第14章 整式的乘除與因式分解章節(jié)復(fù)習(xí)
人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)
1.梳理本章的知識(shí)，并會(huì)歸納總結(jié);2.熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行整式的乘除運(yùn)算;3.熟練地運(yùn)用平方差公式和完全平方公式;4.會(huì)對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
一、冪的乘法運(yùn)算
同底數(shù)冪乘法法則：am?an=______.(m，n都是正整數(shù)) 即：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)_____，指數(shù)_____.
條件：結(jié)果：
am+n
不變
相加
①底數(shù)不變
①乘法
②同底數(shù)冪
②指數(shù)相加
一、冪的乘法運(yùn)算
冪的乘方法則：(am)n=______.(m，n都是正整數(shù)) 即：冪的乘方，底數(shù)_____，指數(shù)_____.
amn
不變
相乘
拓展：[(am)n]p = amnp （m，n，p都是正整數(shù)）
冪的乘方法則的逆用：
amn = (am)n
= (an)m
一、冪的乘法運(yùn)算
積的乘方法則：(ab)n=______.(n為正整數(shù)) 即：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.
anbn
拓展：(abc)n=anbncn.
積的乘方公式的逆用：
anbn=(ab)n
二、整式的乘法
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
【三步走】（1）系數(shù)相乘；（2）相同字母的冪相乘；（3）其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.
二、整式的乘法
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.注：積的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘
二、整式的乘法
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
多乘多順口溜：
多乘多，來計(jì)算，多項(xiàng)式各項(xiàng)都見面，乘后結(jié)果要相加，化簡(jiǎn)、排列才算完.
三、整式的除法
同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)即 同底數(shù)冪相除，底數(shù)_____，指數(shù)_____.
不變
相減
規(guī)定：a0=1(a≠0) 這就是說，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
三、整式的除法
單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
四、乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
公式變形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
四、乘法公式
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合寫成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.
注：公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.
(簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍中間放”)
四、乘法公式
1.添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化是一致的. 添括號(hào)是否正確可用去括號(hào)檢驗(yàn).2.不論怎樣添括號(hào)，原式的值都不能改變，添括號(hào)法則在利用乘法公式的計(jì)算中應(yīng)用較多.
五、因式分解
我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
因式分解與整式乘法是方向相反的變形，即
因式分解
整式乘法
五、因式分解
正確找出多項(xiàng)式的公因式的步驟：
1.定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).2.定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都有的相同的字母.3.定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母的最低次數(shù).
多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.
五、因式分解
如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
五、因式分解
例1.計(jì)算：(1)(a+b)2·(a+b)3 (2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 (3)(x-y)2·(y-x)5
解:(1)(a+b)2·(a+b)3 =(a+b)2+3 =(a+b)5(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 =(m-n)3+2+6 =(m-n)11(3)(x-y)2·(y-x)5 =(y-x)2·(y-x)5 =(y-x)2+5 =(y-x)7
例2. (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值； (2)已知23x＋2＝32，求x的值.
(2)∵ 23x＋2＝32＝25， ∴3x＋2＝5， ∴x＝1.
解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；
【點(diǎn)睛】(1)關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的乘法公式，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知因式的乘積的形式，然后再求值.(2)關(guān)鍵是將等式兩邊轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的形式，然后根據(jù)指數(shù)相等列方程解答.
【1-1】計(jì)算:(1) x4·x6=____;(2) a·a4=_____;(3)5×54×53=______;(4) x2n+1·x3n-1=______.【1-2】若am=3，an=5，則am+n等于( )A.243 B.125 C.8 D.15
x10
a5
58
x5n
D
【1-3】計(jì)算下列各題：
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3;
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
例3.計(jì)算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= －a2·a2·a6＋a10
= －a10＋a10 = 0
【點(diǎn)睛】與冪的乘方有關(guān)的混合運(yùn)算中，一般先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項(xiàng)．
例4.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝(10m)3× (10n)2 =27×4＝108.
【點(diǎn)睛】此類題的關(guān)鍵是逆用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法公式，將所求代數(shù)式正確變形，然后代入已知條件求值即可.
例5.比較3500，4400，5300的大小.
分析：這三個(gè)冪的底數(shù)不同,指數(shù)也不相同,不能直接比較大小,通過觀察,發(fā)現(xiàn)指數(shù)都是100的倍數(shù),故可以考慮逆用冪的乘方法則.
解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.∵256>243>125,∴4400>3500>5300.
【點(diǎn)睛】比較底數(shù)大于1的冪的大小的方法有兩種：(1)底數(shù)相同，指數(shù)越大，冪就越大；(2)指數(shù)相同，底數(shù)越大，冪就越大.故在此類題中，一般先觀察題目所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪，然后再進(jìn)行大小比較.
?
C
D
A
?
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例6.計(jì)算：(1)(-4ab)3； (2)(-3ab2c3)3； (3)(-xmy3n)2.
解：(1)(-4ab)3=(-4)3·a3·b3=-64a3b3(2)(-3ab2c3)3=(-3)3·a3·(b2)3·(c3)3=-27a3b6c9(3)(-xmy3n)2=(-1)2·(xm)2·(y3n)2=x2my6n
解：(1)0.22022×52022=(0.2×5)2022=12022=1
解：(2)
【點(diǎn)睛】逆用積的乘方公式an·bn＝(ab)n，要靈活運(yùn)用，對(duì)于不符合公式的形式，要通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為公式的形式，再運(yùn)用此公式可進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．
【3-1】若(2ambm+n)3=8a9b15成立，則( )m=3，n=2 B. m=n=3 C.m=6,n=2 D.m=3，n=5【3-2】現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“※”:a※b=ba，如3※2=23=8，則2※(-5)=______，3※(-2x3y4)=__________.
A
25
-8x9y12
?
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【點(diǎn)睛】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式就是把它們的系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘，結(jié)合同類項(xiàng)的定義，列出二元一次方程組求出參數(shù)的值，然后代入求值即可．
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?
解：[xy（x2﹣xy）﹣x2y（x﹣y）]?3xy2＝（x3y﹣x2y2﹣x3y+x2y2）?3xy2＝0．
例11.先化簡(jiǎn)，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
原式＝－8＋2－15＝－21.
例12.已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，求系數(shù)a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2.
∵積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，
【點(diǎn)睛】解決此類問題首先要利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算出展開式，合并同類項(xiàng)后，再根據(jù)不含某一項(xiàng)，可得這一項(xiàng)系數(shù)等于零，再列出方程(組)解答．
?
C
B
D
【4-4】計(jì)算:(2x+3y) (x -2y) (2) (-2a+3) (5+a) (3) (-3m+2)2(4) (m+2) (2m2-m-3)
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4(4)原式= 2m3-m2-3m+4m2-2m-6= 2m3-m2+4m2-3m-2m-6= 2m3+3m2-5m-6
例13.計(jì)算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
例14. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的除法即am－n =am÷an，對(duì)am－n－1進(jìn)行變形，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
【5-1】a12 ÷ a5=_____,(ab)3 ÷ (ab)2=_____. (a+b)6÷(a+b)2=______，(a-c)8÷ (c-a)2=______.【5-2】若2m=15，2n=5，則2m-n的值是_____.
a7
ab
(a-c)6
3
【5-3】計(jì)算：(1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3
解：(1) x7÷x5=x7-5=x2(2) m8÷m8=m8-8=m0=1(3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3(4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2
(a+b)4
例15.計(jì)算：(12a3-6a2+3a)÷3a ； (2) (6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.
解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a=4a2-2a+1；(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz－2xz＋1.
例16.先化簡(jiǎn)，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
原式＝x－y＝2022－2021＝1.
＝x－y.
把x＝2022，y＝2021代入上式，得
【6-1】(16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-2【6-2】若某長方形的面積為4a2-6ab+2a,它的長為2a，則它的寬是_________.
4x
2a-3b+1
解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
【6-3】計(jì)算：(6ab+5a)÷a ; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy; (3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．
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?
例18.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)=[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9
(2) (a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【點(diǎn)睛】第1小題選用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，需要分組.分組方法是“符號(hào)相同的為一組，符號(hào)相反的為另一組”.第2小題要把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.
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B
B
A
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【7-5】運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1) (x-3y+1)2 (2) (3a+b-c) (3a-b+c) (3) 29×31×(302+1)
(3)原式=(30-1) × (30+1) × (302+1)= (302-1) × (302+1)= (302)2-12=9002-1=810000-1=809999
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A
【點(diǎn)睛】因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解的右邊是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的形式，整式乘法的右邊是多項(xiàng)式的形式．
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D
【點(diǎn)睛】本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征， 根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計(jì)算過程中，要注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．
例23.把下列各式分解因式:(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2=(2x+3)2(2x-3)2
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B
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C
D
A
2018
【8-5】已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由．
解：△ABC是等邊三角形．理由如下：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．

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