一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對(duì)“一?！笨荚囍械膯?wèn)題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過(guò)程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過(guò)程及書(shū)寫(xiě)。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們?cè)诼?tīng)課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對(duì)問(wèn)題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們?cè)谒㈩}時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對(duì)于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過(guò)程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題20 概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類
目 錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157086343" 01 抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 PAGEREF _Tc157086343 \h 2
\l "_Tc157086344" 02 統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 PAGEREF _Tc157086344 \h 3
\l "_Tc157086345" 03 傳統(tǒng)線性擬合 PAGEREF _Tc157086345 \h 6
\l "_Tc157086346" 04 非線性擬合處理 PAGEREF _Tc157086346 \h 7
\l "_Tc157086347" 05 傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) PAGEREF _Tc157086347 \h 9
\l "_Tc157086348" 06 創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc157086348 \h 11
\l "_Tc157086349" 07 正態(tài)分布 PAGEREF _Tc157086349 \h 14
\l "_Tc157086350" 08 超幾何分布與二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc157086350 \h 16
\l "_Tc157086351" 09 隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 PAGEREF _Tc157086351 \h 18
\l "_Tc157086352" 10 古典概型 PAGEREF _Tc157086352 \h 21
\l "_Tc157086353" 11 條件概率與全概率 PAGEREF _Tc157086353 \h 22
\l "_Tc157086354" 12 概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題 PAGEREF _Tc157086354 \h 24
\l "_Tc157086355" 13 傳統(tǒng)規(guī)則的概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc157086355 \h 26
\l "_Tc157086356" 14 新賽制概率問(wèn)題 PAGEREF _Tc157086356 \h 30
\l "_Tc157086357" 15 遞推型概率命題 PAGEREF _Tc157086357 \h 31
01 抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校高三年級(jí)有男生640人，女生360人．為了解高三學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學(xué)生中共抽取50名學(xué)生，則男、女學(xué)生的樣本容量分別為（ ）
A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18
【答案】D
【解析】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽?。ㄈ耍?，女生共抽?。ㄈ耍?br>故選：D．
2．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某學(xué)校高三年級(jí)一班共有60名學(xué)生，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名學(xué)生做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將學(xué)生編號(hào)為1，2，…，60.選取的這6名學(xué)生的編號(hào)可能是（ ）
A．1，11，21，31，41，51B．6，15，25，35，45，55
C．10，16，26，36，46，56D．3，9，13，27，36，54
【答案】A
【解析】由知組距為10，
當(dāng)?shù)谝唤M抽到的編號(hào)為i時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法可知，第k組取的編號(hào)為，
當(dāng)時(shí)可知A正確，易知BCD錯(cuò)誤.
故選：A
3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校要從高一、高二、高三共2 019名學(xué)生中選取50名組成志愿團(tuán)，若先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從2 019名學(xué)生中剔除19名，再?gòu)氖Ｏ碌? 000名學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取50名，則每名學(xué)生入選的可能性（ ）
A．都相等且為B．都相等且為
C．不完全相等D．均不相等
【答案】A
【解析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及分層抽樣的定義可得，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，
所以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
02 統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征
4．（多選題）（2024·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）近年來(lái)，鄉(xiāng)村游成為中國(guó)國(guó)民旅游的熱點(diǎn)，下面圖1，2，3，4分別為2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者年齡、性別、月收入及一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)金額的有關(guān)數(shù)據(jù)分析，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在歲之間的男性占比超過(guò)
B．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬(wàn)元的占比超過(guò)
C．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為
D．2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值高于650元（同一花費(fèi)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)用其中間值作代表）
【答案】BC
【解析】由圖1和圖2可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中年齡在歲之間的男性占比為，故A正確；
由圖3可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中月收入不高于1萬(wàn)元的占比為，故B錯(cuò)誤；
由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者中一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)4個(gè)范圍占比的中位數(shù)為
，故C錯(cuò)誤；
由圖4可知，2023年中國(guó)鄉(xiāng)村旅游消費(fèi)者一次鄉(xiāng)村旅游花費(fèi)的平均數(shù)估計(jì)值為，故D正確.
故選：BC
5．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）新式茶飲是指以上等茶葉通過(guò)萃取濃縮液，再根據(jù)消費(fèi)者偏好，添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料．如圖為2022年我國(guó)消費(fèi)者購(gòu)買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額的條形圖．

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．每周都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比不到90%
B．每天都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)20%
C．月均消費(fèi)新式茶飲50～200元的消費(fèi)者占比超過(guò)50%
D．月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比超過(guò)60%
【答案】BC
【解析】每周都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比,A錯(cuò)誤；
每天都消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比，B正確；
月均消費(fèi)新式茶飲50～200元的消費(fèi)者占比，C正確；
月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比,D錯(cuò)誤．
故選：BC
6．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖為2022年全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅情況，則（ ）
A．環(huán)比漲跌幅的極差小于同比漲跌幅的極差
B．環(huán)比漲跌幅的中位數(shù)為0.1%
C．環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差
D．同比漲跌幅的下四分位數(shù)為1.55%
【答案】ACD
【解析】由題意得，同比漲跌幅從小到大排列依次為0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%；
環(huán)比漲跌幅從小到大排列依次為－0.2%，－0.2%，－0.1%，0%，0%，0%，0.1%，0.3%，0.4%，0.4%，0.5%，0.6%．-
選項(xiàng)A中：環(huán)比漲跌幅的極差為，
同比漲跌幅的極差為，因?yàn)椋訟正確；
選項(xiàng)B中：環(huán)比漲跌幅的中位數(shù)為，所以B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C中：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中，環(huán)比漲跌螎的波動(dòng)性小于同比漲跌幅的波動(dòng)性，
所以環(huán)比漲跌螎的方差小于同比漲跌幅的方差，所以C正確；
選項(xiàng)D中：同比漲跌幅的下四分位數(shù)為，所以D正確.
故選：ACD.
7．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記男生樣本的平均數(shù)為，方差為；女生樣本的平均數(shù)為，方差為；男女總樣本的平均數(shù)記為，方差為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)A，，可得，則或，A不正確．
對(duì)B，，所以，若，則，B正確．
對(duì)C，因?yàn)椋裕?br>則．
又，
所以，C正確．
對(duì)D，
，
所以，D正確．
故選：BCD
03 傳統(tǒng)線性擬合
8．已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點(diǎn)，
所以，
所以，
故答案為：
9．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書(shū)館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表，可得關(guān)于的線性回歸方程為.則 .
【答案】
【解析】根據(jù)表格可知，
，，
代入，可得.
故答案為：
10．（2024·四川成都·高三校考階段練習(xí)）下表提供了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（單位：噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：
根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得關(guān)于的線性回歸方程為，那么表格中的值為 ．
【答案】3
【解析】．
因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以，解得．
故答案為：
04 非線性擬合處理
11．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若需要刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量和解釋變量的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量隨著解釋變量的增大而減小，并且隨著解釋變量的增大，預(yù)報(bào)變量大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合和之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而增大，不合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，不合題意，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減且，所以隨著的增大而減小，當(dāng)解釋變量，，故D錯(cuò)誤；
故選：D．
12．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考一模）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來(lái)，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場(chǎng)規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：
由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
即經(jīng)驗(yàn)回歸方程，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
即2025年該科技公司云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y的估計(jì)值為，
故選：B
13．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則的值分別是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，設(shè)，可得.
又經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
所以，故.
故選：B
05 傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)
14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，
于是，
由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，
根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.
故選：C
15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020年以來(lái)，為了抗擊新冠肺炎疫情，教育部出臺(tái)了“停課不停學(xué)”政策，全國(guó)各地紛紛采取措施，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行教學(xué)，為莘莘學(xué)子搭建學(xué)習(xí)的平臺(tái)．在線教育近幾年蓬勃發(fā)展，為學(xué)生家長(zhǎng)帶來(lái)了便利，節(jié)省了時(shí)間，提供了多樣化選擇，滿足了不同需求，也有人預(yù)言未來(lái)的教育是互聯(lián)網(wǎng)教育．與此同時(shí)，網(wǎng)課也存在以下一些現(xiàn)象，自覺(jué)性不強(qiáng)的孩子網(wǎng)課學(xué)習(xí)的效果大打折扣，授課教師教學(xué)管理的難度增大．基于以上現(xiàn)象，開(kāi)學(xué)后某學(xué)校對(duì)本校課學(xué)習(xí)情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生進(jìn)行測(cè)試、問(wèn)卷等，調(diào)查結(jié)果形成以下2×2列聯(lián)表，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，認(rèn)為認(rèn)真參加網(wǎng)課與學(xué)生性別之間（ ）
參考數(shù)據(jù)：
A．不能根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)
B．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)
C．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)
D．根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者無(wú)關(guān)
【答案】B
【解析】由數(shù)表知，，而，
所以根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)．
故選：B
16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某病毒疫苗的研發(fā)過(guò)程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：
計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析 “給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（ ）
附：，n＝a＋b＋c＋d.
A．0.001B．0.05
C．0.01D．0.005
【答案】B
【解析】完善2×2列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為H0：“給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．
因?yàn)棣?＝，
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，
即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．
故選：B.
06 創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)
17．（多選題）為了估計(jì)一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大. 極大似然估計(jì)是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱有1個(gè)白球99個(gè)黑球．今隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的
B．一個(gè)池塘里面有鯉魚(yú)和草魚(yú)，打撈了100條魚(yú)，其中鯉魚(yú)80條，草魚(yú)20條，那么推測(cè)鯉魚(yú)和草魚(yú)的比例為4:1時(shí)，出現(xiàn)80條鯉魚(yú)、20條草魚(yú)的概率是最大的
C．
D．達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為
【答案】BCD
【解析】極大似然是一種估計(jì)方法，A錯(cuò)誤；
設(shè)鯉魚(yú)和草魚(yú)的比例為，則出現(xiàn)80條鯉魚(yú)，20條草魚(yú)的概率為，
設(shè)
，
時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，最大，故B正確；
根據(jù)題意，（其中或1，），
所以，可知C正確；
令，解得，且時(shí)，時(shí)，故在上遞增，在上遞減，故達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為，故D正確.
故選：BCD
18．高一模擬考試常常劃定的總分各批次分?jǐn)?shù)線，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)模型，確定不同學(xué)科在一本、二本等各批次“學(xué)科上線有雙分”的分?jǐn)?shù)線．考生總成績(jī)達(dá)到總分各批次分?jǐn)?shù)線的稱為總分上線；考生某一單科成績(jī)達(dá)到及學(xué)科上線有雙分的稱為單科上線．學(xué)科對(duì)總分的貢獻(xiàn)或匹配程度評(píng)價(jià)有很大的意義．利用“學(xué)科對(duì)總分上線貢獻(xiàn)率”和“學(xué)科有效分上線命中率”這兩項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，來(lái)反映各學(xué)科的單科成績(jī)對(duì)考生總分上線的貢獻(xiàn)與匹配程度，這對(duì)有效安排備考復(fù)習(xí)計(jì)劃具有十分重要的意義．某州一診考試劃定總分一本線為465分，數(shù)學(xué)一本線為104分，某班一小組的總分和數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)绫?，則該小組“數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)總分上線貢獻(xiàn)率、有效分上線命中率”分別是（ ）（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字）
A．41.7%，71.4%B．60%，71.4%
C．41.7%，35%D．60%，35%
【答案】A
【解析】由圖表知雙過(guò)線人數(shù)為5人，單過(guò)線人數(shù)為7人，總分過(guò)線人數(shù)為12人；
“學(xué)科對(duì)總分上線貢獻(xiàn)率”為，
“學(xué)科有效分上線命中率”為，
故選：A．
19．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中就有記載，其中有道“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)一批米，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷25粒，若這批米內(nèi)夾谷有160石，則這一批米約有（ ）
A．600石B．800石C．1600石D．3200石
【答案】C
【解析】設(shè)這批米大約為石，
根據(jù)題意，可得，解得石.
故選：C.
07 正態(tài)分布
20．（2024·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？计谀┪覀儗⒎亩?xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量可以由正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量的期望和方差相同.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時(shí)這個(gè)結(jié)論是成立的，法國(guó)數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，因此人們把這個(gè)結(jié)論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（ ）
（附：若，則，
A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.65865
【答案】B
【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設(shè)硬幣正面向上的次數(shù)為，
則.
由題意，且，
因?yàn)?，即?br>所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為.
故選：B.
21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）老張每天17:00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A，B兩條路線可以選擇．乘坐路線A所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家，要5分鐘，乘坐路線B所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家要12分鐘．下列說(shuō)法從統(tǒng)計(jì)角度認(rèn)為合理的是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，則，，）
A．若乘坐路線A，則在17:48前到家的可能性超過(guò)1%
B．若乘坐路線B，18:00前一定能到家
C．乘坐路線A和乘坐路線B在17:58前到家的可能性一樣
D．乘坐路線B比乘坐路線A在17:54前到家的可能性更小
【答案】C
【解析】設(shè)乘坐路線A所需時(shí)間為，乘坐路線B所需時(shí)間為
對(duì)于A，由知，，
因?yàn)?，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，“18:00前一定能到家”是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，可能不發(fā)生，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，，，
因此乘坐路線A和乘坐路線B在17:58前到家的可能性一樣，選項(xiàng)C正確．
對(duì)于D，，，乘坐路線B比乘坐路線A在17:54前到家的可能性更大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C.
22．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)，單位為.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計(jì)該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為（ ）
參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
A．1587B．2275C．2700D．1350
【答案】D
【解析】由已知，，，

零件尺寸在15.15以上的概率為，
設(shè)零件尺寸在15.15以上的零件數(shù)為，
則，，
故選：D．
08 超幾何分布與二項(xiàng)分布
23．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為舒緩高考?jí)毫?，射洪中學(xué)高三年級(jí)開(kāi)展了“葵花心語(yǔ)”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個(gè)人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長(zhǎng)出三株花苗，則可評(píng)為“陽(yáng)光小組”．已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8，全年級(jí)恰好共種了500盆，則大概有 個(gè)小組能評(píng)為“陽(yáng)光小組”．（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）
【答案】410
【解析】由題意知，每一盆至少長(zhǎng)出三株花苗包括“恰好長(zhǎng)出三株花苗”和“長(zhǎng)出四株花苗”兩種情況，
其概率為，
即一盆花苗能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的概率為，且被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的盆數(shù)服從二項(xiàng)分布，
所以500盆花苗中能被評(píng)為“陽(yáng)光小組”的有.
故答案為：410
24．（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，至少含有一個(gè)黑球的概率是.
故選：B.
25．（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)的概率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，10個(gè)數(shù)中，1，3，5，7，9為陽(yáng)數(shù)，2，4，6，8，10為陰數(shù)，
若任取的3個(gè)數(shù)中有0個(gè)陰數(shù)，則概率為；
若任取的3個(gè)數(shù)中有1個(gè)陰數(shù)，則概率為；
故這3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)的概率為.
故選：A.
26．（2024·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為2”，表示事件“第二次取出的卡片上的數(shù)字為1”，表示“事件兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為6”，表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為7”，則（ ）
A．與相互獨(dú)立B．與相互獨(dú)立
C．與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立
【答案】B
【解析】由題意知，，
，
，
因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤，
因?yàn)椋訠正確，
因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤，
因?yàn)椋訢錯(cuò)誤．
故選：B
09 隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
27．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，記隨機(jī)變量為x，y，z中的最大值，則 .
【答案】17
【解析】由題意可得：的可能取值為，
用隔板法可求得：事件總情況為種，
若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個(gè)正整數(shù)為或，則有種，故；
若，三個(gè)正整數(shù)為，則有種，故；
若，三個(gè)正整數(shù)為，則有種，故；
故的分布列為：
故.
所以
故答案為：.
28．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為
則 ； .
【答案】 2.8 10.4
【解析】,
.
故答案為：2.8；10.4.
29．（2022上·浙江湖州·高三?？计谀┯?，1，2，3，4組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則其中0和4不相鄰的四位數(shù)有 個(gè)，設(shè)這些無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的各數(shù)字之積為，則 ．
【答案】
【解析】當(dāng)在不在時(shí)，此時(shí)有個(gè)，
當(dāng)不在在時(shí)，此時(shí)有個(gè)，
當(dāng)都在時(shí)，
若在千位，可在十位或百位，此時(shí)有個(gè)，
若在百位，只能在個(gè)位，此時(shí)有個(gè)，
若在十位，無(wú)合適位置，故不成立，
若在個(gè)位，只能在百位，此時(shí)有個(gè)，
所以和不相鄰的四位數(shù)有個(gè)；
當(dāng)四位數(shù)中含有時(shí)，此時(shí)有個(gè)，此時(shí)
當(dāng)四位數(shù)中不含有時(shí)，此時(shí)有個(gè)，此時(shí)，
由上可知可取，
所以，，
所以，
故答案為：；.
30．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量有3個(gè)不同的取值，且其分布列如下：
則的最小值為 .
【答案】
【解析】依題意知，則，則，
設(shè)，則，
故，所以，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
故答案為：
10 古典概型
31．（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復(fù)被抽取），則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為 ．
【答案】/0.8
【解析】利用分步乘法原理計(jì)算出一共有25種結(jié)果，其中兩個(gè)班抽到不同歌曲的個(gè)數(shù)為20種，
則根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算：.
故答案為：
32．（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）將3個(gè)黑球和2個(gè)白球放入一個(gè)不透明的盒中，各球除顏色不同外完全相同，現(xiàn)從盒中兩次隨機(jī)抽取球，每次抽取一個(gè)球．
（ⅰ）若第一次隨機(jī)抽取一個(gè)球之后，將抽取出來(lái)的球放回盒中，第二次隨機(jī)抽取一個(gè)球，則兩次抽到顏色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次隨機(jī)抽取一個(gè)球之后，抽取出來(lái)的球不放回盒中，第二次從盒中余下的球中隨機(jī)抽取一個(gè)球，則在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
【答案】 / /
【解析】放回的抽取時(shí)，兩次抽取共有種情況，
其中兩次抽取顏色相同共有種情況，
其中黑色相同的有種，白色相同的共有種，
故所求概率為；
當(dāng)不放回的抽取時(shí)，顏色相同的有種情況，
其中其中黑色相同的有種，白色相同的共種，
所以在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，
第一次抽取的球是白球的概率為.
故答案為：；
33．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）一個(gè)學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生.從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為 .
【答案】
【解析】一個(gè)學(xué)習(xí)小組有3名同學(xué)，其中2名男生，1名女生,
從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)基本事件總數(shù)為,
選出的同學(xué)中既有男生又有女生包含的基本事件個(gè)數(shù)為,
則所求事件的概率為，
故答案為：.
34．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有編號(hào)為1，2的黑球和編號(hào)為1，2，3的白球，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為 ．
【答案】/
【解析】由題意取出的球顏色不同的取法數(shù)有，若球的編號(hào)之和為奇數(shù)，
當(dāng)選編號(hào)為1的黑球時(shí)，可以選編號(hào)為2的白球，
當(dāng)選編號(hào)為2的黑球時(shí)，可以選編號(hào)為1，3的白球，
即在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的取法數(shù)有種，
所以在取出的球顏色不同的條件下，球的編號(hào)之和為奇數(shù)的概率為.
故答案為：.
11 條件概率與全概率
35．（2024·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病，表示被檢驗(yàn)者患疾病，表示判斷被檢驗(yàn)者患疾病．用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實(shí)患疾病的概率 ．
【答案】
【解析】由條件概率公式可得，
，
由條件概率公式可得，
所以，，
所以，.
故答案為：.
36．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）近年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一逆亮麗的風(fēng)景線、某外賣小哥每天來(lái)往于4個(gè)外賣店（外賣店的編號(hào)分別為1，2，3，4），約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類推，假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的3個(gè)外賣店取單，設(shè)事件{第次取單恰好是從1號(hào)店取單}，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則 ， ．
【答案】
【解析】依題意，，
所以，
又，因此；
；
.
故答案為：；.
37．（2024·天津?yàn)I海新·高三天津市濱海新區(qū)田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城市的交通問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是 .
【答案】
【解析】記小明步行、騎共享單車、乘坐地鐵上班的事件分別為，小明上班不遲到的事件為，
則，且兩兩互斥，依題意，，
，
因此，
所以某天上班他遲到的概率.
故答案為：
12 概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題
38．（2024·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）2020年12月4日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉等科學(xué)家成功構(gòu)建光子的量子計(jì)算原型機(jī)“九章”，求解數(shù)學(xué)算法“高斯玻色取樣”只需要秒，而目前世界最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)要用億年，這一突破使我國(guó)成為全球第二個(gè)實(shí)現(xiàn)“量子優(yōu)越性”的國(guó)家.“九章”求得的問(wèn)題名叫“高斯玻色取樣”，通俗的可以理解為量子版本的高爾頓釘板，但其實(shí)際情況非常復(fù)雜.高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過(guò)程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子.如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口放進(jìn)一個(gè)白球，則其落在第③個(gè)格子的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】小球從起點(diǎn)到第③個(gè)格子一共跳了7次，其中要向左邊跳動(dòng)5次，向右邊跳動(dòng)2次，而向左或向右的概率均為，則向右的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以所求的概率為
故答案為：C.
39．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如下表，根據(jù)變量與之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)可求出.其中.現(xiàn)從這個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差中任取一個(gè)值，則殘差不大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表中的數(shù)據(jù)可知，，
設(shè)的最后一個(gè)數(shù)據(jù)為，則，，
將，代入得，
這個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差分別為：
，
，
，
，
，
所以殘差不大于的概率為.
故選：.
40．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)初一年級(jí)在校學(xué)生中抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．該地初一年級(jí)學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率估計(jì)為35%
B．估計(jì)該地初一年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)2.6小時(shí)
C．估計(jì)該地初一年級(jí)學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過(guò)2.6小時(shí)
D．估計(jì)該地初一年級(jí)有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間
【答案】D
【解析】由直方圖得超過(guò)3小時(shí)的頻率為,所以A正確；
設(shè)直方圖的中位數(shù)為x，則有，
解得，故B正確；
直方圖可計(jì)算學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)為：所以平均數(shù)大于中位數(shù)，所以C正確；
做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率為，所以D錯(cuò)誤,
故選:D．
13 傳統(tǒng)規(guī)則的概率問(wèn)題
41．（多選題）（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且，，
故；
從而，故選項(xiàng)A正確；
，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，C正確；
，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
42．（多選題）（2024·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）袋中有8個(gè)大小相同的球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出3個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】，均服從于超幾何分布，且，，
，，
對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：，，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，正確；
故選：BCD.
43．（2024·浙江·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)有n（n>2,）個(gè)相同的袋子，里面均裝有n個(gè)除顏色外其它無(wú)區(qū)別的小球，第k（k=1,2,3…n）個(gè)袋子中有k個(gè)紅球，個(gè)白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回），若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，則n=（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】設(shè)選出的是第k個(gè)袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，
第三次取出的是白球的取法有如下四種情形：
白白白，取法數(shù)為：
紅白白，取法數(shù)為：
白紅白，取法數(shù)為：
紅紅白：取法數(shù)為：
所以第三次取出的是白球的總情形數(shù)為：
則在第 k個(gè)袋子中連取三次球第三次取出的球是白球的概率為：，
因?yàn)檫x取第k個(gè)袋的概率為，故任選袋子取第三個(gè)球是白球的概率為：
當(dāng)時(shí)，.
故選：B.
44．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個(gè)袋中有m個(gè)紅球，n個(gè)白球，p個(gè)黑球（，），從中任取1個(gè)球（每球取到的機(jī)會(huì)均等），設(shè)表示取出的紅球個(gè)數(shù)，表示取出的白球個(gè)數(shù)，則
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知：隨機(jī)變量的分布列如下圖所示：
所以有,
，
隨機(jī)變量的分布列如下圖所示：
，
，
因?yàn)?，所以，因此有，故本題選D.
45．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球決賽，甲隊(duì)只要再勝一局就獲得冠軍，乙隊(duì)需要再勝兩局才能獲得冠軍，若每局甲隊(duì)獲勝的概率為，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得甲對(duì)獲勝可能以下分為兩種情況：
①第一局甲隊(duì)獲勝，此時(shí)的概率為；
②第一局乙隊(duì)獲勝，第二局甲隊(duì)獲勝，此時(shí)的概率為，
綜上所述，甲隊(duì)獲勝的概率為，
故選：D.
46．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無(wú)平局),在某次排球比賽中,甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都相等,均為,前2局中乙隊(duì)以領(lǐng)先,則最后乙隊(duì)獲勝的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】最后乙隊(duì)獲勝的概率含3種情況：第三局乙勝，第三局甲勝第四局乙勝，第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝，由此能求出最后乙隊(duì)獲勝的概率．最后乙隊(duì)獲勝事件含3種情況:第三局乙勝，其概率為；
第三局甲勝，第四局乙勝，其概率為；
第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝；
故最后乙隊(duì)獲勝的概率，
故選：B.
14 新賽制概率問(wèn)題
47．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）2022年2月6日，中國(guó)女足在亞洲杯賽場(chǎng)上以3:2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪冠.之前半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足.假設(shè)罰點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球，不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在第一次射門就撲出點(diǎn)球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得門將在第一次射門就撲出點(diǎn)球的概率為，
故選：B
48．（2024·福建漳州·高三?？计谀┮阎住⒁?、丙、丁四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為：將四人隨機(jī)均分為組，同組人先進(jìn)行一場(chǎng)比賽，組勝者再進(jìn)行決賽．若所有人在比賽中獲勝的概率均為，則甲、乙在決賽中相遇的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樗腥嗽诒荣愔蝎@勝的概率均為，所以甲、乙、丙、丁四人進(jìn)入決賽的可能性相等.
所以進(jìn)入決賽可能出現(xiàn)的情況有
（甲乙），（甲丙），（甲?。?，（乙丙），（乙?。?，（丙丁），共6種情況，
甲乙在決賽中相遇的情況只有（甲乙）1種，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在決賽中相遇的概率為.
故選：B.
49．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了豐富同學(xué)們的業(yè)余生活，增強(qiáng)體質(zhì)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，甲、乙兩校舉行乒乓球比賽．比賽采取5局3勝制．假設(shè)每局比賽甲校勝乙校的概率都為，沒(méi)有平局，且各局比賽的結(jié)果互不影響，則甲校以3：0獲勝或以3：1獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】甲校以3：0獲勝表示比賽進(jìn)行3局結(jié)束，甲校勝3局，概率為，
甲校以3：1獲勝表示比賽進(jìn)行4局結(jié)束，甲校勝3局，且第4局甲校勝，概率為，
所以所求概率為，
故選：C．
15 遞推型概率命題
50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）引得無(wú)數(shù)球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔爾舉行，為了弘揚(yáng)頑強(qiáng)拼搏的體育競(jìng)技精神，某學(xué)校的足球社團(tuán)利用課余時(shí)間展開(kāi)“三人足球”的比賽，比賽的第一階段為“傳球訓(xùn)練賽”，即參賽的甲、乙、丙三名同學(xué)，第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，則第6次傳球，重新由乙同學(xué)傳球的概率為 ．
【答案】
【解析】設(shè)第次由乙同學(xué)傳球的概率為，顯然，
第一次傳球從乙開(kāi)始，隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，這兩人每人得到球的概率為，
如果球傳到乙，則乙不能傳到乙，
故第次由乙傳球的概率與第次由乙傳球的概率的關(guān)系為：
，即，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，則，故.
故答案為：.
51．（2022·山東·山東師范大學(xué)附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開(kāi)始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動(dòng)一次．若骰子點(diǎn)數(shù)小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時(shí)，游戲結(jié)束．則 ；該棋手獲勝的概率為 ．
【答案】 /0.75
【解析】由題，因?yàn)椋?，由，所以，累加可得：?br>故答案為：；.
52．（2022下·湖北·高三宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）五名運(yùn)動(dòng)員、、、、相互傳球．每個(gè)人在接到球后隨機(jī)傳給其他四人中的一人．設(shè)首先由開(kāi)始進(jìn)行第次傳球，那么恰好在第次傳球把球傳回到手中的概率是 （用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．
【答案】
【解析】設(shè)第次傳球把球傳回到的手中的概率為，
第次傳球?qū)⑶騻鹘o其他運(yùn)動(dòng)員，故；
表示第次傳球把球傳回到的手中，故傳球前球不在手中，
而每名運(yùn)動(dòng)員傳給其他一名指定運(yùn)動(dòng)員的概率為，由乘法原理，故．
于是，且，
故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
于是，即，，
故.
故答案為：.
53．（2022·天津·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考一模）某高中食堂鮮奶站提供、兩種鮮奶，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買的人購(gòu)買種鮮奶的概率為、購(gòu)買種鮮奶的概率為，而前一次購(gòu)買種鮮奶的人下一次來(lái)購(gòu)買種鮮奶的概率為、購(gòu)買種鮮奶的概率為，前一次購(gòu)買種鮮奶的人下一次來(lái)購(gòu)買種鮮奶的概率為、購(gòu)買種鮮奶的概率也是，如此往復(fù)．記某人第次來(lái)購(gòu)買種鮮奶的概率為．則 ﹔經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)每天來(lái)購(gòu)買鮮奶的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購(gòu)買過(guò)很多次該兩種鮮奶，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備種鮮奶 份．
【答案】 320
【解析】解:根據(jù)題意,,所以
由題知，，
所以，
所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼
1
2
3
4
5
年借閱量萬(wàn)冊(cè)
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
3
4
5
6
2.5
t
4
4.5
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代碼x
1
2
3
4
5
云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模y/千萬(wàn)元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
0.05
0.01
3.841
6.635
認(rèn)真上網(wǎng)課
不認(rèn)真上網(wǎng)課
合計(jì)
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合計(jì)
20
30
50
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計(jì)
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合計(jì)
30
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計(jì)
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合計(jì)
30
70
100
學(xué)生編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
數(shù)學(xué)成績(jī)
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
總分成績(jī)
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
4
5
6
7
8
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
0
1
P
0
1
P

相關(guān)試卷

專題20 概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）：

這是一份專題20 概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考），文件包含專題20概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類15大核心考點(diǎn)講義原卷版docx、專題20概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類15大核心考點(diǎn)講義解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共58頁(yè)， 歡迎下載使用。

專題17 圓錐曲線常考?jí)狠S小題全歸類（16大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）：

這是一份專題17 圓錐曲線常考?jí)狠S小題全歸類（16大題型）（練習(xí)）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考），文件包含專題17圓錐曲線?？?jí)狠S小題全歸類16大題型練習(xí)原卷版docx、專題17圓錐曲線?？?jí)狠S小題全歸類16大題型練習(xí)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共59頁(yè)， 歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題20 概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類（15大題型）（練習(xí)）（原卷版+解析）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題20 概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類（15大題型）（練習(xí)）（原卷版+解析），共49頁(yè)。試卷主要包含了的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題20 概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版+解析）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用） 專題20 概率與統(tǒng)計(jì)?？夹☆}歸類（15大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版+解析）
專題17 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題常考套路歸類（精講精練）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新備戰(zhàn)2024年高考專用）

專題17 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類（精講精練）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新備戰(zhàn)2024年高考專用）
專題07 立體幾何小題?？既珰w類（精講精練）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新備戰(zhàn)2024年高考專用）

專題07 立體幾何小題?？既珰w類（精講精練）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新備戰(zhàn)2024年高考專用）
專題9-2 概率與統(tǒng)計(jì)歸類（講+練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

專題9-2 概率與統(tǒng)計(jì)歸類（講+練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部