整式乘法與因式分解 　 一、選擇題： 1．下列計算正確的是（　?。?A．a(chǎn)2+b3=2a5 B．a(chǎn)4÷a=a4 C．a(chǎn)2?a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6 2．計算（a3）2的結(jié)果是（　　） A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)8 D．a(chǎn)9 3．下列計算中，正確的個數(shù)有（　?。?①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．計算2x3÷x2的結(jié)果是（　?。?A．x B．2x C．2x5 D．2x6 5．下列各式是完全平方式的是（　?。?A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1 6．下列各式中能用平方差公式是（　?。?A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x） 7．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（　?。?A．﹣3 B．3 C．0 D．1 8．若3x=15，3y=5，則3x﹣y等于（　?。?A．5 B．3 C．15 D．10 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（　?。?A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 10．下列各式從左到右的變形，正確的是（　?。?A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y） B．﹣a+b=﹣（a+b） C．（y﹣x）2=（x﹣y）2 D．（a﹣b）3=（b﹣a）3 　 二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 11．計算：（﹣3x2y）?（xy2）=　?。?12．計算： =　?。?13．計算：（）2007×（﹣1）2008=　?。?14．若代數(shù)式2a2+3a+1的值為6，則代數(shù)式6a2+9a+5的值為　?。?15．當(dāng)x　　時，（x﹣4）0等于1． 16．若多項式x2+ax+b分解因式的結(jié)果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為　　． 17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，則a=　　，b=　　． 18．已知a+=3，則a2+的值是　　． 　 三、解答題（共5小題，滿分46分） 19．計算： （1）（ab2）2?（﹣a3b）3÷（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1） 20．分解因式： （1）m2﹣6m+9； （2）（x+y）2+2（x+y）+1； （3）3x﹣12x3； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 21．先化簡，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1． 22．若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值． 23．已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論． 　 整式乘法與因式分解 參考答案與試題解析 　 一、選擇題： 1．下列計算正確的是（　?。?A．a(chǎn)2+b3=2a5 B．a(chǎn)4÷a=a4 C．a(chǎn)2?a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6 【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)同底數(shù)相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2與b3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤； B、應(yīng)為a4÷a=a3，故本選項錯誤； C、應(yīng)為a3?a2=a5，故本選項錯誤； D、（﹣a2）3=﹣a6，正確． 故選D． 【點評】本題考查合并同類項，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 2．計算（a3）2的結(jié)果是（　?。?A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)8 D．a(chǎn)9 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘即可求． 【解答】解：（a3）2=a6， 故選B． 【點評】本題考查了冪的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方公式． 　 3．下列計算中，正確的個數(shù)有（　?。?①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】①原式利用單項式乘以單項式法則計算即可得到結(jié)果； ②原式利用單項式除以單項式法則計算即可得到結(jié)果； ③原式利用冪的乘方運算計算即可得到結(jié)果； ④原式利用同底數(shù)冪的除法法則計算即可得到結(jié)果． 【解答】解：①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5，正確； ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正確； ③（a3）2=a6，錯誤； ④（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，錯誤， 則正確的個數(shù)有2個． 故選B． 【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 4．計算2x3÷x2的結(jié)果是（　?。?A．x B．2x C．2x5 D．2x6 【考點】整式的除法；同底數(shù)冪的除法． 【分析】根據(jù)單項式除單項式的法則，同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減的性質(zhì)，對各選項計算后選取答案． 【解答】解：2x3÷x2=2x． 故選B． 【點評】本題比較容易，考查整式的除法和同底數(shù)冪的除法法則，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵． 　 5．下列各式是完全平方式的是（　?。?A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1 【考點】完全平方式． 【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一項為乘積項除以2，除以第一個底數(shù)的結(jié)果的平方． 【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式； B、缺少中間項±2x，不是完全平方式； C、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式； D、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式． 故選A． 【點評】本題是完全平方公式的應(yīng)用，熟記公式結(jié)構(gòu)：兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列各式中能用平方差公式是（　?。?A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x） 【考點】平方差公式． 【專題】計算題． 【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到結(jié)果． 【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2， 故選B 【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵． 　 7．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（　?。?A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【考點】多項式乘多項式． 【分析】先用多項式乘以多項式的運算法則展開求它們的積，并且把m看作常數(shù)合并關(guān)于x的同類項，令x的系數(shù)為0，得出關(guān)于m的方程，求出m的值． 【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m， 又∵乘積中不含x的一次項， ∴3+m=0， 解得m=﹣3． 故選：A． 【點評】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，根據(jù)乘積中不含哪一項，則哪一項的系數(shù)等于0列式是解題的關(guān)鍵． 　 8．若3x=15，3y=5，則3x﹣y等于（　?。?A．5 B．3 C．15 D．10 【考點】同底數(shù)冪的除法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可得答案． 【解答】解：3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3， 故選：B． 【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減． 　 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（　?。?A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 【考點】多項式乘多項式． 【分析】此題可以將等式左邊展開和等式右邊對照，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可得到p、q的值． 【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q， 則p=1，q=﹣12． 故選A． 【點評】本題考查了多項式乘多項式的法則，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求解是關(guān)鍵． 　 10．下列各式從左到右的變形，正確的是（　?。?A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y） B．﹣a+b=﹣（a+b） C．（y﹣x）2=（x﹣y）2 D．（a﹣b）3=（b﹣a）3 【考點】完全平方公式；去括號與添括號． 【分析】A、B都是利用添括號法則進行變形，C、利用完全平方公式計算即可；D、利用立方差公式計算即可． 【解答】解：A、∵﹣x﹣y=﹣（x+y）， 故此選項錯誤； B、∵﹣a+b=﹣（a﹣b）， 故此選項錯誤； C、∵（y﹣x）2=y2﹣2xy+x2=（x﹣y）2， 故此選項正確； D、∵（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3， （b﹣a）3=b3﹣3ab2+3a2b﹣a3， ∴（a﹣b）3≠（b﹣a）3， 故此選項錯誤． 故選C． 【點評】本題主要考查完全平方公式、添括號法則，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．括號前是“﹣”號，括到括號里各項都變號，括號前是“+”號，括到括號里各項不變號． 　 二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 11．計算：（﹣3x2y）?（xy2）=　　． 【考點】單項式乘單項式；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】根據(jù)單項式的乘法法則，同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)計算即可． 【解答】解：（﹣3x2y）?（xy2）， =（﹣3）××x2?x?y?y2， =﹣x2+1?y1+2， =﹣x3y3． 【點評】本題主要考查單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式． 　 12．計算： =　　． 【考點】平方差公式． 【分析】利用平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）進行計算即可． 【解答】解：原式=﹣（n﹣m）（n+m） =﹣[n2﹣（m）2] =m2﹣n2． 故答案是： m2﹣n2 【點評】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方． 　 13．計算：（）2007×（﹣1）2008=　?。?【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】先把原式化為（）2007×（﹣1）2007×（﹣1），再根據(jù)有理數(shù)的乘方法則計算． 【解答】解：（）2007×（﹣1）2008 =（）2007×（﹣1）2007×（﹣1） =（﹣×1）2007×（﹣1） =﹣1×（﹣1） =． 故答案為：． 【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題時牢記法則是關(guān)鍵． 　 14．若代數(shù)式2a2+3a+1的值為6，則代數(shù)式6a2+9a+5的值為　?。?【考點】代數(shù)式求值． 【專題】計算題． 【分析】由題意列出關(guān)系式，求出2a2+3a的值，將所求式子變形后，把2a2+3a的值代入計算即可求出值． 【解答】解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5， ∴6a2+9a+5 =3（2a2+3a）+5 =20． 故答案為：20． 【點評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，是一道基本題型． 　 15．當(dāng)x　　時，（x﹣4）0等于1． 【考點】零指數(shù)冪． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)0指數(shù)冪底數(shù)不能為0列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可． 【解答】解：∵（x﹣4）0=1， ∴x﹣4≠0， ∴x≠4． 故答案為：≠4． 【點評】本題考查的是0指數(shù)冪的定義，即任何非0數(shù)的0次冪等于1． 　 16．若多項式x2+ax+b分解因式的結(jié)果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為　?。?【考點】因式分解的意義． 【分析】利用整式的乘法計算（x+1）（x﹣2），按二次項、一次項、常數(shù)項整理，與多項式x2+ax+b對應(yīng)，得出a、b的值代入即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣2） =x2﹣2x+x﹣2 =x2﹣x﹣2 所以a=﹣1，b=﹣2， 則a+b=﹣3． 故答案為：﹣3． 【點評】此題考查利用整式的計算方法，計算出的代數(shù)式與因式分解前代數(shù)式比較，得出結(jié)論，進一步解決問題． 　 17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，則a=　　，b=　?。?【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值． 【分析】本題應(yīng)對方程進行變形，將b2﹣2b+1化為平方數(shù)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“兩個非負(fù)數(shù)相加，和為0，這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0”來解題． 【解答】解：原方程變形為：|a﹣2|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣2=0或b﹣1=0， ∴a=2，b=1． 【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，兩個非負(fù)數(shù)相加，和為0，這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0． 　 18．已知a+=3，則a2+的值是　　． 【考點】完全平方公式． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】把已知條件兩邊平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 【解答】解：∵a+=3， ∴a2+2+=9， ∴a2+=9﹣2=7． 故答案為：7． 【點評】本題主要考查了完全平方公式，利用公式把已知條件兩邊平方是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共5小題，滿分46分） 19．計算： （1）（ab2）2?（﹣a3b）3÷（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1） 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】（1）原式利用積的乘方與冪的乘方運算法則計算，再利用乘除法則計算即可得到結(jié)果； （2）原式先利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）原式=a2b4?（﹣a9b3）÷（﹣5ab）=a10b6； （2）原式=6a3﹣27a2+9a﹣8a+4a=6a3﹣35a2+13a； 【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 20．分解因式： （1）m2﹣6m+9； （2）（x+y）2+2（x+y）+1； （3）3x﹣12x3； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】（1）利用完全平方公式即可分解； （2）利用完全平方公式即可分解； （3）首先提公因式3x，然后利用平方差公式分解即可； （4）首先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式分解． 【解答】解：（1）m2﹣6m+9=（m﹣3）2； （2）（x+y）2+2（x+y）+1=（x+y+1）2． （3）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） =9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） =（x﹣y）（9a2﹣4b2） =（x﹣y）（3a+2b）?（3a﹣2b）． 【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底． 　 21．先化簡，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【分析】先根據(jù)多項式乘多項式的法則以及平方差公式計算，再去括號，然后合并，最后把a、x的值代入計算． 【解答】解：原式=2（x2﹣x﹣6）﹣（9﹣a2） =2x2﹣2x+a2﹣21， 當(dāng)a=﹣2，x=1時，原式=2×12﹣2×1+（﹣2）2﹣21=﹣17． 【點評】本題考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是去括號、合并同類項． 　 22．若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值． 【考點】同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代數(shù)式化為同為2的底數(shù)的代數(shù)式，運用同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)計算，最后運用整體代入法求解即可． 【解答】解：4x?32y=22x?25y=22x+5y ∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3， ∴原式=23=8． 【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，理清指數(shù)的變化是解題的關(guān)鍵． 　 23．已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點】因式分解的應(yīng)用． 【專題】幾何圖形問題；探究型；因式分解． 【分析】由2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc分組因式分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到三邊關(guān)系，從而判定三角形形狀． 【解答】解：△ABC是等邊三角形． 證明如下： 因為2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc， 所以2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0， a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0， （a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0， 所以（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，得a=b且a=c且b=c，即a=b=c， 所以△ABC是等邊三角形． 【點評】此題是一道把等邊三角形的判定、因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合求解的綜合題．考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力．

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