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15.1.2 分式的基本性質(zhì)
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊
1.理解并掌握分式的基本性質(zhì)．（重點(diǎn)）2.理解約分和最簡分式的意義，能夠運(yùn)用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行變形．3.會(huì)運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分和通分．（難點(diǎn)）
1.下列各式中，屬于分式的是( )A. B. C. D. 2.當(dāng)x____時(shí)，分式有意義.3.當(dāng)x____時(shí)，分式的值為零.
B
≠0
＝-1
4. 的依據(jù)是什么？
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)： ? 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變. ?
5.由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可知，如果數(shù)c≠0，那么， .
一般地，對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù) ，有， (c≠0),其中a，b，c是數(shù).
類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你能猜想分式有什么性質(zhì)嗎？
一般地，對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù) ，有， (c≠0),其中a，b，c是數(shù).
分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.
例1.填空：
　　看分母如何變化，想分子如何變化.
　　看分子如何變化，想分母如何變化.
想一想：（1）中為什么不給出x≠0,而（2）中卻給出了b ≠0?
　填空：
(1) (2)
(3) (4)
例2.不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項(xiàng)的系數(shù)都化為正數(shù)．
?
?
不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào)．
?
?
?
?
不改變分式的值，把下列各式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù).
?
?
約去的分子和分母的公因式3x，不改變分式的值，把化為 .
例1.填空：
聯(lián)想分?jǐn)?shù)的約分，由例1你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行約分嗎？
與分?jǐn)?shù)的約分類似，在例1(1)中，我們利用分式的基本性質(zhì)，約去的分子和分母的公因式x，不改變分式的值，把化為 .
例1.填空：
像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.
經(jīng)過約分后的分式，其分子與分母沒有公因式.像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.
分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡分式或者整式.
例4.約分：(1) (2) (3)
分析：為約分，要先找出分子和分母的公因式.
解：(1)
找公因式方法：
（1）分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）分子、分母公共字母的最低次冪.
(公因式是5abc)
例4.約分：(1) (2) (3)
解：(2)
分析：約分時(shí),分子或分母若是多項(xiàng)式，能分解則先進(jìn)行因式分解，再找出分子和分母的公因式進(jìn)行約分.
(3)
約分的基本步驟
(1)若分子、分母都是單項(xiàng)式，則約去系數(shù)的最大公約數(shù)，并約去公共字母的最低次冪；(2)若分子、分母含有多項(xiàng)式，則先將多項(xiàng)式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式．
注意事項(xiàng)：（1）約分前后分式的值要相等.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.（3）約分是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式.
?
?
聯(lián)想分?jǐn)?shù)的通分，由例1你能想出如何對(duì)分式進(jìn)行通分嗎？
例1.填空：
與分?jǐn)?shù)的通分類似，在例1(2)中，我們利用分式的基本性質(zhì)，將分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，? 和化成分母相同的分式.
例1.填空：
像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，它叫做最簡公分母.
注意：確定最簡公分母是通分的關(guān)鍵.
最簡公分母
例5.通分：
解：（1）最簡公分母是2a2b2c.
（2）最簡公分母是(x+5)(x-5).
不同的因式
最簡公分母
1·(x-5)
(x-5)
1·(x+5)
1
(x+5)
例5.通分：
例5.通分：
(x+y)(x-y)
x(x+y)
最簡公分母
x(x+y)(x-y)
（3）最簡公分母是x(x+y)(x-y).
確定幾個(gè)分式的最簡公分母的一般步驟：（1）分母為多項(xiàng)式的先因式分解；（2）系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（3）字母：各分母的所有字母的最高次冪；（4）多項(xiàng)式：各分母所有多項(xiàng)式因式的最高次冪；（5）寫成積的形式.
?
?
分?jǐn)?shù)和分式在約分和通分的做法上有什么共同點(diǎn)？這些做法的根據(jù)是什么？
找分子與分母的最大公約數(shù)
找分子與分母的公因式
找所有分母的最小公倍數(shù)
找所有分母的最簡公分母
分?jǐn)?shù)或分式的基本性質(zhì)
?
B
C
B
?
D
A
D
?
C
?
?
ab(a+b)(a-2b)
?
?
?
?
?
?
8
?
?
?
?
?
?
分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.
根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.
經(jīng)過約分后的分式，其分子與分母沒有公因式.像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.
分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使得結(jié)果成為最簡分式或者整式.
約分的基本步驟
(1)若分子、分母都是單項(xiàng)式，則約去系數(shù)的最大公約數(shù)，并約去公共字母的最低次冪；(2)若分子、分母含有多項(xiàng)式，則先將多項(xiàng)式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式．
注意事項(xiàng)：（1）約分前后分式的值要相等.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.（3）約分是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式.
根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，它叫做最簡公分母.
確定幾個(gè)分式的最簡公分母的一般步驟：（1）分母為多項(xiàng)式的先因式分解；（2）系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（3）字母：各分母的所有字母的最高次冪；（4）多項(xiàng)式：各分母所有多項(xiàng)式因式的最高次冪；（5）寫成積的形式.

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