14.3.3 運(yùn)用完全平方公式因式分解
人教版數(shù)學(xué)八年級上冊
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）2.靈活應(yīng)用各種方法分解因式，并能利用因式分解進(jìn)行計算．（難點）
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合寫成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.
(簡記為：“首平方，尾平方，積的2倍中間放”)
計算下列各式：①(x+2)2=____________； ②(x-2)2=____________；③(2x+3y)2=______________； ④(2x-3y)2=______________.
x2＋4x＋4
x2 - 4x＋4
4x2+12xy＋9y2
4x2-12xy＋9y2
多項式 a2+2ab+b2 與 a2-2ab+b2 有什么特點？你能將它們分解因式嗎？
（1）每個多項式有幾項？
（3）中間項和第一項、第三項有什么關(guān)系？
（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？
這兩項都是數(shù)或式的平方，并且符號相同
中間項是第一項和第三項底數(shù)的積的±2倍
三項
我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特點：1.必須是三項式(或可以看成三項的)2.有兩個同號的平方項3.有一個乘積項(等于平方項底數(shù)的±2倍)簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.
?
×
√
√
√
×
×
?
?
D
【點睛】本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征， 根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解．
?
±8
C
把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號兩邊互換位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.
例2.分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
a2
+
2 · a ·b + b2
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2
例2.分解因式：(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2
分析:(2)中首項有負(fù)號，一般先利用添括號法則，將其變形為-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
分解因式：(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2(3)原式=(a+1)2(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
例3.分解因式：(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解；(2)中，將a+b看作一個整體，設(shè)a+b=m，則原式化為完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
分解因式：(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36=(x+y)2-2·(x+y)·6+62=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.
例4.把下列各式分解因式:(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2=(2x+3)2(2x-3)2
例5.簡便計算：(1)1002－2×100×99+992； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)2=1；
(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
?
?
已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
解：△ABC是等邊三角形．理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．
1.下列式子為完全平方式的是( )A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.2.分解因式x2-2x+1的最終結(jié)果是( )A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)23.分解因式后結(jié)果是-(x-y)2的多項式是( )A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
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D
A
D
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（2）20222-2022×4042+20212=20222-2×2022×2021+20212=（2022-2021）2=12=1．
14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.當(dāng)a－b＝3時，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.當(dāng)ab＝2，a＋b＝5時，原式＝2×52＝50.
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?
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完全平方式的特點：1.必須是三項式(或可以看成三項的)2.有兩個同號的平方項3.有一個乘積項(等于平方項底數(shù)的±2倍)簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.
把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號兩邊互換位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

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版本： 人教版

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