng)?shù)厥忻駥?duì)“亞運(yùn)會(huì)”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會(huì)”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分. 現(xiàn)從參加了競(jìng)賽的男、女市民中各隨機(jī)抽取100名市民的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對(duì)這100名男市民的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖.現(xiàn)規(guī)定成績(jī)不低于80分的市民獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，若女市民樣本中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)占比為.
(1)根據(jù)題中信息完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民在這次知識(shí)競(jìng)賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)與性別有關(guān)？
(2)將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，電信公司對(duì)在這次競(jìng)賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的市民每人將發(fā)放50元手機(jī)話費(fèi)充值卡的獎(jiǎng)勵(lì). 從該市所有參賽的市民中隨機(jī)抽取10人，記電信公司發(fā)放的手機(jī)話費(fèi)充值卡的總金額數(shù)為元，求的數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
13．（2024·江西·三模）某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物有獎(jiǎng)活動(dòng)，若購(gòu)物金額超過(guò)100元，則可以抽獎(jiǎng)一次，獎(jiǎng)池中有8張數(shù)字卡片，其中兩張卡片數(shù)字為1，兩張卡片數(shù)字為2，兩張卡片數(shù)字為3，兩張卡片數(shù)字為4，每次抽獎(jiǎng)?wù)邚闹须S機(jī)抽取兩張卡片，取出兩張卡片之后記下數(shù)字再一起放回獎(jiǎng)池供下一位購(gòu)物者抽取，如果抽到一張數(shù)字為1的卡片，則可獲得10元的獎(jiǎng)勵(lì)，抽到兩張數(shù)字為1的卡片，則可獲得20元的獎(jiǎng)勵(lì)，抽到其他卡片沒(méi)有獎(jiǎng)．小華購(gòu)物金額為120元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).
(1)求小華抽到兩張數(shù)字不同的卡片的概率；
(2)記小華中獎(jiǎng)金額為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
14．（2024·河南·三模）已知函數(shù)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，的期望為.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.
15．（2024·陜西榆林·三模）“直播的盡頭是帶貨”，如今網(wǎng)絡(luò)直播帶貨越來(lái)越火爆，但商品的質(zhì)量才是一個(gè)主播能否持久帶貨的關(guān)鍵.某主播委托甲?乙兩個(gè)工廠為其生產(chǎn)加工商品，為了了解商品質(zhì)量情況，分別從甲?乙兩個(gè)工廠各隨機(jī)抽取了100件商品，根據(jù)商品質(zhì)量可將其分為一、二、三等品，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如下圖：
(1)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有的把握認(rèn)為商品為一等品與加工工廠有關(guān)？
(2)將樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，現(xiàn)在甲?乙工廠為該主播進(jìn)行商品展示活動(dòng)，每輪活動(dòng)分別從甲?乙工廠中隨機(jī)挑選一件商品進(jìn)行展示，求在兩輪活動(dòng)中恰有三個(gè)一等品的概率；
(3)綜合各個(gè)方面的因素，最終該主播決定以后只委托甲工廠為其生產(chǎn)商品，已知商品隨機(jī)裝箱出售，每箱30個(gè).商品出廠前，工廠可自愿選擇是否對(duì)每箱商品進(jìn)行檢驗(yàn).若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)商品的檢驗(yàn)費(fèi)用為10元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對(duì)賣(mài)出的每個(gè)三等品商品支付100元賠償費(fèi)用.將樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用的期望記為，所有賠償費(fèi)用的期望記為，以和的大小關(guān)系作為決策依據(jù)，判斷是否需要對(duì)每箱商品進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
16．（2024·河南·三模）甲、乙兩個(gè)班級(jí)之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行3場(chǎng)單打比賽，每場(chǎng)單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊(duì)累計(jì)分達(dá)到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結(jié)束；③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負(fù)，則進(jìn)行一場(chǎng)雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場(chǎng)單打比賽甲班獲勝的概率為，每場(chǎng)比賽無(wú)平局，不同場(chǎng)次比賽之間相互獨(dú)立．
(1)求進(jìn)行雙打比賽的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量為比賽場(chǎng)次，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
17．（2024·浙江·三模）為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，寒假期間小王每天堅(jiān)持在 “跑步20 分鐘”和“跳繩20 分鐘” 中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉. 在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為，跳繩的概率為，在下雪天他跑步的概率為，跳繩的概率為. 若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為，若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為. 已知寒假第一天不下雪，跑步分鐘大約消耗能量卡路里，跳繩20分鐘大約消耗能量200卡路里. 記寒假第天不下雪的概率為 .
(1)求的值，并求;
(2)設(shè)小王寒假第天通過(guò)運(yùn)動(dòng)消耗的能量為，求的數(shù)學(xué)期望.
18．（2024·北京·三模）某口罩加工廠加工口罩由A，B，C三道工序組成，每道工序之間相互獨(dú)立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級(jí)別，A，B，C三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過(guò)濾等級(jí)；A，B，C工序加工質(zhì)量層次均為高時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為100等級(jí)（表示最低過(guò)濾效率為）；C工序的加工質(zhì)量層次為高，A，B工序至少有一個(gè)質(zhì)量層次為低時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為99等級(jí)（表示最低過(guò)濾效率為）；其余均為95級(jí)（表示最低過(guò)濾效率為）.現(xiàn)從A，B，C三道工序的流水線上分別隨機(jī)抽取100個(gè)口罩進(jìn)行檢測(cè)，其中A工序加工質(zhì)量層次為高的個(gè)數(shù)為50個(gè)，B工序加工質(zhì)量層次高的個(gè)數(shù)為75個(gè)，C工序加工質(zhì)量層次為高的個(gè)數(shù)為80個(gè).
表①：表示加工一個(gè)口罩的利潤(rùn).
(1)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該廠生產(chǎn)的口罩過(guò)濾等級(jí)為100等級(jí)的概率；
(2)X表示一個(gè)口罩的利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用頻率估計(jì)概率，由于工廠中A工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)環(huán)節(jié)對(duì)A工序進(jìn)行升級(jí).在升級(jí)過(guò)程中，每個(gè)口罩檢測(cè)成本增加了0.2元時(shí)，相應(yīng)的A工序加工層次為高的概率在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了b.試問(wèn)：若工廠升級(jí)方案后對(duì)一個(gè)口罩利潤(rùn)的期望有所提高，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的b的值.
19．（2024·河南·三模）多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明如果甲?乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為，乙每局比賽獲勝的概率為.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最先獲得三局勝利者獲得冠軍）.
(1)現(xiàn)在比賽正在進(jìn)行，而且乙暫時(shí)以領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；
(2)若本次決賽最終甲以的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號(hào)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20．（2024·河北·三模）10米氣步槍是國(guó)際射擊聯(lián)合會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績(jī)?nèi)缦拢?br>假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績(jī)相互獨(dú)立.
(1)若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，并說(shuō)明理由；
(2)若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個(gè)“9環(huán)”和2個(gè)“10環(huán)”的概率；
(3)甲、乙、丙各射擊10次，用分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中，寫(xiě)出一個(gè)的值，使，并說(shuō)明理由.
21．（2024·上?！と＃S兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．
(1)設(shè)A：擲得的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，B：擲得的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)，判斷A、B是否相互獨(dú)立．并說(shuō)明理由；
(2)已知甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙箱中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球．若擲骰子所得到的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)奇偶性不同，則從甲箱中任取兩個(gè)球；若所得到的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)奇偶性相同，則從乙箱中任取兩個(gè)球、求取出白球個(gè)數(shù)的分布和期望．
22．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球．
(1)若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球，求這2個(gè)球顏色相同的概率；
(2)若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中，再?gòu)囊掖须S機(jī)地取出2個(gè)球，記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．
23．（2024·浙江杭州·三模）第二次世界大戰(zhàn)期間，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對(duì)盟軍具有非常重要的戰(zhàn)略意義.已知德軍的每輛坦克上都有一個(gè)按生產(chǎn)順序從1開(kāi)始的連續(xù)編號(hào).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N，隨機(jī)繳獲該月生產(chǎn)的n輛（）坦克的編號(hào)為，，…，，記，即繳獲坦克中的最大編號(hào).現(xiàn)考慮用概率統(tǒng)計(jì)的方法利用繳獲的坦克編號(hào)信息估計(jì)總數(shù)N.
甲同學(xué)根據(jù)樣本均值估計(jì)總體均值的思想，用估計(jì)總體的均值，因此，得，故可用作為N的估計(jì).
乙同學(xué)對(duì)此提出異議，認(rèn)為這種方法可能出現(xiàn)的無(wú)意義結(jié)果.例如，當(dāng)，時(shí)，若，，，則，此時(shí).
(1)當(dāng)，時(shí)，求條件概率；
(2)為了避免甲同學(xué)方法的缺點(diǎn)，乙同學(xué)提出直接用M作為N的估計(jì)值.當(dāng)，時(shí)，求隨機(jī)變量M的分布列和均值；
(3)丙同學(xué)認(rèn)為估計(jì)值的均值應(yīng)穩(wěn)定于實(shí)際值，但直觀上可以發(fā)現(xiàn)與N存在明確的大小關(guān)系，因此乙同學(xué)的方法也存在缺陷.請(qǐng)判斷與N的大小關(guān)系，并給出證明.
24．（2024·黑龍江·三模）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來(lái)的人們健康意識(shí)日益提升，越來(lái)越多的人走向公園?場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)査，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？
(2)現(xiàn)從50歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于5小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人填寫(xiě)調(diào)査問(wèn)卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
25．（2024·全國(guó)·三模）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒(méi)有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.
(1)經(jīng)過(guò)3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；
(2)若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.
26．（2024·河北秦皇島·三模）教練統(tǒng)計(jì)了甲12次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙8次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：
已知甲12次投籃次數(shù)的方差，乙8次投籃次數(shù)的方差.
(1)求這20次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.
(2)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.已知第一次投籃的人是甲，且甲、乙總共投籃了3次，表示甲投籃的次數(shù)，求的分布列與期望.
27．（2024·福建莆田·三模）跑步是一種方便的體育鍛煉方法，堅(jiān)持跑步可以增強(qiáng)體質(zhì)，提高免疫力.某數(shù)學(xué)興趣小組成員從某校大學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查他們是否喜歡跑步，得到的數(shù)據(jù)如表所示.
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校大學(xué)生是否喜歡跑步與性別有關(guān)?
(2)該數(shù)學(xué)興趣小組成員為進(jìn)一步調(diào)查該校大學(xué)生喜歡跑步的原因，采用分層抽樣的方法從樣本中喜歡跑步的大學(xué)生中隨機(jī)抽取11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行調(diào)查，記最后抽取的4人中，女大學(xué)生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)；
28．（2024·遼寧·三模）為進(jìn)一步培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高創(chuàng)造性思維和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，某省舉辦高中生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽現(xiàn)某市從M，N兩個(gè)學(xué)校選拔學(xué)生組隊(duì)參賽，M，N兩個(gè)學(xué)校學(xué)生總數(shù)分別為1989人、3012人．兩校分別初選出4人、6人用于組隊(duì)參賽，其中兩校選拔的人中各有兩人有比賽經(jīng)驗(yàn)，按照分層抽樣從M，N兩個(gè)學(xué)校初選人中共選擇5名學(xué)生組隊(duì)參賽，設(shè)該隊(duì)5人中有參賽經(jīng)驗(yàn)的人數(shù)為X．
(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)各市確定5人組隊(duì)參賽，此次比賽規(guī)則是：小組內(nèi)自行指定一名同學(xué)起稿建立模型，之后每輪進(jìn)行兩人單獨(dú)交流．假設(shè)某隊(duì)決定由A起稿建立模型，A從其他四名成員中選擇一人B進(jìn)行交流，結(jié)束后把成果交由B，然后B再?gòu)钠渌ˋ在內(nèi)的四個(gè)成員中選擇一人進(jìn)行交流每一個(gè)環(huán)節(jié)只能是兩名成員單獨(dú)交流，每個(gè)小組有20次交流機(jī)會(huì)，最后再進(jìn)入評(píng)委打分環(huán)節(jié)，現(xiàn)該市選定甲、乙、丙、丁、戊五人參賽，其中甲、乙兩人有參賽經(jīng)驗(yàn)．在每次交流中，甲、乙被同伴選為交流對(duì)象的概率均為，丙、丁、戊被同伴選為交流對(duì)象的概率相等，比賽由甲同學(xué)起稿建立模型．
①求該組第三次交流中甲被選擇的概率；
②求第n次交流中甲被選擇的概率（，）．
一、單選題
1．（2024·安徽·三模）已知某地區(qū)高中生的身高近似服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個(gè)，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為（ ）
A．286B．293C．252D．246
3．（2024·浙江杭州·三模）傳輸信號(hào)會(huì)受到各種隨機(jī)干擾，為了在強(qiáng)干擾背景下提取微弱信號(hào)，可用同步累積法.設(shè)s是需提取的確定信號(hào)的值，每隔一段時(shí)間重復(fù)發(fā)送一次信號(hào)，共發(fā)送m次，每次接收端收到的信號(hào)，其中干擾信號(hào)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，令累積信號(hào)，則Y服從正態(tài)分布，定義信噪比為信號(hào)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比的平方，例如的信噪比為，則累積信號(hào)Y的信噪比是接收一次信號(hào)的（ ）倍
A．B．mC．D．
4．（2024·湖南益陽(yáng)·三模）某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．3C．4D．9
5．（2024·貴州畢節(jié)·三模）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.66B．0.34C．0.17D．0.16
6．（2024·安徽·三模）已知某市高三共有20000名學(xué)生參加二模考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)，該市二?？荚嚁?shù)學(xué)分?jǐn)?shù)介于75到115之間的人數(shù)為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則.
A．13272B．16372C．16800D．19518
7．（2024·安徽合肥·三模）為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（ ）
參考數(shù)據(jù)：
A．B．C．D．
8．（2024·浙江金華·三模）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考（總分150分），假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績(jī)從高到低分為，，，四個(gè)等級(jí).若某同學(xué)考試成績(jī)?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級(jí)為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A．B．C．D．
9．（2024·四川南充·三模）某市為了解某種農(nóng)作物的生長(zhǎng)情況，抽取了10000株作為樣本，若該農(nóng)作物的莖高X近似服從正態(tài)分布且．則該農(nóng)作物莖高在范圍內(nèi)的株數(shù)約為（ ）
A．1000B．2000C．3000D．4000
10．（2024·福建廈門(mén)·三模）已知隨機(jī)變量，，則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
11．（2024·福建三明·三模）隨機(jī)變量，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的概率是，則μ的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2024·河南開(kāi)封·三模）在某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)中，假設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)從大到小分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，則等級(jí)為A的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小值可能是（附：若，則，）（ ）
A．94B．86C．82D．78
二、多選題
13．（2024·浙江·三模）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)7，5，3，10，2的第40百分位數(shù)是3
B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布越小，表示隨機(jī)變量分布越集中
C．已知一組數(shù)據(jù)的方差為3，則的方差為3
D．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個(gè)散點(diǎn)為，則
14．（2024·安徽·三模）下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則答對(duì)7題的概率最大
B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則
D．兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱
15．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機(jī)變量表示停止時(shí)拋擲的次數(shù)，則
B．從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)選取2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)隨機(jī)變量表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則
C．若隨機(jī)變量，則
D．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小，增大時(shí)，保持不變
三、填空題
16．（2024·重慶·三模）已知隨機(jī)變量，則 .
17．（2024·浙江溫州·三模）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 .
四、解答題
18．（2024·福建福州·三模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過(guò)200V；②在200V~240V之間③超過(guò)240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品時(shí)，電壓不超過(guò)200V的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
19．（2024·寧夏銀川·三模）銀川市唐徠中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了解銀川市民每年旅游消費(fèi)支出費(fèi)用（單位：千元），春節(jié)期間對(duì)游覽某網(wǎng)紅景區(qū)的100名銀川市游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：
(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出不低于10000元的概率；
(2)若市民的旅游支出費(fèi)用X近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：
①假定銀川市常住人口為300萬(wàn)人，試估計(jì)銀川市有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在15000元以上；
②若在銀川市隨機(jī)抽取3位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在9000元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.
附：若，則，，
20．（2024·廣西桂林·三模）年菜一詞指舊俗過(guò)年時(shí)所備的菜肴，也就是俗稱(chēng)的“年夜飯”，為了了解消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計(jì)了1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支接受價(jià)格的分位數(shù)（精確到0.1）；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支接受價(jià)格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計(jì)總體，求所有消費(fèi)者對(duì)年菜開(kāi)支接受價(jià)格大于972元的概率．
參考數(shù)據(jù)：若，則，．
21．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）某地區(qū)舉行專(zhuān)業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過(guò)后，才能參加復(fù)試.為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試?yán)谜龖B(tài)分布估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于85分的人數(shù)；
(2)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī).已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中，前兩題每題能答對(duì)的概率均為，后兩題每題能答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復(fù)試成績(jī)上了20分（含20分）的考生能進(jìn)入面試，請(qǐng)問(wèn)該考生進(jìn)入面試的概率有多大?
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：，.
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）地球生命來(lái)自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學(xué)快訊》上的文章《基因庫(kù)的增長(zhǎng)是生命起源和演化的時(shí)鐘》可能給出了一種答案．該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿基排列數(shù)的大小定義了基因庫(kù)的復(fù)雜度y（單位：1），通過(guò)研究各個(gè)年代的古代生物化石里基因庫(kù)的復(fù)雜度，提出了一個(gè)有趣的觀點(diǎn)：生物基因庫(kù)的復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)的，只要知道生物基因庫(kù)的復(fù)雜度就可以推測(cè)該生物體出現(xiàn)的年代．如圖是該論文作者根據(jù)生物化石（原核生物，真核生物，蠕蟲(chóng)，魚(yú)類(lèi)，哺乳動(dòng)物）中的基因復(fù)雜度的常用對(duì)數(shù)與時(shí)間（單位：十億年）的散點(diǎn)圖及回歸擬合情況（其中回歸方程為：，相關(guān)指數(shù)）．根據(jù)題干與圖中的信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．根據(jù)信息生物基因庫(kù)的復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)的情況，不同于作者采取取常用對(duì)數(shù)的做法，我們也可采用函數(shù)模型來(lái)擬合
B．根據(jù)回歸方程可以得到，每過(guò)10億年，生物基因庫(kù)的復(fù)雜度一定增加到原來(lái)的倍
C．雖然擬合相關(guān)指數(shù)為0.97，但是樣本點(diǎn)只有5個(gè)，不能很好地闡釋其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以增加可靠的樣本點(diǎn)可以更好地完善回歸方程
D．根據(jù)物理界主流觀點(diǎn)：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初時(shí)生物的復(fù)雜度大約為，可以推斷地球生命可能并非誕生于地球
二、解答題
2．（2024·浙江溫州·三模）現(xiàn)有張形狀相同的卡片，上而分別寫(xiě)有數(shù)字，將這張卡片充分混合后，每次隨機(jī)抽取一張卡片，記錄卡片上的數(shù)字后放回，現(xiàn)在甲同學(xué)隨機(jī)抽取4次.
(1)若，求抽到的4個(gè)數(shù)字互不相同的概率；
(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們常用樣本的均值來(lái)估計(jì)總體的期望.定義為隨機(jī)變量的階矩，其中1階矩就是的期望，利用階矩進(jìn)行估計(jì)的方法稱(chēng)為矩估計(jì).
（?。┯浢看纬榈降臄?shù)字為隨機(jī)變量，計(jì)算隨機(jī)變量的1階矩和2階矩；（參考公式：）
（ⅱ）知甲同學(xué)抽到的卡片上的4個(gè)數(shù)字分別為3，8，9，12，試?yán)眠@組樣本并結(jié)合（ⅰ）中的結(jié)果來(lái)計(jì)算的估計(jì)值.（的計(jì)算結(jié)果通過(guò)四舍五入取整數(shù)）
3．（2024·河南·三模）定義1 進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說(shuō)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫(xiě)在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．
定義2 三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．
(1)若是三角形數(shù)，試寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的的值；
(2)若是完全平方數(shù)，求的值；
(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
4．（2024·山東濟(jì)南·三模）高斯二項(xiàng)式定理廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理交叉領(lǐng)域．設(shè)，，記，，并規(guī)定．記，并規(guī)定．定義
(1)若，求和；
(2)求；
(3)證明：．
5．（2024·江蘇南通·三模）“熵”常用來(lái)判斷系統(tǒng)中信息含量的多少，也用來(lái)判斷概率分布中隨機(jī)變量的不確定性大小，一般熵越大表示隨機(jī)變量的不確定性越明顯．定義：隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)取值的概率為，其單位為bit的熵為，且．（當(dāng)，規(guī)定．）
(1)若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為，正面向上的次數(shù)為，分別比較與時(shí)對(duì)應(yīng)的大小，并根據(jù)你的理解說(shuō)明結(jié)論的實(shí)際含義；
(2)若拋鄭一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，設(shè)表示正面向上的總次數(shù)，表示第次反面向上的次數(shù)（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如時(shí)，．對(duì)于兩個(gè)離散的隨機(jī)變量，其單位為bit的聯(lián)合熵記為，且．
（?。┊?dāng)時(shí)，求的值；
（ⅱ）求證：．班級(jí)
人數(shù)
平均分
方差
甲
45
88
1
乙
45
90
2
選手
選手1
選手2
選手3
選手4
選手5
選手6
選手7
選手8
個(gè)數(shù)
141
171
161
147
145
171
170
172
班級(jí)
人數(shù)
平均分
方差
甲
45
88
1
乙
45
90
2
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
選手
選手1
選手2
選手3
選手4
選手5
選手6
選手7
選手8
個(gè)數(shù)
141
171
161
147
145
171
170
172
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代碼
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）
19
19.3
19.6
20
21.2
22.4
23.8
24.6
25
25.4
2
4
6
400
600
800
月份
2023.11
2023.12
2024.01
2024.02
2024.03
月份編號(hào)x
1
2
3
4
5
利潤(rùn)（y萬(wàn)元）
27
23
20
17
13
售價(jià)（元/件）
53
49
51
50
47
月銷(xiāo)售量（千件）
5
9
7
10
9
月份
1
2
3
4
5
6
廣告投入量
2
7
8
10
收益
20
30
34
37
7
30
1470
370
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
甲班
10
乙班
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
場(chǎng)次編號(hào)
1
2
3
4
5
觀眾人數(shù)
0.7
0.8
1
1.2
1.3
購(gòu)買(mǎi)A等票
購(gòu)買(mǎi)非A等票
總計(jì)
男性觀眾
50
女性觀眾
60
總計(jì)
100
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
男生
女生
評(píng)分
30
35
評(píng)分
20
15
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性別
閱讀達(dá)標(biāo)情況
合計(jì)
閱讀達(dá)標(biāo)
閱讀不達(dá)標(biāo)
男生
女生
合計(jì)
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
類(lèi)別
樹(shù)苗成活情況
合計(jì)
成活
不成活
含元素
不含元素
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間
不喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間
初中生
160
40
高中生
140
60
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
學(xué)生群體
關(guān)注度
合計(jì)
關(guān)注
不關(guān)注
大學(xué)生
高中生
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0282
0.0121
0.0052
0.0022
0.0010
0.0004
0.0002
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
優(yōu)秀獎(jiǎng)
非優(yōu)秀獎(jiǎng)
合計(jì)
男
女
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
口罩等級(jí)
100等級(jí)
99等級(jí)
95等級(jí)
利潤(rùn)/元
2
1
0.5
環(huán)數(shù)
6環(huán)
7環(huán)
8環(huán)
9環(huán)
10環(huán)
甲的射擊頻數(shù)
1
1
10
24
24
乙的射擊頻數(shù)
3
2
10
30
15
丙的射擊頻數(shù)
2
4
10
18
26
周平均鍛煉時(shí)間少于5小時(shí)
周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)
合計(jì)
50歲以下
80
120
200
50歲以上（含50）
50
150
200
合計(jì)
130
270
400
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73
性別
跑步
合計(jì)
喜歡
不喜歡
男
40
20
60
女
15
25
40
合計(jì)
55
45
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
組別（支出費(fèi)用）
頻數(shù)
3
4
8
11
41
20
8
5

相關(guān)試卷

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